【精选】122线性方程组的相容性定理.pdf

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1、线性方程组的相容性定理 教学目标与要求通过学习，使学生进一步掌握高斯消元法解线性方程组，掌握线性方程组的相容性定理。教学重点与难点教学重点：线性方程组的相容性定理。教学难点：线性方程组的相容性定理的推导。教学方法与建议本节首先通过回顾高斯消元法、初等变换等概念并具体应用高斯消元法的例子使得线性方程组的相容性定理的引入变得自然而易于接受。1.高斯消元法设一般线性方程组为教学过程设计 a a1111x x1 1 a a x x 21211 1 a am m1 1x x1 1 a a1212x x2 2a a2222x x2 2a am m2 2x x2 2 a a1 1n nx xn na a2

2、2n nx xn na amnmnx xn n b b1 1b b2 2 (1)(1)b bm m则称矩阵 a a1111 a aA A 2121 a am m1 1a a1212a a2222a am m2 2a a1 1n n a a2 2n n a amnmn 为方程组(1)的系数矩阵。a a1111 a a2121称矩阵B B A A,b b a a m m1 1a a1212a a2222a a1 1n na a2 2n na am m2 2a amnmnb b1 1 b b2 2 b bm m 为方程组(1)的增广矩阵。当b bi i 0 0 i i 1 1,2 2,m m 时,齐

3、次方程组 a a1 1n nx xn n 0 0 a a1111x x1 1 a a1212x x2 2 a a x x a ax x a a2 2n nx xn n 0 0 21211 122222 2(2)(2)a amnmnx xn n 0 0 a am m1 1x x1 1 a am m2 2x x2 2 称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组。定义：线性方程组的初等变换（1）用一非零的数乘某一方程;（2）把一个方程的倍数加到另一个方程;（3）互换两个方程的位置可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解，对一个方程组进行初等变换，

4、实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换 a a1111 a a2121B B A A,b b a a m m1 1a a1212a a2222a a1 1n na a2 2n na am m2 2a amnmnb b1 1 b b2 2 b bm m s s1111 0 0 化为行阶梯化为行阶梯0 0矩阵矩阵 0 0 0 0 0 0s s1212s s22220 00 00 00 0s s1 1r rs s1 1r rs srr rr0 00 00 0s s1,1,r r 1 1s s2,2,r r 1 1s sr r,r r 1 1 0 0 0 0 0 0s s1 1n ns s2 2n ns

5、 srnrn0 00 00 0t t1 1 t t2 2 t tr r t tr r 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 化为行最化为行最0 0简形矩阵简形矩阵 0 01 10 00 00 01 1c c1,1,r r 1 1c c2,2,r r 1 1c cr r,r r 1 1c c1 1n nc c2 2n nc crnrnd d1 1 d d2 2 d dr r (3)(3)0 00 00 0 0 00 0d dr r 1 1 0 00 00 0 0 00 00 0 0 00 00 0 0 00 00 0 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。由矩阵（3）可讨论方程组

6、（1）的解的情况1)若d dr r 1 1 0 0，则方程组无解;2)若d dr r 1 1 0,0,则方程组有解，当 r r n n 有唯一解;r r n n有无穷解。3)特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。当 r r n n有唯一零解;r r n n有无穷多解,即有非零解.举例说明消元法具体步骤：2 2x x1 1 x x2 2 3 3x x3 3 1 1例1：解线性方程组 4 4x x 2 2x x 1 12 2 5 5x x3 3 4 4 2 2x x1 1 x x2 2 4 4x x3 3 0 0解：2 2 1 13 31 1 2 2 1 1(A A,b b

7、)4 4 2 25 54 4 0 0 2 2 1 14 40 0 0 0 0 00 0 2 2 1 13 31 1 0 00 0 1 12 2 0 00 00 01 1 最后一行有0 0 x x3 3 1,1,可知方程组无解。x x1 1 2 2x x2 2 3 3x x3 3 4 4x x4 4 1 1例 2：解线性方程组 x x2 2 x x3 3 x x4 4 0 0 x x1 1 3 3x x2 2 3 3x x4 4 1 1 7 7x x2 2 3 3x x3 3 x x4 4 0 03 31 1 1 12 2 1 1 1 1 x x1 1 1 1 对应的方程组为 x x即2 2 x

