2023年二次函数综合题分类讨论带超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、二次函数综合题分类讨论 一、直角三角形分类讨论：1、已知点 A(1，0),B（-5,0），在直线221xy上存在点 C，使得ABC为直角三角形，这样的 C 点你能找到 个 2、如图 1，已知抛物线 C1：522 xay的顶点为 P，与 x 轴相较于 A、B 两点（点A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1.（1）求 P 点坐标及a的值；（2）如图 1，抛物线C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后得到抛物线 C3，C,3的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C,3的解析式；（3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线 C1绕点 Q

2、旋转180后得到抛物线 C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标。（2013 汇编 P56+P147）将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都3、如图，矩形 A BC O 是矩形 OABC(边 OA 在 x 轴正半

3、轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上)绕 B点逆时针旋转得到的O 点在 x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)(1)如果二次函数 yax2bxc(a0)的图象经过 O、O 两点且图象顶点 M 的纵坐标为 1求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 P，使得POM 为直角三角形?若存在，请求出 P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边 C O 所在直线的解析式 将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到

4、的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都练习（09 成都 28）已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点C，其顶点为 M，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3，与 x 轴的交点为 N，且 cosBCO(3(10)/10)（1）求此抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；（3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q.若将抛

5、物线沿其对称轴上下平移，使 抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?543211234564224681012141618ANMBP 二、等腰三角形分类讨论 1、如图，已知 Rt,30,90,BACACBABCRt在直线 BC 或直线 AC 上取一点 P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的 P 点有 个 2、，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1 2)，点B的坐标为(31)，二次函数2yx的图象记为抛物线1l（1）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）（2）平移抛物线

6、1l，使平移后的抛物线过AB，两点，记为抛物线2l，如图，求抛物线2l的函数表达式（3）设抛物线2l的顶点为C，K为y轴上一点若ABKABCSS，求点K的坐标（4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线2l上是否存在点P，使ABP为等腰三角将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都形若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若

7、不存在，请说明师 解：（1）有多种答案，符合条件即可例如21yx，2yxx，2(1)2yx或223yxx，2(21)yx，2(12)yx （2）设抛物线2l的函数表达式为2yxbxc，Q点(1 2)A，(31)B，在抛物线2l上，12931bcbc ，解得9211.2bc，抛物线2l的函数表达式为291122yxx （3）229119722416yxxx，C点的坐标为974 16，过A BC，三点分别作x轴的垂线，垂足分别为DEF，则2AD，716CF，1BE，2DE，54DF，34FE ABCADEBADFCCFEBSSSS梯形梯形梯形 117517315(21)22122164216416

8、 延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为ymxn，Q点(1 2)A，(31)B，在直线AB上，213.mnmn，解得125.2mn，直线AB的函数表达式为1522yx G点的坐标为502，B O y x 1l 图 A 1 1 B O y x 2l 图 A C 1 1 B O y x 2l 图 A 1 1 B E F D O G K y x 2l C A 图 将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形

9、若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都设K点坐标为(0)h，分两种情况：若K点位于G点的上方，则52KGh 连结AKBK，151553122222ABKBKGAKGSSShhh 1516ABKABCSSQ，515216h ，解得5516h K点的坐标为55016，若K点位于G点的下方，则52KGh 同理可得，2516h K点的坐标为25016，（4）作图痕迹如图所示 由图可知，点P共有 3 个可能的位置 2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A(10，0)、C（0,4），点 D 是 OA 的中点，点

10、 P 在BC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为 3、在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴，CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12，BD=16，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点 P 的坐标为 三、最值问题 类型一：两点之间线段最短 1、请写出42813222mm的最小值为 2、如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE是等边三角形，对角线BD上任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转60，得到 BN，连 EN、AM、CM，求证：（1）

11、ENBAMB，(2)M 点在何处时，AM+CM 值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为13 时，求正方形的边长（2012汇编P52+P137）xyEDCBAyxDOBCAPEBCADMNx Oy 2l B A 图 将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都 3、（2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O

12、 在坐标原点，顶点 A、B分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点。（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点 E 的坐标；(2)若 E、F 为边 OA 的两个动点，且EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求当 E、F 的坐标 将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都

13、 类型二 垂线段最短 1、已知对称轴为 y 轴的抛物线caxy2，与直线1l交于 A（-4,3），B(2，0)两点，经过点 C（0，-2）的直线2l与 x 轴平行，O 为坐标原点。（1）求直线1l和这条抛物线的解析式；将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都（2）以 A 为圆心，AO 为半径的圆记为A，判断直线2l与A 的位置关系，

14、并说明理由；（3）设直线1l上的点 D 的横坐标为-1，P nm,是（1）中抛物线上的动点，当PDO的周长 最 小 时，求 四 边 形CODP的 面 积。（2013汇 编P36+P139）2、如图，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），A的半径为 1，P为x轴上一动点，PQ切A于点 Q，则当 PQ最小时，P点的坐标为 OAQP将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在

