四川成都第七中学高二数学上期期末考试试卷理.pdf

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1、成都七中高 2021 届上期期末热身考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有 15 位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的众数为7 9987（A）89（B）878 6 7 4 6 5 65（C）86（D）819 1 3 432方程x2 y22x 2y a表示圆，则实数a的取值范围是（A）2,)（B）(2,)（C）2,)（D）(2,)3如图所示的四个散点图的相关系数分别为r1 0.97,r2 0.85,r3 0.24,r4 0.05，则

2、线性相关关系最强的是（A）（B）（C）（D）4.已知p:A,B是互斥事件，q:A,B是对立事件，则p是q的INPUTx（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件IFx0 THENy=2*x（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件ELSEy=2*(x+1)5根据如图的程序语句,当输入的 x 的值为 2 时,END IF则执行程序后输出的 y 的值为PRINTyEND（A）4（B）6（C）8（D）106 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图所示,则用电量低于150度的户数为（A）70（B）18（C）30（D）247已知直线y x 2

3、与圆锥曲线x2a y21仅有一个交点，则实数a的值为（A）3（B）1（C）3或1（D）3或1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上.13某学校有高级教师和中级教师一共600人，现用分层抽样的方法，从所有教师中抽取容量为50的样本，已知从中级教师中抽取的人数为15，那么该学校的高级教师人数为14若命题“对bR，方程ax2(b2b1a)y21均表示双曲线”为真命题，则实数a的取值范围是15某学习小组有4 名男生和 3 名女生，其中有一对是孪生兄妹，现从该B B小组中选出一名男生和一名女生参加知识竞赛，则这对孪生兄妹至少有一人被选出的概率为A A16如图，D

4、 DBCE中，BC BE，A为BE上一点，且CAE 60，ABC的内切圆与边AC相切于D，设以C,E为焦点过点A的椭圆的离心率为e1，以C,E为焦点过点A的双曲线的离心率为eC CE E2，则1e2321e2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题10分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(x,y,z)，开始其中1 x 3,1 y 2，现将点A的横纵竖坐标执行如图所示的程序框图输入x,y,z（）若A(1,2,3)，输出的值对应的坐标记为点B，求AB的值；xy?否x x 1z z 1是（）求执行右图程序框图时没有进入循环体的输出x,y,

5、z概率结束18（本小题12分）已知抛物线y2 2px(p 0)与双曲线x2y21的两条渐近线分别交于除原点O外的A,B两点，且OAB的面积为16（）求抛物线方程；（）M,N是抛物线上两点，若OMON 4，证明直线MN过定点19（本小题12分）某保险公司给年龄在2070岁的民众提供某种疾病的一年期限的医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本已经按年龄段20,30),30,40),40,50),50,60),60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费（单位:元）如下表所示据统计，该公司在保期年度内为这一万名参保人员支出的各种

6、费用为一百万元频率组距a20,30)30,40)40,50)50,60)60,700.025年龄0.020 x2x3x4x5x0.016保费（单位：元）0.007O20 30 40 50 60 70年龄（）求直方图中实数a的值，并求出利用这100个样本来估计所有参保人员年龄的中位数；（）用样本的频率分布估计总体的分布，为使公司不亏本，则保费x至少为多少元？（精确到整数）20（本小题12分）某学校对参加了新课改的 5 名同学的数学等级A（分为5,6,7,8,9五个等级）、和物理等级B（分为2,3,4三个等级）两项数据进行收集和分析，得到的数据如下表：指标1 号2 号3 号4 号5 号A57698

7、B22344（）若通过数据分析，得知等级A的指标数据与等级B的指标数据具有线性相关关系.试根据上表，求B的指标数据y关于A的指标数据x的线性回归方程y bxa；（）若某同学等级A比等级B大于4，则称该同学有明显的偏科，现从这 5 名同学中随机抽选出 3 名，求其中至少有一人偏科的概率.nn参考公式：i x)(yi y)b(xi1xiyinx yi1n22.ii1n(x x)x2inxi121（本小题12分）已知动点M到定点A(2 2,0)的距离与到定点B(2,0)的距离之比为定值，记动点M的轨迹为曲线C，点P(0,2)在曲线C上（）求曲线C的方程；（）直线l:ykxm与曲线C相交于A,B两点若