8、 x4 4 0 0 x x 2 2x x 0 04 4 3 3解：1 1 0 0(A A,b b)1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 1 1 1 11 10 0 3 30 0 3 3 1 1 7 73 31 10 0 2 23 3 2 23 3 4 41 1 1 1 2 23 3 4 4 1 1 1 1 1 11 10 0 0 01 1 1 11 1 0 0 0 02 2 4 40 0 0 00 01 1 2 2 0 0 0 0 4 48 80 0 0 00 0 0 0 0 00 0 2 20 01 1 1 1 0 01 10 0 1

9、 10 0 0 01 1 2 20 0 0 0 0 00 00 00 0 0 02 20 01 1 1 10 0 1 10 0 0 01 1 2 20 0 0 00 00 00 0 0 00 0 x x1 1 1 1 x x2 2 x x4 4 x x 2 2 x x4 4 3 3 x x1 1 1 1 x x2 2 k k所以一般解为(k k为任意常数)2 2 x x3 3 k k x x4 4 k k 齐次线性方程组（2）有解的条件2.齐次线性方程组A Am m n nx xn n 1 1 0 0m m 1 1 (2)(2)R R A A n n定理 1：齐次线性方程组A Am mn nx

10、 xn n10m m1有非零解定理 2：齐次线性方程组A Am m n nx xn n 1 1 0 0m m 1 1只有零解.R R A A n n推论：齐次线性方程组n n n nx xn n 1 1 0 0n n只有零解A A 1 1即|A|A|0 0,即系数矩阵 A 可逆。例 3:求下列齐次方程组的通解。x x1 1 2 2x x2 2 4 4x x3 3 x x4 4 0 0(1)(1)2 2x x1 1 4 4x x2 2 8 8x x3 3 x x4 4 0 0 3 3x x 6 6x x 2 2x x 0 02 23 3 1 1解：1 1A A 2 2 3 3 2 24 46 6

11、4 48 82 21 1 1 1 0 0 1 1 1 12 20 0 5 5 1 1 1 12 24 4 初等行初等行3 3 变换变换 0 00 0 1010 3 3 0 00 01 1 1010 0 00 00 0 0 0 0 00 00 00 0 行最简形矩阵对应的方程组为1 1 x x 2 2 x x x x4 4 0 01 12 21 1 x x1 1 2 2 x x2 2 x x4 4 5 5 5 5即 3 33 3 x x x x3 3 x x4 4x x4 4 0 03 3 10101010 x x，x x是自由未知量2 24 4先求通解，再求基础解系令x x2 2 c c1 1

12、,x x4 4 c c2 21 1 x x 2 2 c c c c1 1 1 15 52 2 x x2 2 c c1 1则 x x 3 3c c3 32 2 1010 x x c c2 2 4 4 x x1 1 2 2 x x 1 1 2 2 即:x x c c1 1 0 0 c c2 23 3 x x0 0 4 4 c c1 1,c c2 2为任意常数。1 1 5 5 0 0 3 3 1010 1 1 x x1 1 2 2x x2 2 3 3x x3 3 0 0 3 3x x1 1 6 6x x2 2 1010 x x 0 0(2)(2)3 3 2 2x x1 1 5 5x x2 2 7 7

13、x x3 3 0 0 x x1 1 2 2x x2 2 4 4x x3 3 0 0解：3 3 2 23 3 1 12 2 1 11 11 1 A A 3 36 61010 初等行变换初等行变换 0 0 2 25 5 0 01 1 7 7 1 12 24 4 0 0 0 00 00 0 1 12 20 0 1 10 0 0 0 0 01 10 0 0 01 10 0 0 00 01 1 0 00 00 0 0 00 01 1 0 00 00 0 R R A A 3 3 n n，所以只有零解。3.3.非齐次性线性方程组A Am m n nx xn n 1 1 b bm m 1 1 (1)(1)有解