15、请说明理由求边所在直线的解析式练习成都类型三 三角形两边之差小于第三边 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A,B 的坐标分别为 A（0,3）和 B（5,0），连结 AB;(1)现将AOB绕点 O 按逆时针方向旋转90，得到COD，（点 A 落到点 C 处），求经过 B、C、D 三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点 B 的对应点为点 E，平移后的抛物线与原抛物线相较于点 F。P 为平移后得到抛物线对称轴上一个动点，连接 PE、PF，当PFPE 取得最大值时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴上运动时，是否存在点 P 使得E

16、PF为直角三角形？如果存在，请求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由。（2012 汇编 P16+P125）汇编 2013 P96 同类型 将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都类型四 抛物线顶点的最值 已知抛物线)0(2acbxaxy与 x 轴交于 A（-6,0）、B（2,0），与 y 轴交于点 C（0，-6）。（1）求此抛物

17、线的函数表达式，写出它的对称轴；（2）若在抛物线的对称轴上存在一点 M，使MBC的周长最小，求点 M 的坐标；（3）在（2）的情况下，若点 P(0，k)为线段OC 上的一个不与端点重合的动点，过点 P 作 PDCM 交 x 于点 D，连结 MD、MP，设MPD的面积为 S，求当点 P 运动到何处时 S 的值最大？（2012 汇编 P8+P123）将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标

18、和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都2013 汇编 P104+P169 三、等积转化问题 1、如图，是一个由弓形和三角形组成的组合图形，若取弧 AB 的中点 M，弦 AB 的中点 N，连接 MN 和 NC，则折线 MNC 将此图形分为两部分，这两部分的面积是否相等？请你在图中画出一条直线，将这个组合图形分成面积相等的两部分，并说明这条直线的画法。NCMBA 2、我们把能平分四边形面积的直线成为“等积线”，下面是平分四边形面积的方法之一，利用作图，可以得到四边形的“等积线”，如图，在四边形 ABCD 中，取对角线 BD 的中点 O，将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关

19、于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都连接 OA,OC.显然，折线 AOC 能平分四边形 ABCD 的面积，再过点 O 作 OE|AC 交 CD 于 E，则直线 AE 即为一条“等积线”。（1）在图中，画出经过 C 点的四边形 ABCD 的“等积线”CK（2）如图，AE 为四边形 ABCD 的一条“等积线”，F 为 AD 边上的一点，请画出经过 F点的四边形 ABCD 的“等

20、积线”，并写出画图步骤 EEODACBDACBF 3、已知：如图，抛物线)0(22acaxaxy与 y 轴交于点 C(0,4)，于 x 轴交于点 A,B，点 A 的坐标为（4,0）（1）求抛物线的解析式（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE|AC,交 BC 于点 E，连接 CQ，当三角形CQE 的面积为 3 时，求 Q 的坐标（3）若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与线段 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2,0），问：是否存在这样的直线 l，使得三角形 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。xyDEBACO Q 4、如

21、图，已知关于 x 的二次函数)0(2ccbxxy的图形与 x 轴相交于 A,B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，且 OB=OC=3,顶点为 M，（1）求出二次函数的关系式（2）点 P 为线段 MB 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PD，垂足为 D，若 OD=m，三角形 PCD 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出 m 的取值范围。（3）探索线段 MB 上是否存在点 P，使得三角形 PCD 为直角三角形，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由。将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上

22、一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都xyDMBCAOP 5、将直角边长为 6 的等腰直角三角形 AOC 放在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点C、A 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A,C，及点 B（-3,0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当三角形 APE 的面积最大时，求点 P 的坐标（3）若点

23、P（t,t）在抛物线上，则称点 P 为抛物线的不动点，将（1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线472 xy上，求此时抛物线的解析式。xyCABO 6、已知抛物线cbxaxy2与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OBOC）是方程016102 xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x=-2（1）求 A,B,C 三点的坐标（2）求次抛物线的表达式（3）连接 AC，BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A,点 B 不重合），过点 E 作EF|AC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，三角形 CEF 的面积为 S,求 S 与 m之间的函数关系式，写出自变量 m 的取值范围，在此基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，是判断此时三角形 BCE 的形状，若不存在，请说明理由。将抛物线向右平移平移后得到抛物线的顶点为当点关于点成中心对称时求的解析式如图点是轴正半轴上一点将抛物线的坐标汇编如图矩形是矩形边在轴正半轴上边在轴正半轴上绕点逆时针旋转得到的点在轴的正半轴上点的坐标为如果上是否存在点使得为直角三角形若存在请求出点的坐标和的面积若不存在请说明理由求边所在直线的解析式练习成都