2022年四川省成都市高考数学二诊试卷理科附答案详解.pdf

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1、2022 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）2022 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、单选题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分）1.复数3(1+)=()A.1+B.1 C.1+D.1 2.设集合=|3.若集合满足 =1,2,3，则满足条件的集合的个数为()A.1B.2C.3D.43.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是直径为2的圆则该几何体的表面积为()A.3B.2C.33D.34.在(1 2)6的展开式中3的系数是()A.240B.15C.15D.1605.在区间(2,4)内随机取一个数，使得不等式4 5 2+4 0，则“

2、2 3”是“3 6”的()A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件第 1 页，共 20 页/)与燃料的质量(单位：10.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：)，火箭(除燃料外)的质量(单位：)的函数关系是=2000(1+).当燃料质量与火箭质量的比值为0时，火箭的最大速度可达到0/.若要使火箭的最大速度达到20/，则燃料质量与火箭质量的比值应为()2A.202B.0+0C.202D.0+20 底面，=6，=1，11.在四棱锥 中，已知底面为矩形，=3.若、分别为，的中点，经过，三点的平面与侧棱相交于点.若四棱锥 的顶点均在球的表面上，则球的半径为()

3、A.45B.213C.2D.212.已知 中，角，的对边分别为，.若=1，42cos2+42sin2=32 3，则的最大值为()7A.47B.37C.377D.47二、填空题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分）13.某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为_14.已知 中，=90，=2，为边上的动点，则 =_15.定义在上的奇函数()满足()=(2 )，且当 0,1时，()=2.则函数()=()(23)的所有零点之和为_10216.已知2为双曲线经过2作直线与双曲线的一条2

4、=1(0,0)的右焦点，212渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线交于点.若|2|=3|2|，则双曲线的离心率为_三、解答题（本大题共7 7 小题，共 82.082.0分）17.某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长(单位：分钟)及他们的语文成绩，得到如表的统计表：第 2 页，共 20 页平均时长(单位：分钟)人数语文成绩优秀人数(0,2093(20,40219(40,601510(60,8053()估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；()若从课外阅读平均时长在区间(0,

5、20和(60,80的学生中各随机选取2名进行研究，求所选4名学生中至少有3名语文成绩优秀的学生的概率18.已知函数()=3+sin2，其中0 0)经过点(3,2)，其右顶点为(2,0)221()求椭圆的方程；()若点，在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为20.求 面积的最大值121.已知函数()=22 2，其中 ()若函数()在0,+)上单调递增，求的取值范围；()若函数()存在两个极值点1，2(1 2)，当1+2 32 4,求2+21+21531时，的取值范围第 4 页，共 20 页22.在直角坐标系中，曲线的方程为(1)2+(3)2=1.以坐标原点为极轴正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极

6、坐标方程为=()，其中为常数且 0,)()求直线的普通方程与曲线的极坐标方程；()若直线与曲线相交于，两点，求|+|的取值范围1123.已知函数()=42+4+2|2 3|，()当=1时，求函数()的最大值；()若对，(0,+)，关于的不等式()+2恒成立，当+=6时，求的取值范围11第 5 页，共 20 页答案和解析1.【答案】【解析】解：3(1+)=(1+)=+1，故选：利用复数的运算法则即可得出本题考查了复数的运算法则，属于基础题2.【答案】【解析】解：=|3=1,2，=1,2,3；满足条件的为：3，1,3，2,3，1,2,3，共4个故选：根据条件即可得出满足条件的集合为：1，1,2，1

7、,3，1,2,3，共4个考查列举法的定义，并集的定义及运算3.【答案】【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为3的圆锥；如图所示：所以圆锥的母线长为2；2故表=1+2 1=3；故选：首先把三视图转换为几何体直观图，进一步求出几何体的表面积本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应第 6 页，共 20 页用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题4.【答案】(2)=(2)6【解析】解：(1 2)6的展开式的通项为1=6令=33展开式中3的系数是(2)36=160故选：利用二项展开式的通项公式求出第1项，令的指数为3求出

8、展开式中3的系数本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具5.【答案】【解析】解：解不等式4 5 24 0得1 2 4，即0 2，由几何概型中的线段型可得：在区间(2,4)内随机取一个数，使得不等式4 5 24 3，1 12，又1 0，2，解得0 6反之，由3 6，即12 15，又1 0，1 3，3，“2 3”是“3 6”的充分不必要条件，故选：由2 3，利用通项公式，结合1 0，可得等比数列的单调性，进而判断出3 6成立；反之可以判断出正误本题考查了等比数列的通项公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10.【答案】【解析】解：设燃料质量与火箭质量

