中考必做的36道数学压轴题[整理版].pdf

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1、中考必做的中考必做的 3636 道数学压轴题道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”，强化条件是“路标”例例 1 1(2019(2019 北京，北京，23,723,7 分分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y mx2 2mx 2（m 0）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点 B（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在2 x 1这一段位于直线l的上方，并且在2 x 3这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式解：（1）当x 0 时，y 2.A（0，2）抛物线对称轴为x2m

2、1，2mB（1，0）（2）易得A 点关于对称轴的对称点为A（2，2）则直线l 经过A、B.没直线的解析式为ykxb2k b 2,k 2,解得则k b 0.b 2.直线的解析式为y2x 2（3）抛物线对称轴为x 1抛物体在2 x3 这一段与在1x 0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在 2x 1这一段位于直线l 的上方，在1 x0 这一段位于直线l 的下方抛物线与直线l 的交点横坐标为1；当x1时，y2x(1)2 4则抛物线过点（1，4）当x1时，m2m 24，m2抛物线解析为y2x24x2.连接连接（20192019 江苏南京，江苏南京，2626，9 9 分）分）已知二次函数 y

3、a（xm）2a（xm）（a、m 为常数，且 a0）.（1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C.与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D.当 ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值；当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，求m 的值.【答案】【答案】（1）证明：ya（xm）2a（xm）ax2（2ama）xam2am.因为当 a0 时，（2ama）24a（am2am）a20.第 1 页所以，方程 ax2（2ama）xam2am0 有两个不相等的实数根.所以，不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点.

4、3 分（2）解：ya（xm）2a（xm）a（x所以，点 C 的坐标为（2m 12a），242m 1a，）.24a111.42当 y0 时，a（xm）2a（xm）0.解得 x1m，x2m1.所以 AB1.当 ABC 的面积等于 1 时，所以1a1a1（）1，或11.2424所以 a8，或 a8.当 x0 时，yam2am.所以点 D 的坐标为（0，am2am）.当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，a1111am2 am4221a11a11（）=1（am2am），或1=1（am2am）.242242所以 m12121，或 m，或 m.9 分2222变式变式:（2019 北京，23，7 分）

5、已知二次函数y (t 1)x 2(t 2)x 3在x 0和x 2时2的函数值相等。（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y kx 6的图象与二次函数的图象都经过点A(3，m)，求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n 0)个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y kx 6向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。【答案】【答案】（1）3方法一：二次函数y (t 1)x2 2(t 2)x 在x 0和x 2时的函数值相等213这个二次函数的解析

6、式是y x2 x 22方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为x 1则2(t 2)12(t 1)13这个二次函数的解析式是y x2 x 22.（2）二次函数的图象过A(3,m)点.又一次函数y kx 6的图象经过点A13（3）令y x2 x 022第 2 页解得：x1 1 x2 31由题意知，点 B、C 间的部分图象的解析式为y (x3)(x1)，（1 x 3）.2则向左平移后得到图象G 的解析式为：y 1（n1 x 3n）.(x3n)(x1n)，21(x3n)(x1n)相切.2此时平移后的一次函数的解析式为y 4x 6 n.若平移后的直线y 4x 6 n与平移后的抛物线y 则4x6n 1(

7、x3n)(x1n)有两个相等的实数根。212129即一元二次方程x(n3)xn 0有两个相等的实数的根。22211292判别式=(n3)4()(n)0222解得：n 0与n 0矛盾.1平移后的直线y 4x 6 n与平移后的抛物线y (x3n)(x1n)不相切.2结合图象可知，如果平移后的直线与图象 G 有公共点，则两个临界交点为(n1,0)和(3n,0).则4(n1)6 n 0，解得：n 234(3 n)6 n 0，解得：n 6第 2 题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（2019 湖南湘潭，26，10 分）如图，抛物线y ax 2轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为4

8、,0.（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标.【答案】解：（1）将 B（4，0）代入y ax 抛物线的解析式为：y（2）当23x 2(a 0)的图象与x231x 2(a 0)中，得：a 22123x x 2(a 0)22123x x 2 0时，解得x1 4，x2 122123x x 2 222OAOC1OCOB2A 点坐标为（1，0），则 OA=1当 x=0 时，y C 点坐标为（0,2），则 OC=2在 RtAOC 与 RtCOB 中，RtAOCRtCOBACO=CB

