山东省泰安市20202021学年高二上学期期末考试数学试题及答案.pdf

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1、2020-2021 学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共 8 小题）.1（3 分）直线 l1：ax+2y+a0 与直线 l2：2x+aya0 互相平行，则实数 a（）A4B4C2D22（3 分）如图，已知三棱锥OABC，点M，N 分别是 OA，BC 的中点，点G 为线段 MN上一点，且 MG2GN，若记，则（）ACBD3（3 分）若圆 C1：x2+y21 与圆 C2：x2+y26x8y+m0 外切，则 m（）A21B19C9D114（3 分）已知（2，1，2），（1，3，3），（13，6，），若向量，共面，则（）A2B3C4D65（3 分）对抛物线 y4x2，下列描述正确的是

2、（）A开口向上，焦点为（0，1）B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为（1，0）D开口向右，焦点为6（3 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y22，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）ABCD7（3 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 A在双曲线上，且

3、F1AF260，若F1AF2的角平分线经过线段 OF2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）ABCD8（3 分）椭圆+1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为B，F 为其右焦点，若 AFBF，设ABF，且 A，1B，则该椭圆离心率的取值范围为（）C，1）D，二、多选题（共 4 小题）9（3 分）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为 CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）AB1GBCB平面 AEF平面 AA1D1DAD1CA1H面 AEFD二面角 EAFC 的大小为10（3 分）已知直线 xsin+ycos+10（R），给出下列命题正确的是（）A

4、直线的倾斜角是 B无论 如何变化，直线不过原点C无论 如何变化，直线总和一个定圆相切D当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于111（3 分）已知曲线 C 的方程为A当 k4 时，曲线 C 为圆B当 k0 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为，则下列结论正确的是（）C“k4”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D存在实数 k 使得曲线 C 为双曲线，其离心率为12（3 分）已知F1、F2是椭圆 C：的左、右焦点，M、N 是左、右e 为椭圆 C 的离心率，B 两点，顶点，过右焦点 F2的直线 l 与椭圆交于 A，已知0，3，|AF1|2|AF2|，设直

5、线 AB 的斜率为 k，直线 AM 和直线 AN 的斜率k2，k4，分别为 k1，直线 BM 和之间 BN 的斜率分别为 k3，则下列结论一定正确的是（）AeBkCk1 k2Dk3 k4三、填空题（共 4 小题）13（3 分）已知点P（2，3），Q（3，2），直线ax+y+20 与线段 PQ 相交，则实数a的取值范围是14（3 分）如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 CC1的中点，则异面直线BD1与 AM 所成角的余弦值为15（3 分）若ABC 的两个顶点坐标 A（4，0）、B（4，0），ABC 的周长为 18，则顶点 C 的轨迹方程为16（3 分）设 F1，F2是双曲线

6、1 的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|2：1，则PF1F2的面积等于四、解答题（共 6 小题）17已知 P（3，2），一直线 l 过点 P，若直线 l 在两坐标轴上截距之和为12，求直线 l 的方程；若直线 l 与 x、y 轴正半轴交于 A、B 两点，当OAB 面积为 12 时，求直线 l 的方程18已知过点 M（0，2）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x1）2+y21 交于 A，B 两点（1）求斜率 k 的取值范围；（2）以点 M 为圆心，r 为半径的圆与圆 C 总存在公共点，求 r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与 OB 斜率之和为定值19

7、如图，四面体 ABCD 中，平面 DAC底面 ABC，ABBCAC4，ADCDO 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点（1）证明：DO底面 ABC；（2）求二面角 DAEC 的余弦值，20已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y（）求双曲线的方程；（）过双曲线右焦点F 作倾斜角为x，且双曲线过点（，）的直线交双曲线于 A，B，求|AB|21已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，CD平面 PAD，E，F，G，O 分别是 PC，PD，BC，AD 的中点（）求证：PO平面 ABCD；（）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小；（）线段

