2023年二次函数知识点归纳总结全面汇总归纳及典型试题.pdf

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1、 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线 y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距,即二次函数图象必过（0，c）点.二.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与 的符号关系.当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y=ax2(a 0)可以经过补 0 看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即：y=ax2+0 x+0,y=

2、a(x-0)2+0,y=a(x-0)(x-0).例题精析：1 二次函数的概念，二次函数 yax2 (a 0)的图象性质 二次函数的一般式为 yax2bxc(a 0)。强调 a0而常数 b、c 可以为0，当 b，c 同时为 0 时，抛物线为 yax2(a 0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是 y 轴，即直线 x0。例：已知函数是关于 x 的二次函数，求：(1)满足条件的 m值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点这时当 x 为何值时，y 随 x的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小?解：(1)使是关于 x

3、 的二次函数，则 m2 m 42，且 m 20，即：m2 m 42，m 20，解得；m 2 或 m 3，m 2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m 20，(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m 20。练习：已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则 m_，顶点为_，当 x_0时，y 随 x 的增大而增大，当x_0时，y 随x 的增大而减小。2、用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律 抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y ax2bxcya(x)2 平移规律如下图：练习：(1)抛物线 yx2bxc 的图象向左平移 2 个单位。再向上平移 3 个单位，得抛物线yx2

4、2x1，求：b 与 c 的值。(2)通过配方，求抛物线 yx24x5 的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。3知识点串联，综合应用。例：如图，已知直线 AB经过 x 轴上的点 A(2，0)，且与抛物线 yax2 相交于 B、C两点，已知 B点坐标为(1，1)。(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果 D为抛物线上一点，使得AOD 与OBC的面积相等，求 D点坐标。点评：(1)直线 AB过点 A(2，0)，B(1，1)，代入解析式 ykxb，可确定 k、b，抛物线 yax2 过点 B(1，1)，代人可确定 a。求得：直线解析式为yx2，抛物线解析式为yx2。(2)由 yx2 与 yx2，先求

5、抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(2，4)，SOBC SABC SOAB 3。S AOD SOBC，且 OA 2 D 的纵坐标为 3 又 D 在抛物线 yx2 上，x23，即 x D(，3)或(，3)练习：函数 yax2(a 0)与直线 y2x3 交于点 A(1，b)，求：(1)a 和 b 的值；(2)求抛物线 yax2 的顶点和对称轴；(3)x取何值时，二次函数yax2 中的 y 随 x 的增大而增大，(4)求抛物线与直线y2 两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。课堂作业 一、填空。1 若二次函数 y(m1)x2 m2 2m 3 的图象经过原点，则 m _。2 函数 y3x2 与直线

6、ykx3 的交点为(2，b)，则 k_，b_。3 抛物线 y(x 1)22 可以由抛物线 yx2 向_方向平移_ 个单位，再向 _ 方向平移_ 个单位得到。4用配方法把 yx2x化为 ya(x h)2 k 的形式为 y_，其开口方向_，对称轴为_，顶点坐标为_。二、选择。1 函数 y(mn)x2 mxn 是二次函数的条件是()Am、n 是常数，且 m 0 Bm、n 是常数，且m n C.m、n 是常数，且 n0 D.m、n 可以为任意实数 2 直线 ymx1 与抛物线y2x28xk8 相交于点(3，4)，则 m、k 值为()A B C.D.3下列图象中，当 ab0 时，函数 yax2 与 ya

7、xb 的图象是()三、解答题 1 函数 (1)当 a 取什么值时，它为二次函数。(2)当 a 取什么值时，它为一次函数。3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶

8、点、对称轴的方法 （1）公 式 法：，顶 点 是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的 完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与

9、轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象及几个重要点的公式：二次函数 y=ax2+bx+c (a 0)中，a、b、c 与 的符号与图象的关系：(1)a 0 抛物线开口向上；a 0 抛物线开口向下；(2)c 0 抛物线从原点上方通过；c=0 抛物线从原点通过

10、；c0 抛物线从原点下方通过；(3)a,b异号 对称轴在 y 轴的右侧；a,b同号 对称轴在 y 轴的左侧；b=0 对称轴是 y 轴；(4)0 抛物线与 x 轴有两个交点；=0 抛物线与 x 轴有一个交点（即相切）；0 抛物线与 x 轴无交点.11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点 二次函数的图

11、像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在 轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像 与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点;方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交