9、OACB=ACO+OCB=CBO+OCB=90那么ABC 为直角三角形第 3 页所以ABC 的外接圆的圆心为 AB 中点，其坐标为（1.5，0）（3）连接 OM.设 M 点坐标为（x，123x x 2）22则SMBC SOBM SOCM SOBC当 x=2 时，MBC 的面积有最大值为 4，M 的坐标为（2，3）变式（变式（20192019 安徽芜湖安徽芜湖 2424）面直角坐标系中，ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到ABOC（1）若抛物线过点 C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）ABOC 和ABOC重叠部分O

10、CD 的周长；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M 在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题）23（2019 河南，23，11 分）如图，在平面直角12坐标系中，直线y x 1与抛物线y ax bx 3交于 A、B 两点，点 A 在x轴上，点2B 的纵坐标为 3点P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A、B 重合），过点P 作x轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、b 及sinACP的值；（2）设点 P 的横坐标为 m用含m的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 P

11、D 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由yCDAOxBP第 23 题图第 4 页【答案】（1）由由21x1 0，得x 2,A(2,0)21x1 3，得x 4,B(4,3)2211(-2)a-2b-3=0y ax bx3经过A,B两点，2a,b 224 a+4b-3=3设直线 AB 与y轴交于点E，则E(0,1)PCy轴，ACP AEO.121x x322在Rt PCD中，PD PC sinACP59 5 0当m 1时，PD有最大值55532存在满足条件的m值，m 或29（2

12、）由可知抛物线的解析式为y【提示】分别过点 D、B 作 DFPC，BGPC，垂足分别为 F、G在Rt PDF中，DF 又BG 4m,11PD (m22m8).55SSS当S当PCDPBCPCDPBCm295时，解得m；5102m21032时，解得m 599变式一 27（2019 江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数y=x2bx3 的图像经过点 P（2,5）（1）求 b 的值，并写出当 1x3 时 y 的取值范围；（2）设点 P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当 m=4 时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；第 5 页

13、当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5=（2）22b3，解得 b=2.当 1x3 时 y 的取值范围为4y0.（2）m=4 时，y1、y2、y3的值分别为 5、12、21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为 m22m3、m24、m22m3，由于，m22m3m24m22m3，（m2）280，当 m 不小于 5 时成立，即 y1y2y3成立所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的

14、长，变式二（2019 重庆 B 卷，25，10 分）如图，已知抛物线y x bx c的图像与 x 轴的一个交点为 B（5，0），另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C(0，5).（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点M 作 MN/y 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点，以 BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为S1，ABN 的面积为S2，且S1 6S2，求点 P 的坐标.2y yC CO O A AB Bx x

15、【答案】解：解：（1）设直线 BC 的解析式为y mx n，将 B（5，0），C（0，5）代入有：5m n 0m 1解得：所以直线 BC 的解析式为y x 5n 5n 5再将 B（5，0），C（0，5）代入抛物线y x bx c有：2255bc 0解 得：c 5b 6所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为：c 5第 6 页y x26x 5（2）设 M 的坐标为（x，x 6x 5），则 N 的坐标为（x，x 5），MN=(x 5)(x 6x 5)当x 22525时，MN 有最大值为24y yC CNO O A AQ QP1MB Bx xP2（3）当y x 6x 5 0时，解得x11，x2 5故

16、A（1,0），B（5,0），所以 AB=4由（2）可知，N 的坐标为（255，）22则S1 6S2 30，那么SCBP15在 y 上取点 Q(-1，0)，可得SCBQ15第 7 页故 QPBC则直线 QP 的解析式为y x1当x 6x5 x1时，解得x1 2，x2 3所以 P 点坐标为（2，3），（3，4），2第四题“准线”第四题“准线”“焦点”频现身，“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”“居高临下”明“结构”（例题）（例题）12x x m的顶点在直线y x 3上，过点4F(2,2)的直线交该抛物线于点 M、N 两点（点 M 在点 N 的左边），MAx轴于点 A，NBx（2019 四川资阳，