8、 PA 上是否存在点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为线段 PM 的长度；若不存在，说明理由，若存在，求22已知椭圆 C：下顶点（1）求椭圆 C 的方程的离心率，且圆 x2+y22 过椭圆 C 的上，（2）若直线 l 的斜率为，且直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，点 P 关于原点的对称点为E，点 A（2，1）是椭圆 C 上一点，判断直线 AE 与 AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由参考答案一、选择题（共 8 小题）1（3 分）直线 l1：ax+2y+a0 与直线 l2：2x+aya0 互相平行，则实数 a（）A4B4C2D2【分析】根据两直

9、线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a 的值解：直线 l1：ax+2y+a0 与直线 l2：2x+aya0 互相平行，a0，且则实数 a2，故选：D2（3 分）如图，已知三棱锥OABC，点M，N 分别是 OA，BC 的中点，点G 为线段 MN上一点，且 MG2GN，若记，则（），ACBD【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出解：+，（+）（+），可得：+故选：C3（3 分）若圆 C1：x2+y21 与圆 C2：x2+y26x8y+m0 外切，则 m（）A21B19C9D11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和

10、列式求得 m 值解：由 C1：x2+y21，得圆心 C1（0，0），半径为 1，由圆 C2：x2+y26x8y+m0，得（x3）2+（y4）225m，圆心 C2（3，4），半径为圆 C1与圆 C2外切，解得：m9故选：C4（3 分）已知（2，1，2），（1，3，3），（13，6，），若向量，共面，则（）A2B3C4D6，【分析】根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可解：（2，1，2），（1，3，3），（13，6，），三个向量共面，（2，1，2）x（1，3，3）+y（13，6，）解得：故选：B5（3 分）对抛物线 y4x2，下列描述正确的是（）A

11、开口向上，焦点为（0，1）B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为（1，0）D开口向右，焦点为【分析】根据二次函数的性质进行判断解：a40，图象开口向上，焦点为故选：B6（3 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y22，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）ABCD【分析】求出 A 关于 x

12、+y4 的对称点 A，根据题意，AC为最短距离，求出即可解：设点 A 关于直线 x+y4 的对称点 A（a，b），设军营所在区域为的圆心为C，根据题意，ACAA的中点为（为最短距离，先求出 A的坐标，），直线 AA的斜率为 1，故直线 AA为 yx3，由，联立得故 a4，b1，所以 AC故 AC故选：B7（3 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 A，在双曲线上，且F1AF260，若F1AF2的角平分线经过线段 OF2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】先假设 A 在右支上，利用角平分线的性质和双曲线定义可求出|AF1|，|AF2|与

13、 a的关系，然后在三角形中利用余弦定理化简即可求解解：设 OF2的中点为 M，另设|AF1|m，|AF2|n，假设 A 在双曲线的右支上，由角平分线的性质可得，又 M 是 OF2的中点，则，根据双曲线的定义可得：mn2a，所以 m3a，na，则在三角形 AF1F2中，由余弦定理可得：cosF1AF2，所以 cos60，化简可得，即，所以双曲线的离心率为故选：B8（3 分）椭圆+，1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为B，F 为其右焦点，若 AFBF，设ABF，且 A，1B，则该椭圆离心率的取值范围为（）C，1）D，【分析】设左焦点为 F，根据椭圆定义：|AF|+|AF|2a，根据 B 和

14、A 关于原点对称可知|BF|AF|，推知|AF|+|BF|2a，又根据 O 是 RtABF 的斜边中点可知|AB|2c，在 RtABF 中用 和 c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|2a 中即可表示出即离心率e，进而根据 的范围确定 e 的范围解：B 和 A 关于原点对称B 也在椭圆上设左焦点为 F根据椭圆定义：|AF|+|AF|2a又|BF|AF|AF|+|BF|2aO 是 RtABF 的斜边中点，|AB|2c又|AF|2csin|BF|2ccos代入2csin+2ccos2a即 ea，）1+/4sin（+e故选：B二、多选题（共 4 小题）9（3 分）正方体ABCDA1B1

