(2.1)--第一章力学基本定律（revised）.pdf

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1、第一章 力学基本定律力学是研究物体的机械运动规律以及其应用的学科。机械运动：指物体之间或者物体内部各部分之间相对位置随时间发生变化的运动。目录 第一节质点动力学的基本定律 第二节刚体的定轴转动 第三节物体的弹性质点：只有质量而没有大小和形状的点。一个理想模型。动力学：研究物体的运动和物体间相互作用的联系及其规律。第一节第一节质点动力学的基本定律质点动力学的基本定律1 位矢：用来确定质点在空间位置的矢量称为位置矢量 质点运动学：描述物体运动状态变化的规律，不涉及运动状态变化的原因一、质点运动学中的物理量=+=+运动方程的矢量式运动方程的标量式直角坐标系=yOzxPP1)(tr)(tt+rr位矢和

2、位移=+=质点运动学：描述物体运动状态变化的规律，不涉及运动状态变化的原因一、质点运动学中的物理量 若质点的位置随时间变化，位矢写作 位移：在一段时间内位置的改变量 函数 的概念：在不同的时刻都具有相对应的质点的位置矢量，时刻是自变量，质点的位移矢量是应变量。在国际单位制中，位移的单位是米（m）00+=2、速度：描述物体运动快慢的物理量 平均速度：质点在时间内所发生的位移与时间的比值 瞬时速度：当趋于零时，平均速度的极限 速率：速度的大小 平均速率：路程与时间的比值 =lim0=dd=lim0=dd一、质点运动学中的物理量=0+0=0+0自变量的增量函数的增量在国际单位制中，速度的单位是米/秒

3、（m/s）00+=2、速度：描述物体运动快慢的物理量 瞬时速度：当趋于零时，平均速度的极限，即=lim0=dd一、质点运动学中的物理量导数的概念：对于函数=，函数的增量与自变量的增量的比值在趋于0时的极限如果存在，就是0处的导数，记作d d=0或0或 。d是微分符号，意味着无限小的增量。函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。=0+0=0+0自变量的增量函数的增量 函数的求导法则函数的求导法则和基本的导数公式 常数和基本初等函数的导数公式设函数=及=在点具有导数=及=，则例：+=+=+=2=0=1sin=cosc

4、os=sin =2+2+1=dd=2+2 +1=2+2利用定积分求解面积 已知 =，在=1 s到=4 s的过程中，质点的位移为？=313 已知=，在=s到=s的过程中，质点的位移为？利用定积分求解面积=1+2+3=1+2+3+=1=lim0=1 =d=d面积=每一个无限小时间段d与所对应的 的乘积累加，即无限小位移d从时刻到时刻的积分无限分割思想！求积分 如果定义在区间上的函数 及可导函数 ，对任意 ，都有 =或者d =d，则称 是 在区间上的原函数。（连续函数一定有原函数）例如：3=323是32的原函数sin=cossin是cos的原函数=2+2 =2+2是 =2+2的原函数=d=d=dd=

5、若 为连续函数 在闭区间,上的原函数，则 d=d =已知：=2+2，在=1 s和=3 s之间的位移是多少？基本积分表d=+若 是 在区间上的原函数，则 +称为 在区间上的不定积分 d=+基本积分表：d=+1+1+sind=cos+cosd=sin+例：3d=3+（是常数）例：2d=33+133d=3 31=3 3 3 1132d=3331=33331332sind=cos23=cos2 cos3例：不定积分的线性运算例：3d=3d例：3+22d=3d+22d=3d+22d d=d d=d d2、速度：描述物体运动快慢的物理量 瞬时速度：=dd一、质点运动学中的物理量 =+=dd+dd+dd=+

6、速率：=2+2+2 =lim0=dd=dddd=d2d2)(tt+v)(tvvyOzxPP1)(tt+v)(tv)(tt+r)(tr3、加速度：描述物体速度变化快慢的物理量设质点在 和 +时刻的速度分别为 ，+在 时间内速度变化量为=+-则定义质点在 时间内的平均加速度为当趋于零时，平均加速度的极限为瞬时加速度，即一、质点运动学中的物理量加速度的单位是米/平方秒（m/s2）有函数=，若=在0处可导，在0处的导数记作=0=0=dd=0=d d=0=0=lim0=lim0 0+x 0d表示 0 0=lim0=dd=0=00时刻的瞬时速度 =lim0=dd=任意时刻的瞬时速度d表示 0，即无限小的时