17、25，9 分）抛物线y 轴于点 B（1）(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）(3 分)设点 N 的横坐标为a，试用含a的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明NFNB；（3）(3 分)若射线 NM 交x轴于点 P，且 PAPB100，求点 M 的坐标9（第 25 题图）121x xm(x2)2(m1)44顶点坐标为(2,m1)顶点在直线y x 3上，2+3=m1，得m=2答案：解答案：解（1）y（2）点 N 在抛物线上，点 N 的纵坐标为即点 N(a,12a a2412a a2)412a a,NF2NC2 FC24过点 F 作 FCNB 于点 C，

18、在 RtFCN 中，FC=a+2，NC=NB-CB=11(a2a)2(a2)2=(a2a)2(a24a)444第 8 页122422NFNB，NF=NB2而NB=(a a2)(a a)(a 4a)414222（3）连结 AF、BF由 NF=NB，得NFB=NBF，由（2）的结论知，MF=MA，MAF=MFA,MAx轴，NBx轴，MANB,AMF+BNF=180 MAF 和 NFB 的内角总和为 360,2MAF+2NBF=180，MAF+NBF=90,MAB+NBA=180，FBA+FAB=90又FAB+MAF=90FBA=MAF=MFAPFPB100，PF2 PAPB=PAPF981422过

19、点F作FGx轴于点G,在Rt PFG中，PG=PF FG=，PO=PG+GO=，3314P(,0)3143设直线 PF：y kxb，把点F（2,2）、点P(,0)代入y kxb解得k=，34737=，直线 PF：y xb2421237解方程x x2 x，得x=3 或x=2（不合题意，舍去）44255当x=3 时，y=，M（3,）44变式一25已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线5上一点 P（x，y）向直线y=作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）4（1）求字母 a，b，c 的值；3（2）在直线 x=1 上有一点F(1，)，求以 PM 为底边的等腰4三角形 P

20、FM 的 P 点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN 恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点为 C（1，1）且过原点 O，又FPA=BPF，PFAPBF，4acb2b可得-=1，=1，c=0，4a2aa=-1，b=2，c=0（2）由（1）知抛物线的解析式为 y=-x2+2x，故设 P 点的坐标为（m，-m2+2m），则 M 点的坐标（m，5），4PFM 是以 PM 为底边的等腰三角形335PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m-）2=（m-1）2+（-）2444

21、第 9 页3131=或-m2+2m-=-，424231当-m2+2m-=42时，即-4m2+8m-5=0=64-80=-160此式无解311当-m2+2m-=-时，即 m2-2m=-424-m2+2m-m=1+33或 m=1-2233315时，P 点的坐标为（1+，），M 点的坐标为（1+，）2224433135时，P 点的坐标为（1-，），M 点的坐标为（1-，），22244、当 m=1+、当m=1-经过计算可知 PF=PM，MPF 为正三角形，P 点坐标为：（1+3311，）或（1-，）22443时，即 N 与 F 重合时 PM=PN 恒成立4证明：过 P 作 PH 与直线 x=1 的垂线

22、，垂足为 H，（3）当 t=在 RtPNH 中，PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，5525PM2=（-y）2=y2-y+，4216P 是抛物线上的点，y=-x2+2x；525PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2-y+，2165251-y+t2-2ty+y2=y2-y+，216第 10 页移项，合并同类项得：-y（2t-39y+2ty+-t2=0，21639）+（-t2）=0 对任意 y 恒成立216392t-=0 且-t2=0，21633t=，故 t=时，PM=PN 恒成立44存在这样的点变式二（2019 山东潍坊，24，11 分）如图 12，已知抛物

23、线与坐标轴分别交于A（2，0）、B（2，0）、C（0，1）三点，过坐标原点 O 的直线y kx与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D（0，2）作平行于 x 轴的直线 l1、l2（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以 ON 为直径的圆与直线 l1相切；（3）求线段 MN 的长（用 k 表示），并证明 M、N 两点到直线 l2的距离之和等于线段MN 的长yNAOMCD图 12Bxl1l2【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y ax2bx c，1a 0 4a 2bc4由0 4a 2bc，解得b 0c 11 c1所以y x214（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），因