8、|PA|PB|4，证明存在一定圆N，使直线l与圆N相切，并求出该定圆的方程22（本小题12分）x2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:y2a2b21(ab 0)的短轴长为2，直线l与椭圆C相交于A,B两点，线段AB的中点为M 当M与O连线的斜率为12时，直线l的倾斜角等于4（）求椭圆C的标准方程；（）若|AB|2，P是以AB为直径的圆上任意一点，求|OP|的最大值2021-20222021-2022 学年四川省成都市第七中学高二上学期学年四川省成都市第七中学高二上学期 1212 月阶段月阶段性测试数学（理）试题性测试数学（理）试题一、单选题一、单选题1已知两直线l1:x y+6 0与l2:3

9、x+3y 2=0，则l1与l2间的距离为（）A2【答案】BB8 23C3D8 33【分析】把直线l2的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线l2的方程化为：x y2=0，显然，l1/l2，32|6|8 2.3所以l1与l2间的距离为d 312(1)2故选：B12命题“xR，0”的否定是（）3Ax0R，xx1BxR，031Dx0R，03x0 x1CxR，03【答案】D【分析】根据全称命题的否定的规则即可直接写出.1【详解】全称命题“xR，0”的否定是把量词“”改为“”，并把结论否定，31即为“x0R，0”，3故选：D.x2y23双曲线221(a 0)的渐近线方程为a4a1Ay

10、 2xBy xCy 4x2x0 xDy 2x【答案】A【详解】根据双曲线的渐近线方程知，y 2ax 2x，故选 A.a第 1 页 共 16 页4若两定点A，B 的距离为 3，动点M满足MA 2 MB，则M点的轨迹围成区域的面积为（）A【答案】D【分析】以点 A 为坐标原点，射线AB为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M 的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点 A为坐标原点，射线 AB为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点M(x,y)，B2C3D4则x2 y2 2(x3)2 y2，化简并整理得：(x4)2 y2 4，于是得点 M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2 为半径的圆，其面积为

11、4，所以 M 点的轨迹围成区域的面积为4.故选：D5下列命题中，结论为真命题的组合是（）“m 1”是“直线m2x3my10与直线m2xm2y30相互垂直”的2充分而不必要条件若命题“p q”为假命题，则命题p一定是假命题a b是lga lgb的必要不充分条件y2双曲线x 1被点B1,1平分的弦所在的直线方程为2x y 1 022已知过点(3,0)的直线y k(x3)(kR)与圆x2 y2 9的交点个数有 2 个.A【答案】C【分析】求出两直线垂直时m 值判断；由复合命题真值表可判断；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断；联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断；判定点(3,0)与圆x2

12、y2 9的位置关系判断作答.BCD第 2 页 共 16 页【详解】若直线m2x3my10与直线m2xm2y30相互垂直，则(m 2)(m 2)3m(m 2)0，解得m 2或m 则“m 1，21”是“直线m2x3my10与直线m2xm2y30相互垂直”的2充分而不必要条件，正确；命题“p q”为假命题，则p与q至少一个是假命题，不能推出p一定是假命题，不正确；lga lgb a b 0，则a b是lga lgb的必要不充分条件，a b a b 0，正确；2x y1 0由2消去 y并整理得：2x24x3 0，(4)2423 8 0，22x y 2即直线2x y 1 0与双曲线x2y21没有公共点，

13、不正确；2点(3,0)在圆x2 y2 9上，则直线y k(x3)(kR)与圆x2 y2 9至少有一个公共点，而过点(3,0)与圆x2 y2 9相切的直线为x 3，直线y k(x3)(kR)不包含x 3，因此，直线y k(x3)(kR)与圆x2 y2 9相交，有两个交点，正确，所以所有真命题的序号是.故选：C6 若直线y 2xc先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆x2 y2 5相切，则 c的值为（）A8 或-2【答案】A【分析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.【详解】将直线y 2xc先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为B6

14、或-4C4 或-6D2 或-8y 2x1c1，因直线2x yc3 0与圆x y 5相切，从而得得c 8或c 2，所以 c 的值为 8 或-2.第 3 页 共 16 页22|c3|2(1)225，即|c3|5，解故选：A7从0，2 中选一个数字，从1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A24【答案】C【分析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解.【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从 0，2 中选一个数字为个位数，有2种可能，22从 1，3，5 中选两个数字为十位数和百位数，有C3 A2 32 6种可能，B18C12D6

