函数的奇偶性及其周期性.pdf

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1、函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇函数偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x定义都有 f(x)f(x)，那么函数都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做f(x)就叫做奇函数图象特征2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 f(x)是定义在

2、R R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ Z，n0)也是函数的周期()(6)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数()(7)函数 f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()(8)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(9)若函数 yf(xb

3、)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称()(10)若某函数的图象关于 y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数()关于原点对称偶函数关于 y 轴对称考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断例 1(1)下列函数为奇函数的是()Ay xByexCycos xDy exex解析：对于 A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于 B，f(x)f(x)，故不符合要求；对于 C，满足 f(x)f(x)，故不符合要求；对于 D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数，故选 D.答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()1Ayx

4、Bylg|x|Cy(x1)2Dy2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得 A 是奇函数，B 是偶函数，C，D 为非奇非偶函数答案：B(3)函数 f(x)3x2 x23，则()A不具有奇偶性B只是奇函数 C只是偶函数D既是奇函数又是偶函数3x20，解析：由2得 x 3或 x 3.x 30，函数 f(x)的定义域为 3，3对任意的 x 3，3，x 3，3，且 f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数答案：D方法引航判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称(3)性质法：“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶

5、，“奇奇”是偶；“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；“奇偶”是奇，“奇偶”是奇判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1)1x1x；(2)f(x)lg.1x1x1x0，1x解：(1)要使函数有意义，则解得1x1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数1x(2)由01x1，定义域关于原点对称1x1x1x1 x1又 f(x)lglg(f(x)，f(x)f(x)故原函数是奇函数)lg1x1x1 x考点二函数的周期性及应用命题点例 2(1)下列函数不是周期函数的是()Aysin xBy|sin x|Cysin|x|Dysin(x1)解析：ysin x

6、 与 ysin(x1)的周期 T2，B 的周期 T，C 项 ysin|x|是偶函数，x(0，)与 x(，0)图象不重复，无周期答案：C(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)时，f(x)log2(x1)，则求 f(2 017)f(2 019)的值为_解析：当 x0 时，f(x2)1，fx1，且当 x0,2)fx1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值f(x4)f(x)，即 4 是 f(x)(x0)的一个周期f(2 017)f(2 017)f(1)log221，f(2 019)f(3)11，f1f(2 017)f(2 019)0.答案：0方法引航(1)利

7、用周期f(xT)f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值(2)判断函数周期性的几个常用结论f(xa)f(x)，则 f(x)为周期函数，周期 T2|a|.1f(xa)(a0)，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；fxf(xa)1，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期fx1若将本例(2)中“f(x2)_.解析：由 f(x2)f(x)可知 T4f(2 017)1，f(2 019)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：02若本例(2)条件变为 f(x)对于 xR，都有f(x2)f(x)且当 x0,2)时，f(x)l

8、og2(x1)，求f(2 017)f(2 019)的值解：由 f(x2)f(x)，T2f(2 019)f(1)log221，f(2 017)f(2 017)f(1)1，f(2 017)f(2 019)2.考点三函数奇偶性的综合应用1.已知奇偶性求参数命题点2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值2x1例 3(1)若函数 f(x)x是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为()2 aA(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)2x12x1解析：因为函数 yf(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，即xx.化简可得 a1，2a2 a2x12x12x132x12x2则

9、x3，即x30，即0，故不等式可化为x0，即 12x2，x2 12 12 12 1解得 0 x1，故选 C.答案：C1”变为“f(x2)f(x)”，则 f(2 017)f(2 019)fxaxb21(2)函数 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f()5.1x22确定函数 f(x)的解析式；用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；解不等式 f(t1)f(t)0.解：在 x(1,1)上 f(x)为奇函数，f(0)0，即 b0，f(x)a2ax.1x222x1又f()5，.解得，a1.f(x)2，经检验适合题意151x2141x22x21x22证明：由 f(x)2 22 2.x(1,1)时