15、C1D1中，E、F、G、H 分别为 CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）AB1GBCB平面 AEF平面 AA1D1DAD1CA1H面 AEFD二面角 EAFC 的大小为【分析】建立空间坐标系，求出各向量坐标，利用向量的平行和垂直关系判断解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为 1，则A（1，0，0），E（0，1，），F（，1，0），B1（1，1，1），G（0，0），H（1，1，），A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，1，），（，1，0），（，0，），（1，0，1），（1，0，0），（1，1），2，AD1EF，平面 AE

16、F 与平面 ADD1A1的交线为 AD1，故 B 正确；10，B1G 与 BC 不垂直，故 A 错误；设平面 AEF 的法向量为（x，y，z），则，令 y1 可得（2，1，2），0+110，A1H平面 AEF，故 C 正确；平面 ABCD 的一个法向量为（0，0，1），cos，设二面角 EAFC 的大小为，则 cos，故 D 错误故选：BC10（3 分）已知直线 xsin+ycos+10（R），给出下列命题正确的是（）A直线的倾斜角是 B无论 如何变化，直线不过原点C无论 如何变化，直线总和一个定圆相切D当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1【分析】根据倾斜角的范围，可

17、判断A；将（0，0）代入直线方程，可判断B；将原点和直线方程代入直线距离公式，可得直线总和单位圆相切，可判断 C；求出三角形面积公式，结合三角函数的图象和性质，可判断D解：根据倾斜角的范围为0，），而 R，可知 A 错误；当 xy0 时，xsin+ycos+110，故直线必不过原点，故B 正确；原点到直线的距离 d1，故直线总和单位圆相切，故C 正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积 S|1，故 D 正确；故选：BCD11（3 分）已知曲线 C 的方程为A当 k4 时，曲线 C 为圆B当 k0 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为，则下列结论正确的是（）|C“k4”是“

18、曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D存在实数 k 使得曲线 C 为双曲线，其离心率为【分析】通过 k 的值，判断曲线的形状，然后判断选项的正误即可解：曲线 C 的方程为所以 A 正确；当 k0 时，曲线 C 为，是双曲线，其渐近线方程为，所以 B 正确；，当k4 时，方程为 x2+y22，曲线 C 为圆，“6k4”是“曲线C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的充要条件，所以“k4”是“曲线C为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以C 不正确；k6 时，曲线 C 为双曲线，其离心率为e可得 k4k2，无解，所以k2 时，以，然后，如果，可得4k6k，显然不成立，所，所以

19、D 不正确故选：AB12（3 分）已知F1、F2是椭圆 C：的左、右焦点，M、N 是左、右e 为椭圆 C 的离心率，B 两点，顶点，过右焦点 F2的直线 l 与椭圆交于 A，已知0，3，|AF1|2|AF2|，设直线 AB 的斜率为 k，直线 AM 和直线 AN 的斜率k2，k4，分别为 k1，直线 BM 和之间 BN 的斜率分别为 k3，则下列结论一定正确的是（）AeBkCk1 k2Dk3 k4【分析】过点F2作 F1B 的平行线，交AF1于点 E，设|F2A|2t，|F1A|4t，可得AB|5t，由椭圆定义可得 a3t|BF1|BF2|3t，在EF1F2中，由勾股定理可得：c，b 即可判断

20、 AB 的正误，y）设 A（x，则，即可判断 CD正误解：EF2设|F2A|2t，|F1A|4t，又 3，|AB|5t，0，AF1BF1，过点 F2作 F1B 的平行线，交 AF1于点 E，AF1AF1BF1，|F1B|3t，12t4a，a3t|BF1|BF2|3ta，B（0，b），在EF1F2中，EF1EF12+EF22F1F22，EF2，b，F1F22c，椭圆离心率 ek，故 B 错，故 A 正确，设 A（x，y），易得 M（a，0），N（a，0），则，故 C 正确，同理故选：AC，故 D 错三、填空题（共 4 小题）13（3 分）已知点P（2，3），Q（3，2），直线ax+y+20 与线