15、故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612.故选：C.x2y28 已知椭圆221(a b 0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF xab轴，直线AB交y轴于点P若AP 2PB，则椭圆的离心率是A32B221C3D12【答案】Db2【详解】由于 BFx 轴，故xB c,yB，设P0,t，由AP 2PB得ab21a,t 2t,ta 2ce，选 D.a2【解析】椭圆的简单性质9若直线y xm与曲线y 5x2只有一个公共点，则m 的取值范围是（）A2 m2C2 m2或m 5【答案】D【分析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在x轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知

16、直线位于直线l1位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0 即可求出此时对应的m的值；当已知直线位于直线l2及直线l3的位置时，分别求出对应的m的值，写出满足题意得m的范围，综上，得到所有满足题意得m的取值范围B2 5 m 2 5D2 5 m 2 5或m 514第 4 页 共 16 页【详解】根据曲线y 5x2，得到5x20，解得：2 5 x 2 5；y 0，画出曲线的图象，为椭圆在x轴上边的一部分，如图所示：1414当直线y xm在直线l1的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线y xm代入椭圆方程得：5x28mx 4m220

17、 0，得到 0，即64m2 20(4m2 20)0，化简得：m2 25，解得m 5或m 5(舍去)，则m 5时，直线与曲线只有一个公共点；当直线y xm在直线l2位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时m 2 5，当直线y xm在直线l3位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时m 2 5，则当2 5 m 2 5时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得m的范围是2 5 m 2 5或m 5故选：Dx2y210 已知双曲线M:221（a 0，b 0）的左 右焦点分别为F1，F2，F1F2 2c.aba3c若双曲线 M 的右支上存在点 P，使，则双曲线M的离心率的取sinPF1F2sinPF2F1值

18、范围为（）27A1,327,B3C1,2D2,【答案】Aa3c【分析】利用三角形正弦定理结合，用 a，c表示出|PF2|，再sinPF1F2sinPF2F1由点 P的位置列出不等式求解即得.【详解】依题意，点 P 不与双曲线顶点重合，在PF1F2中，由正弦定理得：|PF2|PF1|，sinPF1F2sinPF2F1第 5 页 共 16 页a3c|PF2|PF1|因，于是得，而点 P在双曲线 M 的右支上，即sinPF1F2sinPF2F1a3c|PF1|PF2|2a，2a2从而有|PF2|，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有|PF2|c a，3ca2a2 ca，而c a 0，整理

19、得3c24aca2 0，即3e24e1 0，解得因此，3ca2727，e 33又e1，故有1 e 27，3所以双曲线 M的离心率的取值范围为(1,故选：A27).30和B3,0，11 已知两定点A3,动点P(x,y)在直线l:y x5上移动，椭圆 C以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的短轴的最小值为（）A2 2【答案】B【分析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.B4 2C26D2 260关于直线l:y x5的对称点Ax0,y0，【详解】根据题意，设点A3,y001x0 5x03则，解得，即A5,8.y 80y00 x03522根据椭圆的定义可知，2a AP

20、BP AP BP AB 53282 2 17，当A、P、B三点共线时，长轴长取最小值2 17，即amin 17，由a2b2c2且c 3，得b a2c2a29 179 2 2，因此椭圆 C的短轴的最小值为4 2.故选：B.x212过原点 O作两条相互垂直的直线分别与椭圆 y21交于 A、C与 B、D，则四边2形 ABCD面积最小值为（）8A3B4 2C2 24D3【答案】A【分析】直线 AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.第 6 页 共 16 页【详解】因四边形 ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形 ABCD的四个

21、顶点为椭圆顶点时，而a 2,b 1，四边形 ABCD的面积S 11|AC|BD|2 22 2 2，22y kxy kx当直线 AC斜率存在且不 0 时，设其方程为，由2消去 y得：2x 2y 2(2k21)x22 0，设A(x1,y1),C(x2,y2)，则x1 x2 0,x1x2 22222k21，2k22，|AC|1k|x1 x2|1k (x1 x2)4x1x2 22k21212k 2直线 BD 方程为y x，同理得：BD 2，2kk 2则有1k42k21S|AC|BD|4 422k45k2211 41k22241k 2k21k222k 421112 k222k83，2当且仅当k 81“=