10、，1x 0，f(x)01x 1x f(x)在(1,1)上为增函数1t11由 f(t1)f(t)0，得 f(t1)f(t)，即 f(t1)f(t)1t1t1t1得 0t2.(3)已知 f(x)是 R R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)解析：当 x0 时，x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是 R R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)答案：C方法引航1根据奇偶性求解析式中的参数，是利用 fxfx或 fxfx在定义域内恒成立，

11、建立参数关系.2根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是_1解析：a12a0，a3.1f(x)ax2bx 为偶函数，则 b0，ab3.1答案：312定义在 R R 上的偶函数 yf(x)在0，)上递减，且f()0，则满足 f(2x)0 的 x 的集合为()1A.(,)(2,)(2，)21C.(0,)(2，)21B.(,1)(1,2)21D.(,1)(2，)2解析：选 C.由题意可得 f所以12，即1x2或f10f()，又 f(x)在0，)上递减，211x2，解得 0 x2或 x2，所以满足不等式 f10

12、 的 x 的集合为(0,)(2，)21x113已知函数 f(x)xlog21，则f()f()的值为()1x221A2B2C0D2log23解析：选 A.由题意知，f(x)1xlog21x1x1x，f(x)1xlog2xlog2(f(x)1x1x1x11111)，所以 f(x)1 为奇函数，则f()1f()10，所以f()f()2.2222方法探究“多法并举”解决抽象函数性质问题典例(2017山东泰安模拟)定义在 R R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列四个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于 x1对称；f(x

13、)在1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)分析关系f(xy)f(x)f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？f(x2)f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究若 f(x)的图象关于 x1 对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？f(x)在1,0上的图象与1,2上的图象有什么关系？依据什么指导？f(2)，f(0)从何处计算解析第一步：f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR R 恒成立(赋值法)：令 xy0，f(0)0.令 xy0，yx，f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇函数第二步：f(x)在 x1,0上为增函数，又

14、 f(x)为奇函数，f(x)在0,1上为增函数第三步：由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，(代换法)周期 T4，即 f(x)为周期函数第四步：f(x2)f(x)f(x2)f(x)(代换法)又f(x)为奇函数，f(2x)f(x)，关于 x1 对称第五步：由 f(x)在0,1上为增函数，又关于 x1 对称，1,2上为减函数(对称法)第六步：由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0)(赋值法)答案回顾反思此题用图象法更直观高考真题体验1(2014高考课标全国卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列

15、结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数B|f(x)|g(x)是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选 C.由题意可知 f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数，故A 项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项 C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f

16、(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C.2(2016高考山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R R.当 x0 时，f(x)x31；当1x1 时，111f(x)f(x)；当 x2时，f(x)f(x).则 f(6)()22A2B1C0D21解析：选 D.由题意可知，当1x1 时，f(x)为奇函数，且当 x2时，f(x1)f(x)，所以f(6)f(511)f(1)而 f(1)f(1)(1)312，所以 f(6)2.故选 D.3(2016高考四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)54x，则f()f(1)_.2解析：综合运用函数的奇偶

17、性和周期性进行变换求值f(x)为奇函数，周期为 2，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0.5511f(x)4x，x(0,1)，f()f(2)f()f()222215422.f()f(1)2.2答案：24(2015高考课标全国卷)若函数 f(x)xln(xax2)为偶函数，则 a_.解析：由题意得 f(x)xln(x ax2)f(x)xln(ax2x)，所以ax2x答案：15(2014高考四川卷)设 f(x)是定义在 R R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，3则f()_.2x，0 x1，1131解析：由已知易得f()4()22 1，又由函数的周期为

18、2，可得f()f()22221，解得 a1.ax2x1.答案：1课时规范训练课时规范训练A 组基础演练1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2x解析：选 B.因为 yx2是偶函数，ysin x 是奇函数，ycos x 是偶函数，所以 A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数 yln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到1x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数 y()x，是非2奇非偶函数2下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()Ay2|x|Bylg(x x21)Cy 2x 2xDylg1x1

19、1不是奇函数x1解析：选 D.选项 D 中函数定义域为(1，)，不关于原点对称，故 ylg也不是偶函数，选项 A 为偶函数，选项 B 为奇函数，选项 C 为偶函数3若 f(x)是 R R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)等于()A1B1C2D2解析：选 A.由 f(x)是 R R 上周期为 5 的奇函数知 f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选 A.14已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x2x，则 f(1)()A2B0C1D21解析：选 A.当 x0 时，f(x)x2x，1f(1)1212.

