中考数学抛物线难题解析含答案11页.pdf

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1、中考数学抛物线难题解析(含答案)中考数学抛物线难题解析(含答案)一、（辽宁 12 市）一、（辽宁 12 市）如图，在平面直角坐标系中，直线y 3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax 22 3xc(a 0)通过A，B，C三点3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出极点F的坐标；（2）在抛物线上是不是存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探讨在直线AC上是不是存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线y 3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C3)A(1，0)，C(0，点A，C都在抛

2、物线上，y2 330 aca 33 3 cc 3抛 物 线 的 解 析 式 为y 322 3x x3极 点33AOCFBx4 3F1，3（2）存在P，3)P2(2，3)1(0（3）存在理由：延长BC到点B，使BC BC，连接BF交直线AC于点M，则点M确实是所求的点过点B作BH AB于点HyHACBOBxB点在抛物线y 322 3x x3上，B(3，0)33MF图 9在RtBOC中，tanOBC 3，3OBC 30，BC 2 3，在RtBBH中，BH 1BB 2 3，2BH 3BH 6，OH 3，B(3，2 3)设直线BF的解析式为y kxb32 3 3k bk 64 3解得 k bb 3 3

3、32y 33 3x623y 3x3x 310 37M，解得33 37x7y y 10 3，627310 3在直线AC上存在点M，使得MBF的周长最小，现在M，77，0)二、（山东济南）二、（山东济南）已知：抛物线y ax2bx c(a0)，极点 C(1，3)，与 x 轴交于 A、B 两点，A(1（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线对称轴交于点 E，依次连接A、D、B、E，点P 为线段AB上一个动点(P 与A、B 两点不重合)，过点P 作PMAE于M，PNDB于N，请判定PMPN是不是为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由BEAD（3）在

4、(2)的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FGEP，FG 别离与边AE、BE 相交于点 F、PAEFG(F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合)，请判定是不是成PBEG立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【思路点拨】（2）证APMABE，同理:PNPB（3）证PH=BH且APMPBHADABMADOPNPMAPBEAByE再证MEPEGF可得。解：(1)设抛物线的解析式为y a(x 1)23BxC将 A(1，0)代入:0 a(11)23a 343339 抛物线的解析式为y(x1)23，即：y x2x 4424（2）是定值，PMPN1BEAD AB 为直径，AE

5、B=90，PMAE，PMBE APMABE，同理:PMAPBEABPNPBPMPNAPPB+:1ADABBEADABAB（3）直线 EC 为抛物线对称轴，EC 垂直平分 AB EA=EB AEB=90 AEB 为等腰直角三角形 EAB=EBA=45 .7分如图，过点 P 作 PHBE 于 H，由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形，PH=ME 且 PHME在APM 和PBH 中AMP=PHB=90，EAB=BPH=45 PH=BH且APMPBHPAPMPBBHPAPMPMPBPHME在MEP 和EGF 中，PEFG，FGE+SEG=90MEP+SEG=90 FGE=MEP PME=FEG=9

6、0 MEPEGFPMEFMEEGPAEFPBEG由、知：3、(浙江杭州浙江杭州)在直角坐标系 xOy 中，设点 A（0，t），点 Q（t，b）。平移二次函数y tx的图象，取得的抛物线F知足两个条件：x 轴相交于 B，C 两点（OBOC），连结 A，B。（1）是不是存在如此的抛物线F，2极点为 Q；与OA OB OC？请你作出判定，并说明理由；（2）若是 AQBC，且 tanABO=对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式OA OB OC来构建关于t、b的方程；(2)讨论223，求抛物线 F2t的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。解：（1）平移y tx的图象取得的抛物线