22、”，而 2 2，2，即k 1或k 1时取k38所以四边形 ABCD面积最小值为.3故选：A二、填空题二、填空题y213双曲线x 1上一点 P到M(3,0)的距离最小值为_.32【答案】2【分析】设出点 P 的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.2y0222P(x,y)1，即y0 3x03，【详解】设00，则x03315224x06x06 4(x0)2，而|x0|1，则当x01于是得|PM|(x03)2 y044时，|PM|min 2，y21上一点 P到M(3,0)的距离最小值为 2.所以双曲线x 32第 7 页 共 16 页故答案为：214若命题 P：对于任意a1,1，使不

23、等式2ax 22xa1为真命题，则实数x的取值范围是_.【答案】,0【分析】根据题意，结合指数函数不等式，将原问题转化为关于a的不等式，对于任意a1,1恒成立，即可求解.【详解】根据题意，知对于任意a1,1，2ax 22xa1恒成立，即ax 2xa1，化简得x1a2x10，令fax1a2x1，a1,1，则fa 0恒成立，x12x1 0即，解得x 0，故x,0.x12x1 0故答案为：,0.x2y215已知点A(4,0)和B(2,2)，M 是椭圆1上一动点，则|MA|MB|的最大值259为_.【答案】102 10【分析】由题设条件可知，MA MB 10 MB MF.当 M在直线BF与椭圆交点上时

24、，在第一象限交点时有MB MF BF，在第三象限交点时有MB MF BF.显然当 M在直线BF与椭圆第三象限交点时MA MB有最大值，其最大值为MA MB 10 MB MF 10 BF.由此能够求出MA MB的最大值.A为椭圆右焦点，【详解】解：设左焦点为F4,0，则由椭圆定义MA MF 2a 10，于是MA MB 10 MB MF.当 M不在直线BF与椭圆交点上时，MFB 三点构成三角形，于是MB MF BF，而当 M 在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有MB MF BF，第 8 页 共 16 页在第三象限交点时有MB MF BF.显然当 M在直线BF与椭圆第三象限交点时MA MB

25、有最大值，其最大值为MA MB 10 MB MF 10 BF 102 422010 2 10.2故答案为：102 10.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式.x216已知椭圆 y21的右顶点为 A，上顶点为 B，且直线 l与椭圆交于 C，D 两点，4若直线 l直线 AB，设直线 AC，BD的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为_.1【答案】0.254【分析】求出点 A，B坐标，设出直线l的方程，联立直线l与椭圆方程，借助韦达定理即可计算作答.1【详解】依题意，点A(2,0),B(0,1)，直线 AB斜率为，因直线 l直线 AB，则设直21线 l方程为：y xt，t 1，2

26、1y xt2由消去 y并整理得：x22tx2t22 0，22x 4y 4 4t24(2t22)4(t22)0，解得 2 t 2，于是有 2 t 1或1t 2，2设C(x1,y1),D(x2,y2)，则x1 x2 2t,x1x2 2t 2，有k1y1y 1,k22，x12x211(x1t)(x2t 1)1(x 2t)(x22t 2)2因此，k k y1(y21)2112(x12)x2x1x22x24x1x22x21 x1x22t(x1 x2)4t22(x12t)1 x1x22t2t 4t22x21，4x1x22x24x1x22x241所以k1k2的值为.41故答案为：4三、解答题三、解答题1x2

27、y217q：1所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；已知 p：方程当x,2时，23tt 1125函数f(x)xt t 3恒成立.x2(1)若 p为真，求实数 t的取值范围；第 9 页 共 16 页(2)若pq为假命题，且pq为真命题，求实数 t的取值范围【答案】(1)1t 11(2)1,1,22【分析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.(2)求命题 q真时的 t 值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.(1)x2y2因方程1所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，3tt 1则有3t t 10，解得1t 1，所以实数 t的取值范围是1t 1.(2)1111x,2，则有f(