20、f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.4x22，2x05设 f(x)是定义在 R R 上的周期为 3 的函数，当 x2,1)时，f(x)，x，0 x15则f()()21A0B1C.2D15111解析：选 D.因为 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以f()f(3)f()4()2222221，故选 D.6函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x2)解析：f(x2)1，若 f(1)5，则 f(f(5)_.fx11，f(x4)f(x)，fxfx2115.f1f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3)1答案：57 已知 f(x)是定义在 R R 上的偶函数，f(2)1，且对任意的 xR

21、 R，都有 f(x3)f(x)，则 f(2 017)_.解析：由 f(x3)f(x)得函数 f(x)的周期 T3，则 f(2 017)f(1)f(2)，又 f(x)是定义在 R R 上的偶函数，所以 f(2 017)f(2)1.答案：18函数 f(x)exx(xR R)可表示为奇函数 h(x)与偶函数 g(x)的和，则 g(0)_.解析：由题意可知 h(x)g(x)exx，用x 代替 x 得 h(x)g(x)exx，因为 h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以h(x)g(x)ex x.exexe0e0由()2 得 g(x)2，所以 g(0)21.答案：19已知 f(x)是 R R 上的奇函数

22、，且当 x(，0)时，f(x)xlg(2x)，求 f(x)的解析式解：设 x(0，)，x(，0)，f(x)xlg(2x)，f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)xlg(2x)，f(x)xlg(2x)又当 x0 时，f(0)0，适合 f(x)xlg(2x)xlg2xx0，f(x)xlg2xx，0a10已知函数 f(x)x2x(x0，常数 aR R)(1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数 f(x)在2，)上为增函数，求实数 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为x|x0，当 a0 时，f(x)x2(x0)，显然为偶函数；当 a0 时，f(1)1a，f(1)1a，

23、因此 f(1)f(1)，且 f(1)f(1)，a所以函数 f(x)x2x(x0)既不是奇函数，也不是偶函数a2x3a(2)f(x)2xx2x2，当 a0 时，f(x)0，则 f(x)在2，)上是增函数；当 a02x3aaa时，令 f(x)x20，解得 x3，由 f(x)在2，)上是增函数，可知32，解得220a16.综上，实数 a 的取值范围是(，16B 组能力突破1若 f(x)是定义在 R R 上的函数，则“f(0)0”是“函数 f(x)为奇函数”的()A必要不充分条件C充分不必要条件B充要条件D既不充分也不必要条件f(x)在 R R 上为奇函数，如 f(x)x2，故选解析：选 A.f(x)

24、在 R R 上为奇函数f(0)0；f(0)0A.2 已知定义在 R R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)g(x)axax2(a0，且 a1)若g(2)a，则 f(2)等于()1517A2B.4C.4Da2解析：选 B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，15由、联立，g(2)a2，f(2)a2a24.3已知定义在 R R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf

25、(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：选 D.由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故 f(25)f(80)f(11)4 定义在 R R 上的函数 f(x)，对任意 x 均有 f(x)f(x2)f(x2)且 f(2 016)2 016，则 f(2 028)_.解析：xR R，f(x)f(x2)f(x2)，f(x4)f(x2)f(x)f(x2)，f(x

26、6)f(x)，f(x12)f(x)，则函数 f(x)是以 12 为周期的函数又f(2 016)2 016，f(2 028)f(2 02812)f(2 016)2 016.答案：2 0165函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解：(1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.1(2)令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1)2f(1)0.令 x11，x2x，有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解得15x17 且 x1.x 的取值范围是x|15x17 且 x1