7、间间隔，所对应的d是无限小的位移以位矢随时间的变化曲线为例：几何意义物理意义在任意处的导数？以速度随时间的变化曲线为例：=lim0=dd=dd=dddd=d2d2任意时刻的瞬时加速度：已知函数=的导数记为=dd若导数=dd在任意处可导，其导数记为=lim0=d2d2二阶导数 =dd=d表示 0，即无限小的时间间隔，所对应的d是无限小的速度增量 直线运动：速度方向与加速度方向一致或相反。一、质点运动学中的物理量=dd=dd=d2d2 0=0d=0d 0=0d=0d 若质点做匀速直线运动，加速度是 =，已知=0时，速度 0=0，位矢 0=0。那么时刻，质点在时刻的速度 和位矢 为 0=0 d=0=

8、0 d=00+d=0+122 =0+=0+122 d=d =一、质点运动学中的物理量 曲线运动：速度方向与加速度方向不一致，加速度方向指向曲线内侧。切向加速度改变速度的大小法向加速度改变速度的方向 匀速圆周运动：速度方向与加速度方向垂直。=2一、质点运动学中的物理量例题：一质点在平面内运动，其位置矢量随时间变化的函数形式为=42+3+2 式中的单位为m，t的单位为s。求（1）质点的轨迹；（2）从=0 s到=1 s的位移；（3）=0 s和=1 s两时刻的速度。=+一、质点运动学中的物理量例题：一质点在平面内运动，其位置矢量随时间变化的函数形式为=42+3+2 式中的单位为m，t的单位为s。求（1

9、）质点的轨迹；=42 =3+2=32=8+3=8一、质点运动学中的物理量例：一质点在平面内运动，其位置矢量随时间变化的函数形式为=42+3+2 式中的单位为m，t的单位为s。求（2）从=0 s到=1 s的位移；（3）=0 s和=1 s两时刻的速度。=1=4+5 =0=3=1 =0=4+2=8+2=01d =1=+2 =0=2（一）牛顿第一定律（惯性定律）1、内容：任何物体都保持静止或者匀速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这种状态。2、意义：牛顿第一定律揭示了运动和力的关系，力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因。（1）如果没有外力作用，物体将保持其原有的静止状态或者匀速

10、直线运动状态，这种性质被称为惯性。（2）惯性不是外界强加给它的，是物体固有的，一切物体都具有惯性。如果物体受到的合外力不为零？二、牛顿运动定律（二）牛顿第二定律1、内容：物体受到外力作用时，获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比；获得的加速度的方向与合外力的方向相同。2、数学表达式：=3、质量是改变物体运动状态难易程度的物理量，是物体惯性的量度。二、牛顿运动定律 力的单位是牛顿（N），1 N=1 kg m/s2（三）牛顿第三定律1、内容：当物体 A 以力 作用在物体 B 时，物体 B 也必定同时以力 作用在物体 A；和 在同一直线上，大小相等，方向相反。2、数学表达式：=3

11、、这两个力被称为作用力和反作用力，任选其中一个称为作用力，则另一个称为反作用力。分别作用在不同的物体上，同时出现，同时消失。什么是力？力是物体对物体的相互作用。牛顿运动定律成立的条件？二、牛顿运动定律牛顿在自然哲学的数学原理中提出了三条定律作为动力学的基础对于不同的参照系来说，运动的描述是相对的站台，地面参照系火车A，静止，合外力为0火车B，加速运动 对于地面参照系，A车静止，合外力为0。牛顿第一定律成立！对于B车参照系，A车向与B车相反的方向做加速运动，合外力为0。牛顿第二定律不成立！凡是牛顿运动定律成立的参照系称为惯性参照系，简称惯性系。凡是牛顿运动定律不成立的参照系称为非惯性参照系，简称