28、x)x 2 x 2，当且仅当x，即x 1时取“=”，即x2xxf(x)min f(1)2，1112552因当x,2时，函数f(x)xt t 3恒成立，则t t 3 2，解得t 2，2x222命题 q 为真命题有1t 2，2因pq为假命题，且pq为真命题，则p与q一真一假，当 p真 q 假时，1 t 1，当 p 假 q 真时，1t 2，21所以实数 t的取值范围是(1,1,2).218在三角形 ABC中，三个顶点的坐标分别为A(0,2)，B(1,0)，C(4,0)，且 D为 AC的中点.(1)求三角形 ABC的外接圆 M方程；(2)求直线 BD与外接圆 M相交产生的相交弦的长度.325【答案】(

29、1)x y2；24(2)3 10.22【分析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解.(1)根据题意，易知ABC是以 BC为斜边的直角三角形，53故外接圆圆心是 B，C 的中点,0，半径为 BC 长度的一半为，22第 10 页 共 16 页325.故三角形 ABC的外接圆 M方程为x y224(2)因为 D为 AC的中点，所以易求D(2,1).故直线 BD的方程为x3y 1 0，301310，2圆心,0到直线x3y 1 0的距离d 24192故相交弦的长度为2 r2d2 225103 10.41622y219

30、已知双曲线 C 的方程为22x21（a 0），离心率为2.a(1)求双曲线C的标准方程；(2)过E(0,1)的直线l交曲线C于M、N两点，求EM EN的取值范围.y2x21【答案】(1)11；2211(2)(,).22【分析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解.(1)根据题意，由离心率为2，知双曲线是等轴双曲线，所以y2x21.a21，故双曲线C的标准方程为11222 2a2(2)当直线斜率存在时，设直线l的方程为y kx1，y kx1则由2消去y，得到(2k22)x2

31、4kx1 0，22y 2x 12k22 0直线与双曲线交于 M N两点，解得k 1.2216k 4(2k 2)0设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则有x1 x212kx x，121k22k222k21112因此EM EN (x1,y11)(x2,y21)(k 1)x1x22，2k 22k 1第 11 页 共 16 页k 1，k21 1且k21 0，故故EM EN 11 1 0，或22k 1k 111112(,(,)；2k 122122故EM EN.)，)，N(0,222当直线l的斜率不存在时，此时l:x 0，易知M(0,11综上所述，所求EM EN的取值范围是(,).2220在平面直角坐标

32、系xOy中，设点F1,0，直线l:x 1，点 P在直线 l 上移动，R是线段 PF与 y轴的交点，也是 PF的中点RQ FP，PQ l(1)求动点 Q 的轨迹的方程 E；(2)过点 F作两条互相垂直的曲线E 的弦 AB、CD，设AB、CD 的中点分别为 M，N求直线 MN过定点 R 的坐标2【答案】(1)y 4xx 0(2)3,0【分析】（1）由图中的几何关系可知PQ QF,故可知动点 Q的轨迹 E 是以 F 为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB的方程，把点A、B的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点 M 的坐标，同理求出

33、点N的坐标，即可求出直线 MN的方程，最后可求出直线 MN过哪一定点.(1)直线l的方程为x 1，点 R 是线段 FP的中点且RQ FP，RQ是线段 FP的垂直平分线,PQ l,PQ是点 Q到直线 l的距离,点 Q在线段 FP的垂直平分线，PQ QF,则动点 Q 的轨迹 E是以 F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，第 12 页 共 16 页2即动点 Q 的轨迹的方程为y 4xx 0.(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，由题意直线 AB斜率存在且不为 0，设直线 AB的方程为ykx 1，y12 4x1y1 y2442由已知得2，两式作差可得，即y1 y2，则yM，x1 x2y1 y2k

34、ky2 4x2代入ykx 1可得xM2 2 21,1M，即点的坐标为2，kk2k同理设Cx3,y3，Dx4,y4，直线CD的方程为y 1x1，k2y3y3 y44 4x3由已知得2，两式作差可得，即y3 y4 4k，x xy yy 4x3434441x1可得xN 2k21，即点N的坐标为2k21,2k，kyM yNkk则直线 MN的斜率为MN，xM xN1k2则yN 2k，代入y 即方程为y 2k kx 2k21，整理得y 1k2 kx3，21k故直线 MN恒过定点R3,0.21 已知一张纸上画有半径为4 的圆 O，在圆 O 内有一个定点 A，且OA 2，折叠纸片，使圆上某一点A刚好与 A 点