14、的条件有解的条件定理 3：非齐次线性方程组A Am m n nx xn n 1 1 b bm m 1 1有解R R A A R R A A,b b 并且，当R R A A R R A A,b b n n时，有唯一解；当R R A A R R A A,b b n n时，有无穷多解。例 4:求解非齐次方程组 x x1 1 5 5 x x2 2 x x3 3 x x4 4 1 1 x x 1 1 2 2 x x2 2 x x3 3 3 3 x x4 4 3 3 3 3 x x1 1 8 8 x x2 2 x x3 3 x x4 4 1 1 x x1 1 9 9 x x2 2 3 3 x x3 3 7

15、 7 x x4 4 7 7解：1 15 5 1 1 1 1 1 1 1 15 5 1 1 1 1 7 72 24 4(A A,b b)1 1 2 21 13 33 3 0 0 3 38 8 1 11 11 1 0 00 00 00 0 1 19 93 37 77 7 0 00 00 00 0 1 1 4 4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 10 00 03 37 72 2 7 70 00 013131313 7 77 7 4 44 4 7 77 70 00 0 0 00 0 c c 令x x3 3,x x4 4c c2 2,则1 13 3 x x1 1 1 17 73

16、 3 7 73 3x x3 3 1 1x x4 47 7 x x 4 4 2 2x x 4 4x x 2 27 77 73 37 74 4即:x x1 1 x x 2 2 x x3 3 x x 4 4 13133 31313 c c1 1 c c2 27 77 77 74 42 24 4 c c1 1 c c2 27 77 77 7 c c1 1 c c2 2(c c1 1,c c2 2为任意常数）。例 5：kxkx x x1 12 2 x x3 3 5 5 3 3 x x1 1 2 2 x x2 2 kxkx3 3 1818 5 5 k k x x 2 2 x x 2 23 3 2 2问:k

17、 取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解。解一：k k1 11 13 32 2k k A A,b b 0 01 12 2 3 3 k k1818 5 5k k 0 0 2 2 5 51818 5 5 k k 1 11 15 5 1 12 22 2 2 2k k 3 3 0 0 0 02 2k kk k2 24 40 01 1 2 2 k k3 33 31 12 2 k k2 2 5 5 1818 5 5k k 2 2 1 1 k k 3 33 3 2 2 1818 5 5k k 3 32 2 0 01 1 0 00 0(1)k k1818 5 5k k 2 22 2 5 52

18、214144 41 12 2k k 3 3 k k k k 1 1k k 3 33 33 33 3 4 41 1k k k k2 2 1 1 0 0时,即k k 1 1且k k 3 3时,R R A A R R A A,b b n n 3 3,有唯一解;3 33 3(2)k k 1 1时,R R A A R R A A,b b 2 2 3 3,有无穷解;(3)k k 3 3时,R R A A R R A A,b b,无解.解二：利用 Cramer 法则k kD D 3 30 01 12 21 11 1k k (k k 1)(1)(k k 3)3)2 2当D D 0 0时，即k k 1 1且k

19、k 3 3时，方程组有唯一解。当k k 1 1时，1 1(A A,b b)3 3 0 0 1 12 21 11 11 12 25 5 1313 2 2 1 1 0 0 0 0 0 01 10 0 1 12 20 03 3 2 2 0 0 1 1 c c 2 2 1 1 x x1 1 3 3 x x3 3有无穷多解，即 x x2 2 2 2 2 2 x x3 3当k k 3 3时，x x1 1 3 3 x x 2 2 2 2 x x 0 0 3 3 3 3(A A,b b)3 3 0 0 1 12 21 11 13 32 25 5 3 3 2 2 3 3 0 0 0 0 1 11 10 01 12 20 05 5 2 2 4 4 R R A A R R A A,b b,所以方程组无解。