21、段 PQ 相交，则实数a的取值范围是【分析】分别求出直线 MQ、MP 的斜率，进而即可求出直线MN 的斜率的取值范围解：画出图象要使直线 ax+y+20 与线段 PQ 相交，则满足，故答案为，14（3 分）如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 CC1的中点，则异面直线BD1与 AM 所成角的余弦值为【分析】分别以，的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，与不妨设正方体的棱长为 1，则异面直线 BD1与 AM 所成角的余弦值，转化为求向量的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即可求得，注意向量夹角与异面角间的关系解：分别以，的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方

22、向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1，则 A（1，0，0），B（1，1，0），M（0，1，），D1（0，0，1），所以（1，1，1），（1，1，），则 cos，即异面直线BD1与 AM 所成角的余弦值为故答案为：，15（3 分）若ABC 的两个顶点坐标 A（4，0）、B（4，0），ABC 的周长为 18，则顶点 C 的轨迹方程为（y0）【分析】根据三角形的周长和定点，得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值，得到点A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点解：（1）ABC 的两顶点 A（4，0），B（4，0），周长为 18，AB8，BC+AC10，108

23、，点 C 到两个定点的距离之和等于定值，点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，2a10，2c8，b3，所以椭圆的标准方程是（y0）故答案为：（y0）16（3 分）设 F1，F2是双曲线1 的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|2：1，则PF1F2的面积等于12【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|6，再由|PF1|：|PF2|2：1，求出|PF1|，|PF2|，由此转化求出PF1F2的面积解：F1，F2是双曲线1 的两个焦点，F1（3，0），F2（3，0），|F1F2|6，|PF1|：|PF2|2：1，设|PF2|x，则|PF1|2x，由双曲线的性质知|2xx|2|P

24、F1|4，|PF2|2，解得 x2cosF1PF2PF1F2的面积为4故答案为：12四、解答题（共 6 小题）2，sinF1PF21217已知 P（3，2），一直线 l 过点 P，若直线 l 在两坐标轴上截距之和为12，求直线 l 的方程；若直线 l 与 x、y 轴正半轴交于 A、B 两点，当OAB 面积为 12 时，求直线 l 的方程【分析】设斜率为 k，得出直线的点斜式方程，从而求出截距，再根据条件列方程求出 k，从而得出直线 l 的方程解：显然直线 l 有斜率且不为 0，设斜率为 k，则直线 l 的方程为：yk（x3）+2，令 x0 得 y3k+2，令 y0 得 x3k+2+3+312，

25、解得 k或 k2直线 l 的方程为 y（x3）+2 或 y2（x3）+2直线 l 与 x、y 轴交于正半轴，3k+20，（3k+2）（+3）12，解得 k+30，直线 l 的方程为 y（x3）+218已知过点 M（0，2）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x1）2+y21 交于 A，B 两点（1）求斜率 k 的取值范围；（2）以点 M 为圆心，r 为半径的圆与圆 C 总存在公共点，求 r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与 OB 斜率之和为定值【分析】（1）写出直线 l 的方程，若直线与圆相交，则圆心C 到直线 l 的距离 d 小于半径 r，进而解得 k 的取值范围（2）

26、若若以点 M 为圆心，r 为半径的圆与圆 C 总存在公共点，则直线与圆外切，相交，内切，所以|r1|MC|r+1，进而解除 r 的取值范围（3）设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆方程，消去 y 整理得（k2+1）x2+（4kx+40，2）韦达定理得，代入化简 kOA+kOB+2k+1，进而得出答案解：（1）根据题意可得，直线l 的方程为：y2k（x0），即 kxy+20，圆 C 的方程为（x1）2+y21，则其圆心 C（1，0），半径 r1，若直线与圆相交，必有 dr，即，解得 k，所以斜率 k 的取值范围为 k（2）若以点 M 为圆心，r 为半径的圆与圆 C 总存在公共点，