7、F的极点为Q,抛物线F对应的解析式为:y t(x t)b.抛物线与 x 轴有两个交点，tb 0.22令y 0,得OB t b，OC t tb)(t tb,t|OB|OC|(t 2即tbb2)|t|t2 OA2,ttbt t2,因此当b 2t3时,存在抛物线F使得|OA|2|OB|OC|.-2 分2(2)AQ/BC,t b,得F:y t(x t)t,解得x1 t 1,x2 t 1.在Rt AOB中,1)当t 0时,由|OB|OC|,得B(t 1,0),当t 1 0时,由tanABO t3|OA|,解得t 3,2|OB|t 12现在,二次函数解析式为y 3x 18x 24;当t 1 0时,由tan

8、ABO t3|OA|3,解得t,2|OB|t 15321848x+.x+525125现在，二次函数解析式为y 2)当t 0时,由|OB|OC|,将t代t,可得t（也可由 x代x，y代y取得）因此二次函数解析式为y 3,t 3,53218x48或y 3x218x 24.x+52512524、(江苏常州)4、(江苏常州)如图,抛物线y x 4x与 x 轴别离相交于点 B、O,它的极点为 A,连接 AB,把 AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它通过原点 O,取得直线 l,设 P 是直线 l 上（1）求点 A 的坐标;（2）以点 A、B、O、P 为极点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请别离直接

9、写出这些特殊四边形的极点（3）设以点 A、B、O、P 为极点的四边形的面积为S,P 的坐标;一动点.点 P 的横坐标为 x,当46 2 S 68 2时,求 x 的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是 y=-2x，因此应讨论当点P 在第二象限时，x0 这二种情形。解：（1）y x 4x (x 2)4A(-2,-4)（2）四边形 ABP1O 为菱形时，P1(-2,4)224)54 8四边形 ABP3O 为直角梯形时，P1(，)5 5612四边形 ABOP4为直角梯形时，P1(，)55四边形 ABOP2为等腰梯形时，P1(，（3）25由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是y

10、=-2x-8,因此直线l的函数关系式是 y=-2x当点 P 在第二象限时，x0,过点 A、P 别离作 x 轴的垂线，垂足为 A、P则四边形 POAA 的面积SPOAA S梯形PPAASPPOAAB 的面积SAAB42x1(x2)(2x)x 4x422142 42S SPOAA SAAB 4x 8(x 0)46 2 S 68 2，3x S 46 24x8 46 2即S 4S 68 24x8 68 23 2 24 2 1 x x 的取值范围是222 222 125 5、（浙江丽水）（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x 2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y x从点

11、O沿OA方向平移，与直线x 2交于点P，极点M到A点时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线极点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是不是存在点Q，积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y kx，A（2，4），BOM2yAP使 QMA的 面在，请说明理由x 2xk 2,2k 4,OA所在直线的函数解析式为y 2x（2）极点 M 的横坐标为m，且在线段OA上移动，y 2m（0m2）.极点M的坐标为(m,2m).抛物线函数解析式为y.(xm)2m当x

12、 2时，22（0m2）.y (2m)2m m 2m422m4点P的坐标是（2，m）.22PB=m=(，又0m2，2m4m1)32当m 1时，PB 最短（3）当线段PB最短时，现在抛物线的解析式为y.x 122假设在抛物线上存在点Q，使SQ.SPMAMA2x3设点Q的坐标为（x，x）.2yADB 3A当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PCAOyCPP 1OC 1C1点P的坐标B 4A是（2，3），直线PC的函数解析式为y 2.x 1SQ，点Q落在直线y 2上.SPx 1MAMAMBP2x3x=2x1.2E2,x2解得x，即点Q（2，3）.12点Q与点P重合.现在抛物线上不存在点Q，使QMA与

13、APM的面积相等.当点Q落在直线OA的上方时，OCx 2xEDDEy 2OD A 1作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DEAOyEAP 1Ex 1，点Q落在直线y 2上.SQSPx 1MAMA2x3x=2x1.22，x解得：x22.1 2252 2.代入y 2，得y52 2，yx 12122,5 2 2现在抛物线上存在点Q2,522，Q212A的面积相等.使QMA与PM22,5 2 2综上所述，抛物线上存在点Q2,522，Q212A的面积相等.使QMA与PM6 6、（广东省深圳市）（广东省深圳市）如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数y ax bx c(a 0)的图象的极点为 D 点，与