35、重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与OA的交点形成的曲线记为 C.(1)求曲线 C 的焦点在x轴上的标准方程；(2)过曲线 C 的右焦点F2（左焦点为F1）的直线 l与曲线 C交于不同的两点 M，N，记F1MN的面积为 S，试求 S 的取值范围.x2y21；【答案】(1)43(2)0,3【分析】(1)根据题意，作出图像，可得MO MA 4，由此可知 M 的轨迹 C为以 O、A 为焦点的椭圆；(2)分为 l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示F1MN的面积，根据变量范围可求面积的最大值(1)第 13 页 共 16 页以

36、 OA中点 G坐标原点，OA 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，如图：可知O1,0，A(1,0)，设折痕与OA和AA分别交于 M，N两点，则 MN垂直平分AA，MA MA，又AO MO AM，MO MA 4，x2y2M的轨迹是以 O，A 为焦点，4 为长轴的椭圆M的轨迹方程 C 为1；43(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则F1MN的周长为4a 8当l x轴时，l的方程为x 1，MN 3，S 1MN|F1F2|3，2当 l与 x 轴不垂直时，设l:y k(x1)k 0，y k(x1),由x2y2得(4k23)y26ky 9k2 0，1,3 46k9k20，y1y2 2，y1y2 2

37、，4k 34k 3SF1MNSF1F2MSF1F2N111|F1F2 y1|F1F2 y2|F1F2 y1 y2|2222116k9k22F1F2(y2 y1)4y1y22242224k 34k 3k2(k21)12，(4k23)2令4k23t，则t 3，t2 2t 311114S 3 3 3 21 3 3 ，2tttt332211t 3，0，0 S 3.t3第 14 页 共 16 页综上可知，S的取值范围是0,3x2y222已知椭圆C:221(a b 0)与椭圆x2 2y2 6的焦点相同，且椭圆C 过点ab1 3,2(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切

38、线与椭圆C 恒有两个交点 A，B，且OA OB，(O为坐标原点)，若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；(3)P 是椭圆 C 上异于上顶点A1，下顶点A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交 x轴于点N，M，若直线 OT与过点 M，N 的圆 G 相切，切点为 T证明：线段 OT的长为定值，并求出该定值x2【答案】(1)y21；44(2)存在，x2 y2；5(3)证明见解析，定值 2【分析】(1)根据已知条件，用待定系数解方程组即可得到C 的方程；(2)设出 AB的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，代入由OA OB确定方程内即可得到结果；(3)设 P 点坐标，求出M和 N 坐标，设出

39、圆G的圆心坐标，求得圆的半径，由垂径定理求得切线长|OT|，结合 P在椭圆上可证|OT|为定值(1)1x2y21将点 3,代入椭圆方程有点设椭圆 C 的方程为222aa 3x2解得a 4，(舍)椭圆的方程为 y21；42(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，当 AB斜率存在时，设AB:y kx m，x2222代入 y21，整理得14kx 8kmx4m 4 0，由OA OB得x1x2 y1y2 0，4即x1x2(kx1 m)(kx2m)0，由韦达定理化简得5m2 4(k21)，即m1k22，5设存在圆x2 y2 r2与直线AB:y kx m相切，则m1k2 r，解得r 2，5第 15 页

40、共 16 页圆的方程为x2 y24；54符合题意；522又若 AB斜率不存在时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆x y(3)如图：A1(0,1)，A2(0,1)，设Px0,y0，直线PA1:y 1直线PA2:y 1xy01x，令y 0，得xN0；y01x0y01xx，令y 0，得xM0；y01x01x0 x0解法一：设圆 G的圆心为2y 1y 1,h，001x0 x0 x01x0 x22r 0 h2，则 h 4y01y012y01y01y0122x1x|OG|200h2，4y01y012x02x0 x01x01x022222|OT|OG|r h h2，1 y04y01y014y01y01x0222 y021，x0 4 1 y0，OT2 4，而422|OT|2，即线段 OT的长度为定值 222x0 x0 x0 x0222x 4 1 y y 1解法二：|OM|ON|，而，00204y01y011 y0|OM|ON|4由切割线定理得|OT|2|OM|ON|4|OT|2，即线段 OT的长度为定值 2第 16 页 共 16 页