解析几何 测试题1.pdf

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1、解析几何测试试题及答案解析几何测试试题及答案(时间：120 分钟满分：150 分)一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x221.若双曲线C：y1(m0)的一条渐近线的方程为3x2y0，则m()m4A.99B.42C.313D.2解析由题意知，双曲线的渐近线方程为yx(m0).3x2y0 可化为myx，所以答案A32134，解得m.故选 A.9m22.若圆xy4x2ya0 与x轴、y轴均有公共点，则实数a的取值范围是()A.(，1C.0，)B.(，0D.5，)2222解析将圆的一般方程化作标准方程为(x2)(y1)5a

2、，则该圆的圆心坐标为(2，1)，半径r2 5a，5a.因为该圆与x轴、y轴均有公共点，所以1 5a，解得a1，则5a0，实数a的取值范围是(，1.故选 A.答案A3.已知P为圆C：(x5)y36 上任意一点，A(5，0).若线段PA的垂直平分线交直线22PC于点Q，则点Q的轨迹方程为()A.1916x2x2y2y2B.1916D.1(x0)916x2x2y2y2C.1(x0)916解析如图，由题意知|QA|QP|，|QA|QC|QP|QC|PC|6.设点Q3(x3，y3).为点Q1关于点Q2的对称点，则x3.当a时，|PQ|无法取到最大555311311值，当 a时，|PQ|的最大值为|P1Q

3、1|，a.故选 A.5555答案A6.已知直线yk(x1)与抛物线C：y4x交于A，B两点，直线y2k(x2)与抛物线D：2y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则()A.16C.120，b0)的一条渐近线的ab22距离为 1，则该双曲线离心率的取值范围是()A.(2，5)55B.，32D.(5，21)55C.，42x2y222解析双曲线221 的一条渐近线方程为bxay0，圆C：xy10y160 的圆心ab坐标为(0，5)，半径为 3.因为圆C上有且仅有两点到直线bxay0 的距离为 1，所以圆心(0，5)到直线bxay0 的距离d的范围为 2d4，即 2554，即 e0)的焦点为F

4、，点P(x0，2 3)x0是抛物线C上一点.225aa2b5a2224.又abc，所以 2，所以x0 222|PQ|.p3p3p3p2又因为|PF|x0 3|PQ|，所以x0.所以点P，2 3，所以(2 3)2p.因为2222p0，所以p2.所以F(1，0)，P(3，2 3)，所以|PQ|334 322|PF|（2 30）（31），333抛物线C的方程为y4x，直线PF的方程为y3(x1).由2y 3（x1），得y24x，M，1314|PQ|2 3，所以|FM|313，所以|FM|3.故选 B.3答案B二、多项选择题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项

5、符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得 0 分.9.过点P(2，2)作圆C：(x2)(y2)r(r0)的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.0r0)的切线有两条，则点P在圆C外，则r|PC|4 2，故 A 错误；若PAB为直角三角形，则四边形PACB为正方形，则 2r|PC|4 2，解得r4，故 B 正确；由PACA，PBCB，可得点P，A，C，B共圆，所以PAB的外接圆就是以PC为直径的圆，即xy8，故 C 错误；将(x2)(y2)r与xy2222222222228 相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为 4x4y16r0，所以 D 正确.故选

6、BD.答案BD10.已知双曲线 sin(k，kZ)，则不因改变而变化的是()42A.焦距C.顶点坐标B.离心率D.渐近线方程1，则a2|sin|，224sin2sinx2y22解析由题意，得双曲线的标准方程为x2y2b 2|sin|，则ca2b2 6|sin|，则双曲线的焦距为2c2 6|sin|，顶点坐标为(2|sin|，0)，离心率为e 的是离心率、渐近线方程.故选 BD.答案BD11.设P是椭圆C：y1 上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则()2A.|PF1|PF2|2 2B.2|PF1|PF2|0)的焦点为F，准线为l.设l与2x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l

7、上的射影为E，EPF的外角平分线交x轴于点Q，过点Q作QNPE交EP的延长线于点N，作QMPF交线段PF于点M，则()A.|PE|PF|C.|PN|MF|B.|PF|QF|D.|PN|KF|解析由抛物线的定义，得|PE|PF|，A 正确；PNQF，PQ是FPN的平分线，FQPNPQFPQ，|PF|QF|，B 正确；若|PN|MF|，则由PQ是FPN的平分线，QNPE，QMPF，得|QM|QN|，从而有|PM|PN|，于是有|PM|FM|，则有|QP|QF|，PFQ为等边三角形，FPQ60，也即有FPE60，这只是在特殊位置才有可能，因此 C 错误；连接EF，如图，由选项 A、B 知|PE|QF

8、|，又PEQF，EPQF是平行四边形，|EF|PQ|，EKFQNP，|KF|PN|，D 正确.故选 ABD.答案ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知以x2y0 为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为_.解析由题知，双曲线的渐近线方程为x2y0，设双曲线的方程为x4y(0).因为点(4，1)在双曲线上，所以4 412，所以双曲线的标准方程为 1.123答案 1123222222x2y2x2y214.已知点A(5，0)，B(1，3)，若圆xyr(r0)上恰有两点M，N，使得MAB和NAB的面积均为 5，则r的取值范围是_.解析由题意可得|A