14、y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OBOC，tanACO213（1）求那个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是不是存在如此的点F，使以点 A、C、E、F 为极点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出现在P

15、 点的坐标和APG 的最大面积.EAOBxyyAOBxC【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F 为极点的四边形为平行四边形时，求F 点的坐标，再代入抛物线的表DCMN 在x轴下方时二种情形。达式查验。（3）讨论当直线MN 在x轴上方时、当直线（4）构建S 关于x的G二次函数，求它的最大值。解：（1）由已知得：C（0，3），A（1，0）图 9D图 10a b c 0将 A、B、C 三点的坐标代入得9a 3b c 0c 3a 1解得：b 2c 3因此那个二次函数的表达式为：y x 2x 3（2）存在，F 点的坐标为（2，3）易患 D（1，4），因此直线 CD 的解析式为：y x 3E 点的坐标为（

16、3，0）以 A、C、E、F 为极点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）代入抛物线的表达式查验，只有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3）（3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为R（R0），则 N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得R 21 172My1RRN当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为r（r0），则 N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得r 1 172圆的半径为1 171 17或22（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易患 G（2，3），直线 AG 为y x 1设 P（x，x 2x 3），则 Q（x

17、，x1），PQ x x 222SAPG SAPQ SGPQ当x 1(x2 x 2)321时，APG 的面积最大2121527，SAPG的最大值为48此时 P 点的坐标为,7 7、（广东梅州）（广东梅州）如图所示，在梯形 ABCD 中，ADDB，AD=DC=CB，AB=4以 AB 所在直线为x于 AB 的直线为y轴成立平面直角坐标系（1）求DAB 的度数及 A、D、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使角形的点 P 有几个?（没必要求点 P 的坐标，只需说解：（1）DCAB，AD=DC=CB，CDB=CBD=DBA，DAB

18、=CBA，DAB=2DBA，DAB+DBA=90，DAB=60，DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=3，已知 ABCD，轴，过D 且垂直其对称轴 LPDB为等腰三明理由）A（-1，0），D（0，3），C（2，3）线必过点（2）依照抛物线和等腰梯形的对称性知，知足条件的抛物A（1，0），B（3，0），故可设所求为y=a（x+1）（x-3）将点 D（0，3）的坐标代入上式得，a=33所求抛物线的解析式为y=3(x 1)(x 3).其对称轴 L 为直线x=13（3）PDB 为等腰三角形，有以下三种情形：因直线 L 与 DB 不平行，DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交

19、点 P1，P1D=P1B，P1DB 为等腰三角形；因为以 D 为圆心，DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；与同理，L 上也有两个点 P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5由于以上各点互不重合，因此在直线L 上，使PDB 为等腰三角形的点 P 有 5 个8 8、（广东肇庆）（广东肇庆）已知点 A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y 5x 12x上.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时，求ABC 的面积；（3）是不是存在含有y1、y2、y3，且与a 无关的等式？若是存在，试

20、给出一个，并加以证明；若是不存在，说明理由.解：（1）由 5x 12x=0，得x1 0，x2 22（1 分）1212抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0）、（，0）（3 分）55（2）当 a=1 时，得 A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），别离过点 A、B、C 作 x 轴的垂线，垂足别离为D、E、F，则有SABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC=(17 81)2(17 44)1(44 81)1-222=5（个单位面积）（3）如：y3 3(y2 y1)2事实上，y3 5(3a)12(3a)=45a2+36a3（y2 y1）=35（2a）2+122a-（5a2+12a）

