导数的四则运算.pdf

《导数的四则运算.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的四则运算.pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式表原函数f(x)C(C 为常数)f(x)xnf(x)sin xf(x)cos xf(x)axf(x)exf(x)logaxf(x)ln x导数的运算法则(1)前提：函数 f(x)，g(x)是可导的(2)法则：和(或差)的求导法则：(f(x)g(x)f(x)g(x)，推广：(f1f2fn)f1f2fn.导函数f(x)0f(x)nxn1(x0，n0)f(x)cos xf(x)sin xf(x)axln a(a0，a1)f(x)ex1f(x)xln a(a0，a1，x0)1f(x)x积的求导法则：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)特别地：Cf(x

2、)Cf(x)商的求导法则：fxgxfxgxfx(g(x)0)，g2xgxgx1特别地：gx2(g(x)0)g xfx求导法则中，分子是个差式，这个差中先对 f(x)还是 g(x)进行求思考：商的导数gx导？第1页共11页提示先对 f(x)求导，即 f(x)g(x)，再对 g(x)求导，即 f(x)g(x)1下列结论不正确的是()A若 y3，则 y0B若 f(x)3x1，则 f(1)3C若 y xx，则 y12 x1D若 ysin xcos x，则 ycos xsin xD DD 项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x2设 y2exsin x，则 y等于(

3、)A2excos xC2exsin xB2exsin xD2ex(sin xcos x)D Dy2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)ln x3已知函数 f(x)x，则 f(1)_.1xxln x1ln x1 1f(x)x2，f(1)1.x2用导数的求导法则求导数【例 1】求下列函数的导数：13(1)y2x2xx3；(3)yexcos xsin x；(2)yx3；x23(4)yx3lg x.思路探究观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解解(1)y2x2x13x3，19y4xx23(3)x44xx2x4.1x232xx3x26

4、x3(2)y.x232x232(3)y(excos xsin x)(excos x)(sin x)第2页共11页(ex)cos xex(cos x)cos xexcos xexsin xcos x.1(4)y3x2xln 10.应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导.提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导.求下列函数的导数：(1)y1xxx2sin2cos2；(2)yxx232x62；(3)yco

5、s xln x；(4)yxex.解(1)y1xxx2sin2cos2(x2)(12sin x)2x312cos x2x312cos x.(2)yx332x26x2(x3)32x2(6x)(2)3x23x6.(3)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln xcos xx.第3页共11页xxe xe(4)yex ex2exxex1xe2xex.导数运算法则的应用探究问题1导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？提示f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)2导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？提示对于积与商的导数运算法则

6、，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“”，商的导数法则中分子上是“”1a【例 2】已知函数 f(x)ln xaxx1(aR)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程思路探究先求导，再求切线斜率，根据点斜式得切线方程解因为当 a1 时，2f(x)ln xxx1，x(0，)x2x2所以 f(x)x2，x(0，)，因为 f(2)1，即曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 1.又 f(2)ln 22，所以曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(ln 22)x2，即 xy

7、ln 20.1(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 xyln 20”，求 a 的值a1ax2xa11解因为 f(x)xax2，又曲线在点(2，f(2)处的切线方程为 xx222a2a1yln 20，所以 f(2)1，即1，即 a1.222(改变问法)本典例的条件不变，求使 f(x)0 成立的 x的取值范围第4页共11页xx解因为当 a1 时，2f(x)ln xxx1，x(0，)x2x2所以 f(x)x2，x(0，)，因为 f(x)0，x2x20，所以解得 x(1，)x0.1此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以

8、进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.2准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.1思考辨析(1)若 f(a)a32axx2，则 f(a)3a22x.CCgx(2)gx.g2x(3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数提示(1)(2)(3)应用导数的运算法则求导数的前提是 f(x)，g(x)均为可导函数，即 f(x)，g(x)存在ex2k2对于函数 f(x)x2ln xx，若 f(1)1，则 k 等于()eA2eC2exx212kAf(x)x3xx2，第5页共11页()()()eB3eD3ef(1)e12k1，解得 k2，故选 A.3曲线 yA122C2sin x4，0处的切