12、点为，由于、是方程的两个根，故 例题精析 1、用待定系数法确定二次函数解析式 例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。(1)抛物线 yax2bxc 经过点(0，1)，(1，3)，(1，1)三点。(2)抛物线顶点 P(1，8)，且过点 A(0，6)。(3)已知二次函数 yax2bxc 的图象过(3，0)，(2，3)两点，并且以x1 为对称轴。(4)已知二次函数 yax2bxc 的图象经过一次函数 y3/2x 3 的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为 ya(x h)2 k 的形式。提示：二次函数解析式常用的有三种形式：(1)一般式：yax2bxc (a 0

13、)(2)顶点式：ya(x h)2 k (a 0)(3)两根式：ya(x x1)(x x2)(a 0)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 yax2bxc 形式。当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 ya(x h)2 k 形式。当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 ya(x x1)(xx2)2、知识点串联，综合应用 例：如图，抛物线 yax2bxc 过点 A(1，0)，且经过直线 yx3 与坐标轴的两个交点 B、C。(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，(3)若点 M在第四象限内的抛物线上，且 OM BC，垂足为 D，求点 M的坐标。提示：(

14、1)求抛物线解析式，只要求出 A、B，C 三点坐标即可，设 yx22x3。(2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1，4)。(3)由|0B|OC|3 又 OM BC。所以，OM平分BOC 设 M(x，x)代入 yx22x3 解得 x 因为 M在第四象限：M(，)（此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数 解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求 M点坐标 时应考虑 M 点所在象限的符号特征，抓住点 M 在抛物线上，从而可求 M 的求标。）练习；已知二次函数 y2x2(m1)x m 1。(1)求证不论 m为何值，函数图象与 x 轴总有交点，并指

15、出 m为何值时，只有一个交点。(2)当 m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与 x 轴的另一个交点。(3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。课堂作业 一、填空。1.如果一条抛物线的形状与 yx22 的形状相同，且顶点坐标是(4，2)，则它的解析式是_。2 开口向上的抛物线 ya(x 2)(x 8)与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C点，若ACB 90，则 a_。3 已知抛物线 yax2bxc 的对称轴为 x2，且过(3，0)，则 abc_。二、选择。1 如图(1)，二次函数 yax2bxc 图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，bc0 B.a 0，bc0

16、C.a O，bcO D.a 0，bc0 2 已知二次函数 yax2bxc 图象如图(2)所示，那么函数解析式为()Ayx22x3 B.y x22x3 Cyx22x3 D.y x22x3 3 若二次函数yax2c，当 x 取 x1、x2(x1 x2)时，函数值相等，则当x 取 x1x2 时，函数值为()Aac B.a c Cc D.c 4 已知二次函数 yax2bxc 图象如图(3)所示，下列结论中：abc0，b2a；abc0，abc0，正确的个数是()A4 个 B3 个 C.2个 D1 个 三、解答题。已知抛物线 yx2(2m1)x m2 m 2。(1)证明抛物线与 x 轴有两个不相同的交点，

17、(2)分别求出抛物线与 x 轴交点 A、B 的横坐标 xA、xB，以及与 y 轴的交点的纵坐标 yc(用含 m的代数式表示)(3)设ABC的面积为 6，且 A、B两点在 y 轴的同侧，求抛物线的解析式。3二次函数实际应用 （1）何时获得最大利润问题。例 1：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销 售，区政府对该花木产品每投资 x 万元，所获利润为 P=(x 30)2 10 万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10 年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 50 万元，若开发该产品，在前5 年中，必须每年从专

18、项资金中拿出25 万元投资修通一条公路，且5 年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 x 万元可获利润 Q=(50 x)2 (50 x)308 万元。(1)若不进行开发，求10 年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10 年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。提示：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由 P=(x 30)2 10 知道，只需从 50 万元专款中拿出 30 万元投资，每年即可获最大利润 10 万元，则 10年的最大利润为 M1 1010=100 万元。(2)若对该

19、产品开发，在前 5 年中，当 x=25 时，每年最大利润是：P(25 30)2 10=9.5(万元)则前 5 年的最大利润为 M2=9.55=47.5 万元 设后 5 年中 x 万元就是用于本地销售的投资。则由 Q(50 x)(50 x)308 知，将余下的(50 x 万元全部用于外地销售的投资才有可能获得最大利润；则后 5 年的利润是：M3(x 30)210 5(x2x308)55(x 20)2 3500 故当 x20 时，M3 取得最大值为 3500 万元。10 年的最大利润为 M M2 M3 3547.5 万元(3)因为 3547.5 100，所以该项目有极大的开发价值。例 2：某公司试