27、则|r1|MC|r+1，即|r1|所以1r+1r+1，（3）证明：联立直线与圆的方程：，消去 y 整理得（k2+1）x2+（4k2）x+40，设 A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理得，则 kOA+kOB+2k+2k+2k+2k2k+11，故直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为定值 119如图，四面体 ABCD 中，平面 DAC底面 ABC，ABBCAC4，ADCDO 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，（1）证明：DO底面 ABC；（2）求二面角 DAEC 的余弦值【分析】（1）证明 DOAC利用平面 DAC底面 ABC，推出 DO底面 ABC（2）以点O 为坐标原点，OA

28、 为 x 轴，OB 为 y 轴，OC 为 z 轴建立空间 0 xyz 直角坐标系求出平面 ADE 的一个法向量，平面 AEC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 DAEC 的余弦值即可【解答】（1）证明：ADCDDOAC平面 DAC底面 ABC，平面 DAC底面 ABCAC，DO底面 ABC（2）解：由条件易知DOBO，BOACOAOCOD2，OB，O 是 AC 的中点，如图，以点 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OC 为 z 轴建立空间 0 xyz 直角坐标系 则 A（2，0，0），C0，0）D0，2）（2，（0，设平面 ADE 的一个法向量为，则即令 z11，

29、则，所以同理可得平面 AEC 的一个法向量因为二面角 DAEC 的平面角为锐角，所以二面角DAEC 的余弦值为20已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y（）求双曲线的方程；（）过双曲线右焦点F 作倾斜角为x，且双曲线过点（，）的直线交双曲线于 A，B，求|AB|代入，即可求双曲线的方【分析】（）设双曲线方程为：3x2y2，点程；（）直线 AB 的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求|AB|解：（）设双曲线方程为：3x2y2，点所以所求双曲线方程为：（6 分）代入得：3，（）直线 AB 的方程为：yx2，由得：2x2+4x70，（10 分）（12 分）21已知在四棱锥 PABCD

30、 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，CD平面 PAD，E，F，G，O 分别是 PC，PD，BC，AD 的中点（）求证：PO平面 ABCD；（）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小；（）线段 PA 上是否存在点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为，若存在，求线段 PM 的长度；若不存在，说明理由【分析】（I）因为 POAD，又 CD平面 PAD，得到 POCD，进而证明结论；（II）以 O 点为原点分别以 OA、OG、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，平面 EFG 的法向量，又平面 ABCD 的法向量即可；（III

31、）假设线段PA 上存在点 M，设所成角为，得到关于 的方程，解方程判断即可，由直线GM 与平面 EFG，利用夹角公式求出解：（）证明：因为PAD 是正三角形，O 是 AD 的中点，所以 POAD又因为 CD平面 PAD，PO平面 PAD，所以 POCD，ADCDD，AD，CD平面ABCD，所以 PO面 ABCD；（）如图，以 O 点为原点分别以 OA、OG、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则，设平面 EFG 的法向量为，由，得令 z1，则又平面 ABCD 的法向量，设平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为，所以所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为

32、；，（）假设线段 PA 上存在点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为设所以，由，所以整理得 223+20，无解，所以，不存在这样的点 M，22已知椭圆 C：下顶点（1）求椭圆 C 的方程的离心率，且圆 x2+y22 过椭圆 C 的上，（2）若直线 l 的斜率为，且直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，点 P 关于原点的对称点为E，点 A（2，1）是椭圆 C 上一点，判断直线 AE 与 AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由【分析】（1）由题意可得b，运用椭圆的离心率公式和a，b，c 的关系，解方程可得a，c，进而得到所求椭圆方程；（2）可设直线 l 的方程为 yx+t，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理，计算可得所求定值解：（1）椭圆 C：上，下顶点，可得 b，e，c2a2b2，解得 a2，c，的离心率，且圆 x2+y22 过椭圆 C 的则椭圆的方程为+1；（2）若直线 l 的斜率为，可设直线 l 的方程为 yx+t，联立椭圆方程 x2+4y280，可得 x2+2tx+2t240，则4t24（2t24）0，解得2t2，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x1，y1），可得 x1+x22t，x1x22t24，则 kAE+kAQ+0则直线 AE 与 AQ 的斜率之和为定值 0