9、线的斜率为()1在点 Msin xcos x2B122D2cos xsin xcos xsin xcos xsin xB Bysin xcos x21，sin xcos x21y|x2，4曲线在点 M4，0处的切线的斜率为1.24已知 a为实数，f(x)(x24)(xa)，且 f(1)0，则 a_.1 12 2f(x)(x24)(xa)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.又f(1)32a40，a1.21a5设函数 f(x)3x32x2bxc，其中 a0，曲线 yf(x)在点 P(0，f(0)处的切线方程为 y1，确定 b、c的值解由题意，得 f(0)c，f(x)x2axb，f00，13

10、a2由切点 P(0，f(0)既在曲线 f(x)3x 2x bxc上又在切线 y1 上，得f01，02a0b0，即13a20 0 b0c1，23解得 b0，c1.基础达标练第6页共11页1已知函数 f(x)sin xln x，则 f(1)的值为()A1cos 1Ccos 11B1cos 1D1cos 11B Bf(x)cos xx，f(1)cos 11.2函数 f(x)exxsin x7x在 x0 处的导数等于()A6C4B6D5A Af(x)ex(sin xxcos x)7，f(0)e0(sin 00)76.x13设曲线 y在点(3,2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a等于()x1A2

11、1C2D Dyx121，x1x11B2D221y.y|x32.x12a2，即 a2.4已知曲线 yx3在点 P处的切线斜率为 k，则当 k3时的 P 点坐标为()A(2，8)B(1，1)或(1,1)C(2,8)11，D.28B By3x2，k3，3x23，x1.故 P点坐标为(1，1)或(1,1)5已知点 P在曲线 y()第7页共11页4上，为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是e 1x0，A43C2，4B4，23D4，4ex4ex4txD Dyx，设 te(0，)，则 ye 12e2x2ex1t22t14134，.，t 2，y1,0)，1ttt216已知 f(x)3x33xf(0)

12、，则 f(1)_.1 1由于 f(0)是一常数，f(x)x23f(0)，令 x0，则 f(0)0，f(1)123f(0)1.7若曲线 yxln x上点 P处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_(e，e)设 P(x0，y0)yxln x，1yln xxx1ln x.k1ln x0.又 k2，1ln x02，x0e.y0eln ee.点 P 的坐标是(e，e)18若函数f(x)2x2axlnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_12 2，)f(x)2x2axln x，1f(x)xax.f(x)存在垂直于 y轴的切线，f(x)存在零点，11即 xxa0有解，axx2.9求下列函

13、数的导数：11(1)yxx2xx3；1(2)y(x1)1；x第8页共11页xx(3)ysin44cos44.11解(1)yxx2xx312x31x2，y3x2x3.111(2)y(x1)1x2x2，x131 1 y2x22x2111x.2 xxx(3)ysin44cos442xx2x2xsin4cos4 2sin24cos2412x1 1cos x12sin212231144cos x，y4sin x.10已知函数 f(x)ax3bx2cx过点(1,5)，其导函数 yf(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式解f(x)3ax22bxc，又 f(1)0，f(2)0，f(1)5，3a2bc0，1

14、2a4bc0，abc5，解得 a2，b9，c12.第9页共11页f(x)的解析式是 f(x)2x39x212x.能力提升练5sin 3cos 1设函数 f(x)3x32x2tan，其中 0，12，则导数 f(1)的取值范围是()A2,2C 3，2B 2，3D 2，2D D由已知，得 f(x)sinx2 3cosx，所以 f(1)sin 3cos2sin3，53又 0，12，所以334，所以 22sin32，所以 2f(1)2.12下列图象中，有一个是函数 f(x)3x3ax2(a21)x1(aR R，a0)的导函数f(x)的图象，则 f(1)()1A37C31B315D3或3B Bf(x)x2

15、2ax(a21)，导函数 f(x)的图象开口向上又 a0，f(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，f(x)的图象必为第三个图由图象特征，知f(0)1110，a210，且a0，a1，f(x)3x3x21，f(1)3113.3设 aR R，函数 f(x)x3ax2(a3)x 的导函数是 f(x)，若 f(x)是偶函数，则曲线 yf(x)在坐标原点处的切线方程为_第10页共11页y3xf(x)x3ax2(a3)x，f(x)3x22axa3.又f(x)f(x)，即3x22axa33x22axa3对任意 xR 都成立，a0，f(x)3x23，f(0)3，曲线 yf(x)在坐标原点处的切线方程为 y3x.第11页共11页