20、销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于 800 元/件，经试销调查，发现销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看做次函数 ykxb 的关系，如图所示。(1)根据图象，求一次函数ykxb 的表达式，(2)设公司获得的毛利润(毛利润销售总价成本总价)为 S 元，试用销售单价 x 表示毛利润 S；试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?分析：(1)由图象知直线 ykxb 过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式 为 yx1000 (2)由毛利润 S销售总价成本总价，可得 S 与 x

21、的关系式。S xy500yx(x1000)500(x100)x21500 x500000(x 750)2 62500 (500 x800)所以，当销售定价定为 750 元时，获最大利润为 62500 元。此时，yx10007501000250,即此时销售量为 250 件。（2）最大面积是多少问题。例：某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元，设矩形的边长为 x，面积为 S 平方米。(1)求出 S 与 x 之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用；(3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计

22、算出可获得的设计费是多少?(精确到元)(参与资料：当矩形的长是宽与(长宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，2.236)提示：(1)由矩形面积公式易得出 Sx(6 x)x26x (2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。由 Sx26x(x 3)2 9，知当 x3 时，即此矩形为边长为 3 的正方形时，矩形面积最大，为 9m2，因而相应的广告费也最多：为 910009000 元。(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。设设计的黄金矩形的长为x 米，则宽为(6 x)米。则有 x26(6 x)解得 x133(不合题意，舍去)，x233。即设计

23、的矩形的长为(3，3)米，宽为(9 3)米时，矩形为黄金矩形。此时广告费用约为：1000(33)(9 3)8498(元)课堂作业 1 某公司生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价为 3 元，年销售量为100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是 x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 yx2x1，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。(1)试写出年利润 S(十万元)与广告费 x(十万元)的函数关系式 (2)如果投入广告费为 1030 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增次?(3)在(2)中，

24、投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少?2 如图，有长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度a10 米)。(1)如果所围成的花圃的面积为45 平方米，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明理由 典型习题.抛物线 yx22x2 的顶点坐标是 （D ）A.（2，2）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，3）.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 第,题图 第

25、4 题图.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为 BC 上一点，交AB于点 E，交 AC于点 F（EF不过 A、B），设 E到 BC的距离为，则的面积关于 的函数的图象大致为（）.抛物线与 x 轴分别交于 A、B两点，则 AB的长为 4 6.已知二次函数与 x 轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：当 x 2 时，y 1；当时，y 0；方程有 两 个 不 相 等 的 实 数 根、；，；，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）7.已知直线与 x 轴交于点 A，与

26、y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B 作直线 BC AB交 x 轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线的解析式.解：（1）或 将代入，得.顶点坐标为，由题意得，解得.（2）8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为，且 是 x 的二次函数，已知输入值为,0,时,相应的输出值分别为5,（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为,则,即,解得 故所求的解析式为:.（2

27、)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值为正数时，输入值 的取值范围是或 第 9 题 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?第三天12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10 时到 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式 解：第一天中，从4 时到 16 时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要12 小时 第三天12 时这头骆驼

28、的体温是39 10.已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C是否存在实数a，使得 ABC为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由 解：依题意，得点C的坐标为（0，4）设点 A、B的坐标分别为（，0），（，0），由，解得，点 A、B的坐标分别为（-3，0），（，0），当时，ACB 90 由，得 解得 当时，点 B 的坐标为（，0），于是 当时，ABC为直角三角形 当时，ABC 90 由，得 解得 当时，点 B（-3，0）与点 A重合，不合题意 当时，BAC 90 由，得 解得 不合题意 综合、，当时，ABC为直角三角形 11.已知抛物线 yx2mxm 2.（1）

29、若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B分别在原点的两侧，并且 AB，试求 m的值；（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m的值.解:(1)（x1，0）,B(x2，0).则 x1，x2 是方程 x2 mxm 20 的两根.x1 x2 m,x1 x2=m2 0 即 m 2;又 AB x1 x2 ,m2 4m 3=0 .O 解得：m=1或 m=3(舍去),m的值为 1.（2）M(a，b)，则 N(a，b).M、N是抛物线上的两点,得：2a22m 40.a2m 2.当 m 2 时，才存在满足条件中的两点 M、N.这时 M、