9、的比值为时，火箭的最大速度达到20/，由题意可知0=2000(1+0)，20=2000(1+)，4000(1+0)=2000(1+)，ln(1+)=2(1+0)=ln(1+0)2，1+=(1+0)2，2 =0+20，2即要使火箭的最大速度达到20/，则燃料质量与火箭质量的比值应为0+20，故选：设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到20/，则0=2000(1+0)，20=2000(1+)，结合对数的运算性质求出的值即可本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题11.【答案】第 9 页，共 20 页【解析】解：根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，3则

10、(2,0,0)，(1,3,0)，(0,3)，21=(1,3,0)，=(1,3,3)，=(1,3,)，设(0,0,)，则22经过，三点的平面与侧棱相交于点，、四点共面，=+，存在实数，使得即(1,3,)=(,3,3)，22132 =113 3=3，解得=3，=2，2=3(0,0,2)，即是棱的三等分点靠近点，2的长方体的外接球半径相同，四棱锥 的顶点均在球的半径与边长为1，3，边长为1，3，2的长方体的外接球半径为球的半径为2故选：建立空间直角坐标系，设(0,0,)，进而根据，四边共面得存在实数，=+，求出为棱的三等分点靠近，再将问题转化为1，3，2的使得长方体的外接球的半径即可本题考查四棱锥的

11、外接球的半径的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题1+3+422=2，第 10 页，共 20 页12.【答案】【解析】解：因为=1，42cos2+42sin2=32 3，所以42cos2+42sin2=32 32，由正弦定理得：422+422=32 32，即42(sin2+cos2)=42=32 32，所以42=32 32，则2=4 42，所以=2+222733=2+2 2+223434=1272+442=8+8 288=777，4(当且仅当8=8，即=7时取等号)，所以的最小值为47因为sin2+cos2=1，所以=1 cos2 1 (cos2)

12、=1=，164所以的最大值为()=73()377故选：利用正弦定理边化角，可得42=32 32，再次角化边可得，关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值，进而得的最大值，再求()可得答案本题主要考查了正弦定理，余弦定理和基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题()即13.【答案】3【解析】解：由分层抽样的定义可得，应抽取的大型城市的个数为618+12+6=3个故答案为：3根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解本题主要考查分层抽样的的定义，属于基础题1814.【答案】4第 11 页，共 20 页【解析】解：中，=90，=2，为边上的动点，=|2=4|cos=

13、|则故答案为：4直接利用向量的数量积，化简求解即可本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基础题15.【答案】18【解析】解：依题意，定义在上的奇函数()满足()=(2 )，(1 )=(2 (1 )=(1+)，所以()关于=1对称，(+4)=(1+(+3)=(1 (+3)=(2 )=(2+)=(2 ()=()=()，所以()是周期为4的周期函数(2+)=(1+(1+)=(1 (1+)=()=()=(2 )，所以()关于点(2,0)对称，由于函数=关于原点对称，=()3=100010个单位得到，所以函数=(10)3关于(2,0)对称，画出=(),=(10)3的图象如下图所示，2232(2)310

14、00图象可以由=图象向右平移210003由图可知，=(),=(10)3有9个公共点，所以()的所有零点和为9 2=18，故答案为：18判断出()的对称性、周期性，画出=(),=(10)3的图象，结合图象求得()的所有零点之和22第 12 页，共 20 页本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题16.【答案】3【解析】解：设2(,0)，双曲线的渐近线方程为=，设直线与渐近线=垂直，可得直线的方程为=()，联立=可得=()，联立=，可得=22，=()1因为|2|=3|2|，所以2=32，所以22=3，又2=2 2，联立可得，2=22，=1+22=1+2=3，故答案为：3 由渐近线方程与直线的

15、方程联立，分别求出，的纵坐标再结合2=32，运用向量共线的坐标表示，以及离心率公式，即可求解本题考查双曲线的性质，以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题17.【答案】解：()记这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数为，则=50(10 9+30 21+50 15+70 5)=36.4，所以该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数为36.4，()从区间(0,20的9名学生中任取两名，有一人语文成绩优秀的概率为1136291=2，11有两人语文成绩优秀的概率为32=12，92从区间(60,80的学生中各随机选取2名，第 13 页，共 20 页有一人语文成绩优秀的概率为11