9、B|（15）（30）5，根据MAB和NAB的面积均为 522y0 x5可得M，N到直线AB的距离均为 2，由于直线AB的方程为，即 3x4y153015|0015|0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为 2，则圆心到直线AB的距离为r2，916|0015|解得r1，若圆上只有 3 个点到直线AB的距离为 2，则圆心到直线AB的距离为916r2，解得r5.故r的取值范围是(1，5).答案(1，5)y215.如图，点A，B分别是椭圆21(0b0)的焦点，点A(1，p)，M为抛物线上任意一点，且|MA|MF|的最小值为 3，则该抛物线的方程为_.若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，则四边形A

10、PFQ的面积为_.(本小题第一空 2 分，第二空 3 分)解析由题意，得抛物线x2py(p0)的焦点为F0，准线的方程为y.因为|MF|221p等于点M到准线的距离，所以当p时，|MA|MF|的最小值为点A到准线y 的距离，2p22pp3p11而|MA|MF|的最小值为 3，所以3，解得p2，满足p；当p时，|MA|MF|22p2p的最小值为|AF|，而|MA|MF|的最小值为 3，所以（10）p3，解得p4 2，22p212不满足p.综上所述，p2.因此抛物线的方程为x4y.由p2 得，点A(1，2)，焦点2pF(0，1)，则线段AF的垂直平分线的方程为xy20，且|AF|（10）2（21）

11、2xy20，2.设线段AF的垂直平分线与抛物线的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2).由2解x4y.得x122 3，x222 3，或y142 3y242 3，22则|PQ|（42 342 3）（22 322 3）4 6.所以四边形APFQ的面11积S|AF|PQ|24 64 3.22答案x4y4 3四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0，1)，B(0，1)，焦距为 2 3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线ym与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线B

12、D，BM1的斜率的积为.证明：点D在x轴上.4(1)解由题意知c 3，b1，abc4.焦点在x轴上，椭圆C的方程为 y1.4(2)证明由题意可设M(x0，m)，N(x0，m)，1mb0)的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1).ab(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点.(1)解由题意，得b1，c1，所以abc2.所以椭圆C的方程为 y1.2(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y2222x22y11x1.x1x1y11.

13、令y0，得点M的横坐标xM又y1kx1t，从而|OM|xM|同理，|ON|x1.kx1t1x2.kx2t1ykxt，2222由x得(12k)x4ktx2t20，2y1，24kt2t2则x1x22，x1x22.12k12k所以|OM|ON|2x1x2kx1t1kx2t1x1x222k x1x2k（t1）（x1x2）（t1）2t2212k24kt2t2（t1）12kk12kk（t1）222221t2.1t又|OM|ON|2，所以 21t2.1t解得t0，所以直线l经过定点(0，0).20.(本小题满分 12 分)已知抛物线C：y2px(p0)的焦点为F，点A(2，2)，点B在抛物线2C上，且满足O

14、FFB2FA(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l11与抛物线C交于M，N两点，OPQ的面积记为S1，OMN的面积记为S2，求证：22为定S1S2值.(1)解设B(x0，y0)，F，0，2ppppOFFB2FAx0，y022，2x0 4，y04，0，2222ppx0 4，x04，22y4.0y040，点B在抛物线C上，4 2p4，p2，y4x.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得，直线l的斜率存在且不为零.设l：xmy1，代入y4x得，y4my40.y1y24m，y1y24.|y1y2|（

15、y1y2）4y1y2 16m164m1.12因此S1|y1y2|12m1.2同理可得，S221112222222pm21.2111m122.222S1S24（m1）14（m1）4（m1）4421m11122为定值，定值为.S1S2421.(本小题满分 12 分)设圆xy2x150 的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，22Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.(1)证明因为|AD|AC

16、|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.由题设得A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，又圆A的标准方程为(x1)y16，从而|AD|4，所以|EA|EB|4|AB|.22由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：1(y0).43(2)解当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).x2y2yk（x1），222222由xy得(4k3)x8k x4k120.1438k4k12则x1x22，x1x22，4k34k312（k1）所以|MN|1k|x1x2|.24k322221过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y(

17、x1)，A到m的距离为2kk21，所以|PQ|224 24k1224k3.k212故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|1212112.4k3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8 3).当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为 12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12，8 3).1222.(本小题满分 12 分)已知以动点P为圆心的P与直线l：x 相切，与定圆F：(x1)212y 外切.4(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；(2)过曲线C上位于x轴两侧的点M，N(MN不与x轴垂直)分别作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，

18、直线l交x轴于点A，记AMM1，AMN，ANN1的面积分别为S1，S2，S3，且S224S1S3，求证：直线MN过定点.11(1)解设P(x，y)，P的半径为R，则Rx，|PF|R，22点P到直线x1 的距离与到定点F(1，0)的距离相等，故点P的轨迹C的方程为y4x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，211则M1，y1，N，y2，22设直线MN：xtyn(t0，n0).将直线MN的方程代入y4x消去x并整理，得y4ty4n0，则y1y24t，y1y24n0.221111S1x1|y1|，S3x2|y2|，2222114S1S3x1x2|y1y2|2211ty1nty2n|y1y2|222112t y1y2nt（y1y2）n|4n|22 112224nt4tnn4n22 12t2n24n.11S2n|y1y2|22112n（y1y2）4y1y2，22111222S2n(16t16n)4n(tn).2422221122n(tn)，S24S1S3，n2t2n2 211即 2nn，解得n.222221直线MN恒过定点，0.2