30、N到 y 轴的距离均为,又点 C坐标为（0，2m）,而 SM N C=27,2（2m）=27 .解得 m=7.12.已知：抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0）（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点 E在（2）中的抛物线上，且它与点 A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解法一：（1）依题意，

31、抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0），由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0）（2）抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0），t 3a D（0，3a）梯 形 ABCD中，AB CD，且 点 C 在 抛 物 线 上，C（4，3a）AB2，CD 4 梯 形ABCD 的 面 积 为9，a 1 所求抛物线的解析式为或 （3）设点 E坐标为（，）.依题意，且 设点 E在抛物线上，解方程组 得 点 E与点 A在对称轴 x2 的同侧，点 E坐标为（，）设在抛物线的对称轴 x2 上存在一点 P，使APE的周长最小 AE 长为定值，要使APE的周

32、长最小，只须 PA PE最小 点 A关于对称轴 x2 的对称点是 B（3，0），由几何知识可知，P是直线 BE与对称轴 x2 的交点 设过点 E、B的直线的解析式为，解得 直线 BE的解析式为 把 x2 代入上式，得 点 P坐标为（2，）设点 E在抛物线上，解方程组 消去，得 0.此方程无实数根 综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（2，），使APE的周长最小 解法二：（1）抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0），t 3a 令 y 0，即解得 ，抛物线与 x 轴的另一个交点 B的坐标为（3，0）（2）由，得 D（0，3a）梯形 ABCD 中，AB CD，且点 C在抛物线 上，C（4，3a）A

33、B2，CD 4 梯形 ABCD 的面积为 9，解得 OD 3 a 1 所求抛物线的解析式为或 （3）同解法一得，P是直线 BE与对称轴 x2 的交点 如图，过点 E 作 EQ x 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交点为F 由 PFEQ，可得 点 P坐标为（2，）以下同解法一 13.已知二次函数的图象如图所示 （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M的坐标 （2）若点 N为线段 BM上的一点，过点 N作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N在线段 BM上运动时（点 N不与点 B，点 M重合），设 NQ的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围

34、；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式，其顶点 M的坐标是 （2）设线段 BM所在的直线的解析式为，点 N的坐标为 N（t，h），解得，线段 BM所在的直线的解析式为 ，其中 s与 t间的函数关系式是，自变量 t的取值范围是 （3）存在符合条件的点 P，且坐标是，设点 P的坐标为 P，则，分以下几种情况讨论：i）若PAC 90，则

35、解得：，（舍去）点 ii）若PCA 90，则 解得：（舍去）点 iii）由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时，所以边 AC 的对角APC不可能是直角 （4）以点 O，点 A（或点 O，点 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA（或边 OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（1，2），以点 A，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是E，F 图 a 图 b 14.已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数 解：根据题意，得 a21.a 1 这个二次函数解析式是 因为

36、这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB 5 cm，拱高 OC 0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE AB，如图（1）在比例图上，以直线 AB为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM 0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到 1 米）解：（1）由于顶

37、点 C在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 因为点 A（，0）（或 B（，0）在抛物线上，所以，得 因此所求函数解析式为 （2）因为点 D、E的纵坐标为，所以，得 所以点 D的坐标为（，），点 E的坐标为（，）所以 因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A在点 B 的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点 A、B，与 y轴相交于点 C （1）a、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 OC的长度是线段 OA、OB长度的比例中项，试证 a、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b4，求 a、c

38、的值 解:（1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0 （2）证明：设点 A的坐标为（，0），点 B的坐标为（，0），则 ，据题意，、是方程的两个根 由题意，得，即 所以当线段 OC长是线段 OA、OB长的比例中项时，a、c 互为倒数（3）当时，由（2）知，a 0 解法一：AB OB OA，得 c 2.解法二：由求根公式，得 c 2 17.如图，直线分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，E 经过原点 O 及A、B两点（1）C是E上一点，连结 BC交 OA于点 D，若COD CBO，求点 A、B、C的坐标；（2）求经过 O、C、A三点的抛物线的解析式：解：（1）连结 EC交 x 轴于点 N（如图）A、B 是直线分别与 x 轴、y 轴的交点 A（3，0），B 又COD CBO CBO ABC C 是的中点 ECOA 连结 OE C 点的坐标为（）（2）设经过 O、C、A三点的抛物线的解析式为 C（）为所求