21、=45a2+36ay3 3(y2 y1)9 9、（青海西宁）（青海西宁）如图，已知半径为1 的（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是不是存在一点P，使得以三角形与OO1M相似若存在，请求出所有符合条件存在，请说明理由OAO1BxO1与x轴交于A，B两点，OM为O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为(2，0)，二次函数y x2bxc的图象通过A，B两点yMP，O，A为极点的的点P的坐标；若不解：（1）圆心O1的坐标为(2，0)，2O1半径为 1，A(1，0)，B(3，0)1 分二次函数y x bxc的图象通过点A，B，1bc 0可得方程组93bc 0解得：b

22、4二次函数解析式为y x24x3c 3（2）过点M作MF x轴，垂足为F直于通过切点的半径）在RtOO1M中，sinO1OM OM是O1的切线，M为切点，O1M OM（圆的切线垂O1M1OO12yPP21OMBxO1OM为锐角，O1OM 303OM OO1cos30 23，2在RtMOF中，OF OM cos30 3HAFO13322MF OM sin30 3132233点M坐标为，22设切线OM的函数解析式为y kx(k 0)，由题意可知333k，k 切线OM的函数解析式为223y 3x3（3）存在过点A作AP1 x轴，与OM交于点P1可得RtAPO1RtMO1O（两角对应相等两三角形相似）

23、P1A OA tanAOP1 tan30 33P 1，133过点A作AP2 OM，垂足为P2，过P2点作P2H OA，垂足为H可得RtAP2ORtO1MO（两角对应相等两三角开相似）在RtOP2A中，OA1，OP2 OA cos30 3，2在RtOP2H中，OH OP2cosAOP2333，224P2H OP2sinAOP233313，P2，44224333符合条件的P点坐标有1，3441010、（四川资阳）（四川资阳）如图，已知点A 的坐标是（1，0），点以 AB 为直径作O，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC、BC，物线（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点，BC

24、E 的平分线 CD 交O直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是不是存在点P，使得PDB请求出点 P 的坐标；若是不存在，请说明理由解：(1)以 AB 为直径作O，交 y 轴的负半轴于点 C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC=COB=90，AOCCOB，OAOCOCOB又A(1，0)，B(9，0)，1OC，解得 OC=3(负值舍去)OC9C(0，3)，设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x9)，13=a(0+1)(09)，解得 a=，3118二次函数的解析式为 y=(x+1)(x9)，即 y=x2x3333(2)AB 为 O的直径，且 A(

25、1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，点 E 是 AC 延长线上一点，BCE 的平分线 CD 交O于点 D，11BCD=BCE=90=45，22CBD?若是存在，于点 D，连结 BD，求B 的坐标是（9，0），过 A、B、C 三点作抛连结 OD 交 BC 于点 M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=D(4，5)设直线 BD 的解析式为 y=kx+b（k0）1AB=529k b 0,k 1,解得4k b 5.b 9.直线 BD 的解析式为 y=x9.(3)假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，设射线 DP 交O于点 Q，则BQ CD分两种情形(如答案图 1 所示)

26、：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把点 C、D 绕点 O逆时针旋转 90，使点 D 与点 B 重合，则点 C 与点 Q1重合，因此，点 Q1(7，4)符合BQ CD，D(4，5)，Q1(7，4)，用 待 定 系 数 法 可 求 出 直 线DQ1119y x，11933解 析 式 为y=x 解 方 程 组得1833y x2x 3.33941941x，1x222y 2941；y 2941.126694129419412941，)，坐标为(，)不符合题意，舍去2626Q1(7，4)，点 P1坐标为(点 Q1关于 x 轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合BQ CDD(4，5)，

27、Q2(7，4)用待定系数法可求出直线DQ2解析式为 y=3x17y 3x 17，x1 3，x214，解方程组得128y 8；y 25.y x x 3.1233点 P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去9412941符合条件的点 P 有两个：P1(，)，P2(14，25)261111、（辽宁沈阳）（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB 1，OB 3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后取得矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的 对 应 点 为 点D，抛 物 线y ax bxc过 点