24、为点 M、N 在抛物线上，11所以y1x121，y2x221，所以x22 4(y21)；44又ON2=x22 y22=4(y21)y22=(y2 2)2，所以 ON=y22，又因为 y21，所以 ON=y22设 ON 的中点为 E，分别过点 N、E 向直线 l1作垂线，垂足为 P、F，第 11 页OC NP2 y2=，22所以 ON=2EF，即 ON 的中点到直线 l1的距离等于 ON 长度的一半，所以以 ON 为直径的圆与直线 l1相切（3）过点 M 作 MHNP 交 NP 于点 H，则则 EF=又 y1=kx1，y2=kx2，所以(y2 y1)2=k2(x2 x1)2，所以MN2(1 k2

25、)(x2 x1)2；又因为点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，所以kx 12x 1，即x24kx4 0，44k 16k216所以 x=2k2 1 k2，2所以(x2 x1)2=16(1 k2)，所以MN216(1 k2)2，所以 MN=4(1 k2)延长 NP 交 l2于点 Q，过点 M 作 MSl2于点 S，则 MS+NQ=y1 2 y2=1211x11x221 4=(x12 x22)2，444又x12 x22=24k2 4(1 k2)16k28，所以 MS+NQ=4k2 2 2=4(1 k2)=MN即 M、N 两点到直线 l2的距离之和等于线段 MN 的长yAOMEBNHxl

26、P1lQ2CFSD第 24 题第五题末尾“浮云”遮望眼，第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向“洞幽察微”深指向例题（2019 浙江宁波，26，12 分）如图，二次函数y ax bxc的图象交 x 轴于 A（1，0），B(2，0)，交 y 轴于 C（0，2），过 A，C 画直线2第 12 页(1)求二次函数的解析式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长；(3)点 M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H若 M 在 y 轴右侧，且CHM AOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；若 M 的半径为45，求点 M 的坐标5【答案

27、】解：(1)设该二次函数的解析式为：y a(x1)(x2)将 x=0，y=2 代入，得2=a(0+1)(02)解得 a=1抛物线的解析式为y (x1)(x2)，即y x x2(2)设 OP=x，则 PC=PA=x+1在 RtPOC 中，由勾股定理，得x 2 (x1)解得x 222233，即OP 22(3)CHMAOC，MCH=CAO情形 1：如图，当 H 在点 C 下方时，2MCH=CAO，CMx 轴，yM 2，x x2 2，解得 x=0（舍去），或 x=1，M(1，2)情形 2：如图，当 H 在点 C 上方时MCH=CAO，由(2)：得，M为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM的解析

28、式为 y=kx233，0）的坐标代入，得k 2 0，2244解得k，y x23342由x2 x x2，37解得 x=0（舍去），或 x，3107 10此时y，M(,)939把 P（在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE4 55COA=DEA=90，OAC=EAD，ADEAOC，ADDE，ACOC45AD5，解得 AD=225第 13 页D(1，0)或 D（3，0）过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M则直线 DM 的解析式为：y 2x2或y 2x6当 2x 6=x2x2 时，方程无实数解当 2x+2x2x2 时，解得x11 171 17,x2221 171 17,3

29、 7)或 M(,3 7)22点 M 的坐标为 M(12x+x+3与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于4点 C，顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC 相交于点E，与 x 轴相交于点 F（1）求直线 BC 的解析式；（2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P为圆心，r 为半径作P当点 P 运动到点 D 时，若P 与直线 BC 相交，求 r 的取值范围；4若 r=5，是否存在点 P 使P 与直线 BC5相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由变式一变式一25如图，抛物线y=24acbb提示：抛物线 y=ax2+bx+x（a0）的顶点坐标（，4a2a），对称轴 x=b2

30、a22123变式二变式二2222（2019 广东省，20，9 分）如图，抛物线y=x-x-9与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、AC.(1)求 AB 和 OC 的长；(2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合)，过点 E 作直线 l 平行于BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m，ADE 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积(结果保留).【答案】(1)当 y=0 时，123x

31、-x-9=0，解得 x1=3，x2=6.AB=|x1x2|=|36|=9.22当 x=0 时，y=9.OC=9.(2)由(1)得 A(3,0)，B(6,0)，C(0,9)，直线 BC 的解析式为 y=3x9，直线 AC 的解析式为 y=3x9.2第 14 页AE 的长为 m，E(m3,0).又直线 l 平行于直线 BC，直线 l 的解析式为 y=33x(m-3).22y 3x9m9m9x=由得，点 D(,m).333y x-(m-3)322y -m11123AE|D 纵|=(m3)|m|=m-m.(0m9)2222112312192(3)CDE 面积为：SACESADE=m9(m-m)=m+3