16、3225=5，33有两人语文成绩优秀的概率为32=10，52所以所选4名学生中至少有3名语文成绩优秀的学生的概率为210+125+1210=940131313【解析】()根据平均数的求法，求得平均数；()利用组合数，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率本题考查了古典概型及其概率的计算，考查了平均数的计算，属于中档题31211318.【答案】解：()()=2+=22+=22222sin(26)+2，(12)=2，()=sin(2 1211)+=1262211得sin(66)=0，得66=，得=6+1，0 0)，第 15 页，共 20 页 =(,1,2),所以1=(0,1,3),1=(0,2

17、,1)，因为直线1与所成角的余弦值为，610 所以|cos1,|=|1|1|=51025=10，解得6=2，=(2,1,2)，则(2,0,3),=(,)，设平面1的一个法向量为 ,2=05=0=(,1,2)，则1，即令=1，则22 2=0,=0=(1,0,0)是平面1的一个法向量，易知,=则cos|52()21(2)252=53，5所以二面角 1 的余弦值为3【解析】()根据条件证明1 平面，再由线面垂直的性质得到1 ；()由()取11的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，将二面角的问题转化为向量夹角问题求解本题考查了空间中的垂直关系，二面角的求解，属于中档题=22()依题可得，2【答案】

18、解：解得=1，所以椭圆的方程为2=20.=1，4=3222=3142=21()易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设：=，0，(1,1)，(2,2)，2由42=1=可得，(142)2842 4=0，8144241421所以，12=12,12=，=16(421 2)0，而=20，即2)，11222=20，化简可得，20(1)(2)=(1 2)(22因为(142)2842 4=(142)(1)(2)，所以，令=2可得，(1 2)(2 2)=1621642142，242142令=可得，20()()=202()()=2021212第 16 页，共 20 页=202802142，把代入得，16

19、21642=202802，化简得622=0，所以，=2 或=3，所以直线：=(2)或=(3)，因为直线不经过点，所以直线经过定点(3,0)设定点(3,0)，所以，=|=2|12|=2|12|=5|16(4212)214215=10(152)2142，因为152 0，所以0 2 0恒成立，所以()在0,)上单调递增，所以()的最小值为(0)=2，所以的取值范围是(,2.第 17 页，共 20 页11()因为函数()存在两个极值点1，2(1 2)，所以(1)=(2)=0，所以1=(1+2)，2=(2+2)，由()得2 1 1 0，又(1)=0，所以()0在(1,+)上恒成立，所以()0在(1,+)

20、上恒成立，所以()在(1,+)上单调递增，又(2)=32 4，()=所以当()32 4,所以2+21+2531，531时，2,，的取值范围是2,【解析】()由题意知()=2 0在0,+)上恒成立，参变量分离可得+2在0,+)上恒成立，令()=+2，利用导数求出()的最小值，即可得到的范围；2()由极值点的性质可得1=(1+2)，2=(2+2)，消去可得21=+2，1+2(+1)(+1)2令=+2，变形可得1+2=1 4，令()=1 4，利用导数求出()的1+2单调区间，进一步求出2+21+2的取值范围本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题第 18

21、 页，共 20 页=()曲线的方程为(1)2+(3)2=1，【答案】解：根据=22.2+2=2转换为极坐标方程为2 2 23+3=0；直线的极坐标方程为=()，转换为普通方程为=；，()把直线的极坐标方程为=()，代入2 2 23+3=0；故2 2 23+3=0；故1+2=2+23；12=3；所以求|+|=由于 0,)，所以+6 6,4 7611|1+2|12|=3|23+2|=3|sin(+6)|；14),4故|3sin(+6)|0,3()直接利用转换关系，【解析】在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；()利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性

22、质的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题4,21323.【答案】解：()当=1时，()=|2+1|2 3|=4 2,2 2，4,12 时，函数()取得最大值42()，(0,+)，当+=6时，+2=8(+2)(+2)=8(+2)8(2+21+2111111+233+2+2)=2，当且仅当=4，=2时取等号111对，(0,+)，当+=6时，关于的不等式()+2恒成立，()2，由()=42+4+2|2 3|=|2+|2 3|2+(2 3)|=|4|2，当且仅当 1321 0时取等号第 19 页，共 20 页解得8 8，的取值范围是(8,8).1 111【解析】()当=1时，对分类讨论可得：()=|2+1|2 3|=4,2134 2,2 2，进而得出结论4,12()，(0,+)，当+=6时，+2=8(+2)(+2)，利用基本不等式可得其最小值为2.对，(0,+)，当+=6时，关于的不等式()11111113+恒成立，可得()2，由由()=42+4+2|2 3|=|2+211|2 3|，利用绝对值不等式的性质可得其最大值本题考查了函数的单调性、含极大值不等式的解法与性质、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 20 页，共 20 页