2023年二次函数知识点归纳总结全面汇总归纳1.pdf

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1、 1 二次函数知识点总结 1.二次函数的表达式:_,当_,b0 时，是一次函数.2.判断二次函数的三个条件(1)是否为整式 (2)是否为自变量的二次式(2)二次项的系数是否为零 3.常见的五种二次函数的形式(1)y=ax2(2)y=ax2+c(3)y=ax2+bx(4)y=a(x-h)2+k(5)y=ax2+bx+c 4.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)中 a,b,c的作用(1)a 的值决定抛物线的_和_.当 a0 时，抛物线开口_,当 a0 时，抛物线开口_.a越大，开口越小，a越小，开口越大.(2)二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的对称轴为_,当 b=0 时，抛物线的对称轴

2、为_,当 a,同号（即 a b 0）时，对称轴在 y 轴的_,当 a,异号（即 a b 0）时，对称轴在 y 轴的_,简称_.(3)c 的值决定抛物线与 y 轴的交点坐标，抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）5.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象特征与 a,b,c的符号之间的关系 2 项目 字母 字母符号 图象的特征 a a0,a 0 开口向上，开口向下 b b=0 a b 0 a b 0 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴的左侧 对称轴在 y 轴的右侧 c c=0 c0 c0 经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 6.二次函数 y=ax2的性质 a 的符号 a0 a0

3、图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 开口大小 3 7.二次函数 y=ax2+c(a 0)的性质 a 的符号 a0 a0 图像 c0 c0 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 8.只要 a 相同，那么抛物线的形状就完全相同，抛物线之间就可以通过相互平移得到.9.二次函数 y=a(x-h)2+k 的性质 a 的取值 对称轴 顶点坐标 a0 a0 10.抛物线平移必须先化成 y=a(x-h)2+k 的形式,然后按照“左增右减，上加下减”来平移。11.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的性质 a 的符号 a0 a0 开口方向 对称轴 4 顶点坐标 增减性 最值 12.二次函数

4、y=ax+c 与 y=ax2的关系 相同点:(1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.(2)都是轴对称图形,对称轴都是 y 轴.(3)都有最(大或小)值.(4)a0 时,开口向上,在 y 轴左侧,y 都随 x 的增大而减小,在 y 轴右侧,y 都随 x 的增大而增大.a0时向上平移;当c0时,向下平移)13.当 x=1 时，y=a+b+c 当 x=-1 时，y=a-b+c 当 x=2 时，y=4a+2b+c 当 x=-2 时，y=4a-2b+c 当 x=3 时，y=9a+3b+c 当 x=-3 时，y=9a-3b+c 14.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)关于 x 轴，y 轴，原点

5、对称的表达式 y=ax2+bx+c 关于 x 轴对称的表达式为 y=-ax2-bx-c y=ax2+bx+c 关于 y 轴对称的表达式为 y=ax2-bx+c y=ax2+bx+c 关于原点对称的表达式为 y=-ax2+bx-c 15.二次函数 y=a(x-h)2+k(a 0)关于 x 轴，y 轴，原点对称的表达式 y=a(x-h)2+k 关于 x 轴对称的表达式为 y=-a(x-h)2-k 5 y=a(x-h)2+k 关于 y 轴对称的表达式为 y=a(x+h)2+k y=a(x-h)2+k 关于原点对称的表达式为 y=-a(x+h)2-k 16.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)与一

6、元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系 因为 x 轴上的点的纵坐标都为 0，所以求抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交点的坐标，可利用函数表达式 y=ax2+bx+c 来求，只需令y=0，可得一元二次方程 ax2+bx+c=0，方程的解即为交点的横坐标.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：(1)当 b2-4ac0 时，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1,x2,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点（x1,0）(x2,0);(2)当 b2-4ac 0 时,方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=-b2a,抛物

7、线与 y=ax2+bx+c 与 x 轴有一个交点恰好就是抛物线的顶点（-b2a，0）(3)当 b2-4ac0 时,方程 ax2+bx+c=0 没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。二次函数与一元二次方程之间的关系如下表：b2-4ac 图象 y=ax2+bx+c(a 0)方程 ax2+bx+c=0(a 0)根的情况 a0 a0 与 x 轴的交点 与 y 轴的交点 b2-4ac0 b2-4ac0 b2-4ac0 注：（1）若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点为 A（x1，0）和 B（x2,0）,则抛物线的对称轴为直线 x=(x1+x1)2 （2）若 A(x1,y1),B（x2，y2）在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，当y1=y2时，则抛物线的对称轴为直线 x=(x1+x1)2 17.利用二次函数解决实际问题时，一般要用到抛物线的顶点坐标，6 求顶点坐标时可用配方法，也可以直接运用公式，运用顶点坐标（-b2a，4ac-b2/4a）时，一定要把二次函数的表达式转化为y=ax2+bx+c 的形式 18.出现 2a+b=0，说明对称轴 x=1,出现 2a-b=0,说明对称轴x=-1.(2a+b与对称轴 x=1 有关，2a-b 与对称轴 x=-1 有关)19.二次函数的三种表示方式（1）代数表达式（2）表格法（3）图象法