32、m=-(m-3)+，2222229当 m=3 时，CDE 面积的最大值为.2ADE 的面积为：S=此时，点 E(0,0).如图，作 OFBC 于 F，OB=6，OC=9，OF=69OBOC18=13.22BC136 9以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积为：(1832413)2=.1313第第 6 6 题题分类讨论“程序化”分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质“分离抗扰”探本质例题例题（2019 贵州遵义，27，14 分）已知抛物线y ax2 bx 3(a 0)经过 A(3，0),B(4，1)两点，且与 y 轴交于点 C。（1）求抛物线y ax bx 3(a 0)的函数关系式及点 C

33、的坐标；（2）如图（1）,连接 AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合）经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标。【答案】（1）（2）若PAB=90，分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为E、F。图（1）易得APEBAF,且BAF 为等腰直角三角形，APE 为等腰直角三角形。设 PE=a，则 P 点的坐标为（a，a3）代入解析式3-a=2125a a3解得 a=0

34、，或 a=3（与 A 重合舍去）22P（0,3）若PBA=90，如下图，直线与 x 轴交与点 D,分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为E、F。由图可得PED、BAD 为等腰直角三角形，设 PE=a，则 DE=a，AB=2,所以 AD=2，则 P 点坐标为（5a，a）代入解析式，15a(5a)2(5a)3解得，a=1，或 a=6（与 B 重合）是22所以 P 点坐标（1,6）第 15 页综上所述 P（0,3）或 P（1,6）（3）由题意得，CAO=OAF=45利用同弧所对的圆周角相等，OEF=OAF=45EFO=EAO=451OE2。23 3当 OE 最小时，面积最小。即E 为 AC 中

35、点（,)2 2EOF 为等腰直角三角形，S EOF=变式一变式一（2019 山东枣庄，25，10 分）如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y x2向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线y (xh)k.所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h、k的值；（2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使AOMABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.y2x2解：解：（1）y的顶点坐标为（，），(xh)k2（2）由（1）得y.(x1)42当y 0时，(解之，得x3，x1x1)4 012又当x 0时，

36、y，(x1)4 (01)4 322，-3.4C 点坐标为0分又抛物线顶点坐标D1，4，作抛物线的对称轴x 1交x轴于点 E，DF y轴于点F易知D 2420tAED在R中，A；222第 16 页在R中，A；C 3318tAOC在R中，C；D 112tCFDACD 是直角三角形（3）存在作 OMBC 交 AC 于 M，点即为所求点由（2）知，AC 18 32AOC为等腰直角三角形，BAC 45由，得AOMABC222222AOAMABAC即3AM33 29 2，AM.43442过M点作M于点G，则G AB又点 M 在第三象限，所以M.（-，-）y3944E GxMF变式二（2019 南充市，21

37、，8 分）如图，等腰梯形ABCD 中，ADBC,AD=AB=CD=2,C=600,M 是 BC 的中点。（1）求证：MDC 是等边三角形；（2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD(即 MD)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC)同时与 AD交于一点 F 时，点 E,F 和点 A 构成AEF.试探究AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值.【答案】（1）证明：过点 D 作 DPBC,于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q,0C=B=60CP=BQ=1AB,CP+BQ=AB2又ADPQ 是矩形，AD=PQ,故 BC=2AD,由已知，点 M

38、是 BC 的中点，BM=CM=AD=AB=CD,0即MDC 中，CM=CD,C=60,故MDC 是等边三角形.第 17 页（2）解：AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接 AM,由（1）平行四边形 ABMD 是菱形，MAB,MAD 和MCD是等边三角形，00BMA=BME+AME=60,EMF=AMF+AME=60BME=AMF）0在BME 与AMF 中，BM=AM,EBM=FAM=60BMEAMF(ASA)BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB0EMF=DMC=60 ,故EMF 是等边三角形，EF=MF.MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离3，即 EF 的最小值是3.AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF,AEF 的周长的最小值为 2+3.第 18 页