12、非惯性系。二、牛顿运动定律（四）惯性系和非惯性系二、牛顿运动定律例：质量为 =1 kg 的物体沿轴运动，物体受力如图所示，受力方向沿轴正方向。=0 s时，质点静止在坐标原点，试求=7 s时此质点的速度。=2,0 55+35,5 7=ddd=2d,0 55+35 d,5 7=01d+12d=052d+575+35 d功是力的空间积累效应（一）力的功1、恒力的功：力在位移方向的分量与该位移大小的乘积，就是力 对质点所做的功，用 来表示=cos 注意，功是标量，只有大小，没有方向；在国际单位制中，功的单位是焦耳（J）三、功和能1 J=1 N m2、变力的功：将整个做功过程分成许多小段，当每一段足够小

13、时，小段可以看作直线，作用于质点上的力可以看作恒力。任取一小段，位移为dr，相应的作用力为 ，则这一小段上的力对质点做功称为元功，用 d 表示d=d=cosd=d=cosd d 取无限小时，变力的功三、功和能3、功率：力对质点做功快慢的物理量。（1）设在时间内做功，这段时间内的平均功率为=（2）当趋于0，时刻的瞬时功率（简称功率）为=lim0=ddd=d=dd=cos 功率等于力在速度方向上的分量和速度大小的乘积（3）在国际单位制中，功率的单位是瓦特（W）三、功和能（二）动能和动能定理做功与能量之间的联系？从a点到b点的合外力做功：=b d=bcosd=cos=ddd=d=ddd=d=1221

14、22 定义物体的动能：k=122物体由于机械运动而具有的能量物体运动状态的单值函数标量，单位为焦耳（J）三、功和能=cos合外力做功与物体动能变化之间的联系？=122122=k k 动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。从a点到b点的合外力做功：三、功和能=cos（二）动能和动能定理=accosd=d=（三）保守力和势能1、重力做功（从a点到b点）dh 沿路径adb呢？重力做功只与物体的始末位置有关，与路径无关 沿闭合路径acbda呢？=acd+d=d+d=d d=0三、功和能=d=cosd=d=1221222、弹性力做功（以弹簧为例）根据胡克定律，弹簧的弹性力为=从a点到b点，弹

15、性力做功为弹性力做功只与物体的始末位置有关，与路径无关 从a点出发回到a点？=122122=0三、功和能质点平衡位置3、势能（1）重力做功（2）弹性力做功=12212b2定义重力势能定义弹性势能=122（3）沿任意闭合路径运动一周，力对物体所做的功为零，则这种力称为保守力；否则称为非保守力。（4）结论：保守力对物体所做的功等于相应的势能增量的负值。=-注意与动能定理的区别三、功和能相同点？（四）功能原理和机械能守恒定律 对于一个质点，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。对于一个质点系，所有外力和内力对质点系所做的功之和等于质点系总动能的增量。=外+保内+非保内=保内=三、功和能质点受到的外力

16、=质点系之外物体对质点的力+质点系其他质点的力（质点系的内力）外+非保内=+=非保守内力+保守内力系统机械能 定义系统的机械能：=+外+非保内=功能原理：系统外力的功和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。外+非保内=0+=+机械能守恒定律：如果一个系统只有保守内力做功,而其他内力和一切外力都不做功或它们所做的功的总和为零,则系统内各质点的动能和各种势能之间可以互相转换,但系统的机械能保持不变。三、功和能（四）功能原理和机械能守恒定律（一）动量=1、动量的定义式：2、矢量，单位：kg m s1=d d=ddd=d 一个质点，质量为，在变力作用下，从1运动到2，速度从1变成2，对应的动量从

17、1变成2。12d=12d=2 1四、动量定理和动量守恒定律根据牛顿第二定律动量是力的时间积累效应（二）冲量和动量定理1、冲量的定义式：2、矢量，单位：N s=12d=2 1=2 1 动量定理：质点在运动过程中所受合外力的冲量等于该质点动量的增量。四、动量定理和动量守恒定律力对时间的累积效应引起了动量的增量例题质量为 =1 kg 的物体沿轴运动，物体受力如图所示。=0 s时，质点静止在坐标原点，试求=7 s时此质点的速度。=12d=052d+575+35 d=2 1=2 1=2,0 55+35,5 72=35m s（三）动量守恒定律对于一个质点系，不受外力或合外力为零。其中，第个质点对于质点系内