28、2yEABFCODxA，E，D（1）判定点E是不是在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是不是存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为极点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由（1）点E在y轴上理由如下：连接AO，如图所示，在RtABO中，AB 1，BO 3，AO 2sinAOB 1，AOB 302由题意可知：AOE 60BOE AOBAOE 30 60 90点B在x轴上，点E在y轴上（2）过点D作DM x轴于点MOD 1，DOM 30在RtDOM中，DM 点D在第一象限，31，OM 2

29、23 1点D的坐标为2，2由（1）知EO AO 2，点E在y轴的正半轴上点E的坐标为(0，2)，点A的坐标为(31)抛物线y ax bxc通过点E，2c 23 12A(31)，由题意，将，D代入y ax bx2中得2283a3b2 1a 9解得331b2 ab 5 3422985 3x2（3）存在符合条件的点P，点Q10 分所求抛物线表达式为：y x299理由如下：矩形ABOC的面积 AB BO 3以O，B，P，Q为极点的平行四边形面积为2 3由题意可知OB为此平行四边形一边，又OB 3OB边上的高为 2依题意设点P的坐标为(m，2)点P在抛物线y 825 3x x2上9985 3m2m2 2

30、99解得，m1 0，m2 5 385 3P(0，2)P2，128，以O，B，P，Q为极点的四边形是平行四边形，PQOB，PQ OB 3，当点P1的坐标为(0，2)时，点Q的坐标别离为Q1(3，2)，Q2(3，2)；ABFyECDO Mx5 32当点P2的坐标为8，时，点Q的坐标别离为Q313 33 3，2Q，2，48812、（苏州市）12、（苏州市）如图，抛物线 ya(x1)(x5)与 x 轴的交点为 M、N直线 ykxb与 x 轴交于 P(2，0)，与 y 轴交于 C若 A、B 两点在直线 ykxb 上，且 AO=BO=MN 的中点，OH 为 RtOPC 斜边上的高(1)(1)OH 的长度等

31、于_；k_，b_；(2)(2)是不是存在实数 a，使得抛物线 ya(x1)(x5)上有一点 E，知足以 D、N、E 为顶点的三角形与AOB 相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探讨所求得的抛物线上是不是还有符合条件的E 点(简要说明理由)；并进一步探讨对符合条件的每一个E 点，直线NE 与直线 AB 的交点 G 是不是总知足 PBPG10P-2ACHMOB22，AOBOD 为线段，写出探讨进程yDNx解：(1)解：(1)OH1；k33，b2 33；(2)(2)设存在实数 a，是抛物线 ya(x1)(x5)上有一点 E，知足以 D、N、E 为极点的三角形与等腰直

32、角AOB相似以 D、N、E 为极点的三角形为等腰直角三角形，且如此的三角形最多只有两类，一类是以 DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形若 DN 为等腰直角三角形的直角边，则EDDN由抛物线 ya(x1)(x5)得：M(1，0)，N(5，0)D(2，0)，EDDN3，E 的坐标是(2，3)把 E(2，3)代入抛物线解析式，得a13抛物线解析式为 y1(x1)(x5)3即 y1x24x5333若 DN 为等腰直角三角形的斜边，则DEEN，DEENE 的坐标为，把 E，代入抛物线解析式，得a29抛物线解析式为 y2(x1)(x5)，即 y2x28x109999当 a

33、1时，在抛物线y1x24x5上存在一点 E(2，3)知足条件，若是此抛物线上还有知足条件的E3333点，不妨设为 E 点，那么只有可能DE N 是以 DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得 E，显然 E 不在抛物线 y1x24x5上，因此抛物线 y1x24x5上没有符合条件的其他的E 点333333当 a2时，同理可得抛物线 y2x28x10上没有符合条件的其他的E 点9999当 E 的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y1x24x5时333EDN 和ABO 都是等腰直角三角形，GNPPBO45又NPGBPO，NPGBPOPGPNPOPB，PBPGPOPN2714，总知足 PBPG10 2当 E 的坐标为，对应的抛物线解析式为y2x28x10时，999同理可证得：PBPGPOPN2714，总知足 PBPG10 2