18、所有的质点根据牛顿第三定律12内d=2 112内d=2 1内d=02=1 动量守恒定律：如果系统不受外力或所受合外力为零,则系统的总动量保持不变。四、动量定理和动量守恒定律在完全弹性碰撞中，动量和机械能均守恒第二节第二节刚体的定轴转动刚体的定轴转动2 刚体：在外力作用下其大小和形状都不发生变化的物体；一个特殊的质点系，其中任意两个质点之间的距离保持不变。平动：运动时，刚体上任何一条直线在运动过程中的方向始终保持不变。转动：刚体上各点都绕同一直线做圆周运动；该直线称为转轴；转轴固定不动的转动称为定轴转动。一、平动和转动刚体的一般运动是平动和转动这两类基本运动的合成1、描述刚体顶轴转动的物理量角坐

19、标：时刻与轴的夹角角位移：时间内转过的角度（逆时针转动，角位移取正值）角速度：描述刚体转动快慢的物理量角加速度：=dd=dd=d2d2平均角速度 =瞬时角速度二、刚体定轴转动的运动学判定角速度的方向rad s1radrad s22、刚体匀速、匀变速转动公式刚体匀速转动公式=刚体匀变速转动公式=0+=0+1222=02+2质点匀速直线运动=质点匀变速直线运动=0+=0+1222=02+2二、刚体定轴转动的运动学3、角量与线量的关系用于描述刚体上各点做圆周运动的物理量：曲率半径线速度角速度角加速度切向加速度法向加速度（向心加速度）=2=2二、刚体定轴转动的运动学二、刚体定轴转动的运动学飞轮直径为0

20、.3 m，质量为5 kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止状态开始均匀地加速，经0.5 s转速达每秒10转，假定飞轮可视为匀质圆盘。求（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的圈数（2）拉动后10 s时，飞轮边缘上任一点的速度和加速度=0.15 m=5 kg=10 r/s=0.5 s时=2=20 rad/s=40 rad/s2 =40(rad/s)=00.5d=00.5d=5（1）=52=2.5 圈二、刚体定轴转动的运动学飞轮直径为0.3 m，质量为5 kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止状态开始均匀地加速，经0.5 s转速达每秒10转，假定飞轮可视为匀质圆盘。求（

21、1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的圈数（2）拉动后10 s时，飞轮边缘上任一点的速度和加速度 =10 s=400(rad/s)（2）=40 rad/s2=60 m/s=0.15 m=6 m/s21、力矩（产生角加速度）三、刚体定轴转动定律=sin力矩 =力矩反映了力的大小、方向和作用点对物体转动状态的影响力矩的大小方向与角加速度方向一致产生角加速度的因素力的大小和方向力的作用点sinsincos2、转动定律 角速度，角加速度，质量，径矢，外力（夹角），内力（夹角）sin+sin=切向=sin=2=2定义转动惯量三、刚体定轴转动定律转动惯量sin+sin=2等效sin=合外力矩=转动定律三、

22、刚体定轴转动定律=1 1+2=规定以角加速度方向为正方向11 22=2、转动惯量=刚体转动惯量是转动惯性的量度=2刚体质量连续分布=2d=2d 刚体转动惯量的有关因素：与刚体的质量有关 与质量的分布（刚体的形状、大小和各部分密度）有关 与转轴的位置有关三、刚体定轴转动定律单位是kg 2三、刚体定轴转动定律例：求长为、质量为的均匀细棒对下列转轴的转动惯量。（1）通过棒的一端与棒垂直的轴；（2）通过棒的中点与棒垂直的轴。=2d三、刚体定轴转动定律（1）通过棒的一端与棒垂直的轴d=d取长度为d的质元d=2d=2d=02d=132（2）通过棒的一端与棒垂直的轴=2d=222d=1122例：求长为、质量

23、为的均匀细棒对下列转轴的转动惯量。三、刚体定轴转动定律例：求质量为，半径为的均匀薄圆盘的转动惯量，转轴与圆盘表面垂直并通过其圆心。取薄圆环形质元d，其上各点到圆心距离为d=2d设薄圆环形面密度=2d=2dr=d=023d=124=122三、刚体定轴转动定律例：一轻绳跨过定滑轮，其两端分别挂有质量为1和2的两物体。将定滑轮看做是匀质圆盘，其质量为，半径为，摩擦阻力忽略不计，且绳与圆盘之间无滑动。若，求物体的加速度及绳中的张力。三、刚体定轴转动定律例：一轻绳跨过定滑轮，其两端分别挂有质量为1和2的两物体。将定滑轮看做是匀质圆盘，其质量为，半径为，摩擦阻力忽略不计，且绳与圆盘之间无滑动。若，求物体的

24、加速度及绳中的张力。1 2=2 2=21 1=1=122=1、转动动能 刚体上任一质点质量，速度，角速度，半径刚体上任一质点动能=122=1222刚体的转动动能=1222=1222=122四、刚体定轴转动的功与能动能定理=122122=k k2、力矩的功 转过d，力做功d=cosd=sind=d+=90d=d 有限大小角位移=2 1，力矩对刚体所做的功=d=12d 力矩的瞬时功率=dd=dd=四、刚体定轴转动的功与能3、刚体定轴转动的动能定理=12d=12ddd=12d力矩做功=12221212 刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。四、刚体定轴转动的功与能四、

25、刚体定轴转动的功与能例：质量为、长为的均匀细棒可绕通过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动。开始时棒静止在水平位置，今使棒自由摆下，求细棒摆到竖直位置时，其端点A的角速度和线速度。=12d=12221212=sin=2cos=12d=022cosd=122=132=3=31、质点的角动量定义质点对转轴的角动量 =2、刚体的角动量=2刚体上任一质点的角动量刚体的角动量=2=五、角动量守恒定律kg m2 s13、冲量矩与角动量定理=dd=dd=dd通过转动定律冲量矩d=d=d 描述力矩对时间的积累效应 刚体对转轴的角动量定理：刚体所受合外力的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。在1到2的时间间隔

26、内 12d=12d=2 1=2 24、角动量守恒定律=恒矢量=0 角动量守恒定律：刚体所受合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。五、角动量守恒定律N m s五、角动量守恒定律例：质量为、长为的均匀细棒，其一端挂在一个水平光滑轴上，开始时棒静止在竖直位置；一个质量为、速度为0的小球垂直射向棒的下端,与棒的下端发生弹性碰撞。求碰撞后瞬间小球的速度和棒的角速度。小球 =sin0=+132角动量守恒机械能守恒1202=122+121322=3 3+0=603+细棒 =132一、质点运动学中的物理量=dd=dd=d2d2 0=0d=0d 0=0d=0d=dd=dd=d2d2 0=0d=0d 0=0d=0

27、d=绕轴转动的质点=牛顿第二定律动能=122=12221212动能定理动量=动量定理=12d=2 1=0动量守恒定律=转动定律=2d转动动能=122角动量定理12d=2 1质点角动量=刚体角动量=12221212转动动能定理2=1=0角动量守恒定律2=1弹性：物体发生形变后，能恢复原来大小和形状的性质。第三节第三节物体的弹性物体的弹性3 形变：在外力作用下物体发生的形状和大小的改变弹性形变：在一定的形变限度内，撤掉外力后物体能够完全恢复原状。弹性体：外力作用后能够完全恢复原状的物体。非弹性形变：撤掉外力后物体不能完全恢复原状。非弹性体：外力作用后不能恢复原状的物体。形变可分为伸长、缩短、弯曲、

28、切变、扭转等几种类型。一、弹性和塑性 应变：物体受外力作用时其长度、体积或形状发生相对变化的程度。1、线应变：物体在外力作用下，长度为0的物体如果在外力的拉伸或者压缩作用下发生了长度为的长度改变，长度改变量与物体原长0的比值=0 0 0 12 1 0 03、切变模量：在剪切情况下，切应力与切应变的比值，即=大多数材料的切变模量只有杨氏模量的 12 13 非线性弹性体：应力与应变不成正比的材料（弹性模量不是常数），例如骨骼，肌肉、超过弹性极限的弹性物体。四、弹性模量四、弹性模量例：股骨是大腿中的主要骨骼。如果成年人股骨的最小截面积是6 104m2，骨的杨氏模量为0.9 1010N m2，问受压负荷为多大时将发生碎裂？假定直至碎裂前，应力-应变关系还是线性的，试求发生碎裂时的应变。（抗压强度=17 107N m2）=17 107 6 104=1.02 105N=17 1070.9 1010=0.019=1.9%线应变 杨氏模量Thanks!