错位相减法求和附答案精编版.pdf

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1、错位相减法求和专项错位相减法求和专项错位相减法求和适用于错位相减法求和适用于aannb bn n 型数列，其中型数列，其中aan n,b,bn n 分别是等差数列和等比数列，在应用过分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：程中要注意：项的对应需正确；项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（相减后应用等比数列求和部分的项数为（n n-1 1）项；）项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为 1 11.1.已知二次函数已知二次函数和为和为，点，点的图象经过坐标原点，的图象经过坐标原点，其导函数其导函数均在函数均在函数的通项公式；的通项公式

2、；的图象上的图象上，数列数列的前的前项项（）求数列）求数列（）设）设，是数列是数列的前的前项和，求项和，求 解析解析 考察专题：考察专题：2.12.1，2.22.2，3.13.1，6.16.1；难度：一般；难度：一般 答案答案 （）由于二次函数）由于二次函数的图象经过坐标原点，的图象经过坐标原点，则设则设，又点又点均在函数均在函数的图象上，的图象上，当当时，时，又又，适合上式，适合上式，（7 7 分）分）（）由（）由（）知，）知，第1页 共 15 页，上面两式相减得：上面两式相减得：，整理得整理得 （1414 分）分）2.2.已知数列已知数列的各项均为正数，的各项均为正数，是数列是数列的前的前

3、 n n 项和，且项和，且（1 1）求数列）求数列的通项公式；的通项公式；（2 2）答案答案 查看解析查看解析的值的值.解析解析 （1 1）当）当 n=1n=1 时，时，又又 4S4Sn n=a=an n2 2+2a+2an n3 3解出解出 a a1 1=3,=3,当当时时4s4sn n1 1=+2a+2an n-1 13 3,即即，,第2页 共 15 页（），是以是以 3 3 为首项，为首项，2 2 为公差的等差数列，为公差的等差数列，6 6 分分（2 2）又又=1212 分分3.3.（20132013年四川成都市高新区高三年四川成都市高新区高三4 4月月考，月月考，19,1219,12分

4、）分）设函数设函数数列数列前前项和项和，数列，数列，满足，满足.，（）求数列）求数列的通项公式的通项公式；（）设数列）设数列的前的前项和为项和为，数列，数列的前的前项和为项和为，证明：，证明：.答案答案()()由由，得，得是以是以为公比的等比数列，故为公比的等比数列，故.（）由）由，得得第3页 共 15 页，记记+，用错位相减法可求得：用错位相减法可求得：.（注：此题用到了不等式：（注：此题用到了不等式：进行放大进行放大.）4.4.已知等差数列已知等差数列中，中，；是是与与的等比中项的等比中项（）求数列）求数列的通项公式：的通项公式：（）若）若求数列求数列的前的前项和项和 解析解析（）因为数列

5、）因为数列是等差数列，是等差数列，是是与与的等比中项所以的等比中项所以，又因为又因为，设公差为，设公差为，则，则，所以所以，解得，解得或或，当当时时,，；当当时，时，.所以所以或或.（6 6 分分)（）因为）因为，所以，所以，所以，所以，第4页 共 15 页所以所以，所以所以两式相减得两式相减得，所以所以.（1313 分）分）5.5.已知数列已知数列且公差且公差.的前的前项和项和，等差数列等差数列中中，（）求数列）求数列、的通项公式；的通项公式；（）是否存在正整数）是否存在正整数，使得，使得若不存在，说明理由若不存在，说明理由.若存在，求出若存在，求出的最小值，的最小值，解析解析（）时，时，相

6、减得：相减得：，又，又，数列数列是以是以 1 1 为首项，为首项，3 3 为公比的等比数列，为公比的等比数列，.又又，.（6 6 分）分）（）令令第5页 共 15 页得：得：，即，即，当，当，当，当。的最小正整数为的最小正整数为 4.4.（1212 分）分）6.6.数列数列满足满足，等比数列，等比数列满足满足.（）求数列）求数列，的通项公式；的通项公式；（）设）设，求数列，求数列的前的前项和项和.解析解析 （）由）由，所以数列，所以数列是等差数列，又是等差数列，又，所以所以，由由，所以，所以，所以，所以，即，即，所以所以.（6 6 分分)（）因为）因为，所以，所以，则则，所以所以，两式相减的两

7、式相减的，所以所以.(12.(12 分）分）第6页 共 15 页7.7.已知数列已知数列满足满足，其中，其中为数列为数列的前的前 项和项和()()求求的通项公式；的通项公式；()()若数列若数列满足：满足：()，求，求的前的前 项和公式项和公式.解析解析)，得，得，又，又时，时，.（5 5 分）分）()()，两式相减得两式相减得，.（1313 分）分）8.8.设设 d d 为非零实数为非零实数,a,an n=d+2d+2d d2 2+(n+(n-1)1)d dn n-1 1+n+nd dn n(nN(nN*).).()()写出写出 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3并判断并判断aan n

8、 是否为等比数列是否为等比数列.若是若是,给出证明给出证明;若不是若不是,说明理由说明理由;()()设设 b bn n=nda=ndan n(nN(nN*),),求数列求数列bbn n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n.答案答案()()由已知可得由已知可得 a a1 1=d,a=d,a2 2=d(1+d),a=d(1+d),a3 3=d(1+d)=d(1+d)2 2.第7页 共 15 页当当 n2,k1n2,k1 时时,=,因此因此a an n=.由此可见由此可见,当当 dd-1 1 时时,a,an n 是以是以 d d 为首项为首项,d+1,d+1 为公比的等比数列为公比的等比数列;

9、当当 d=d=-1 1 时时,a,a1 1=-1,a1,an n=0(n2),=0(n2),此时此时aan n 不是等比数列不是等比数列.(7.(7 分分)()()由由()()可知可知,a,an n=d(d+1)=d(d+1)n n-1 1,从而从而 b bn n=nd=nd2 2(d+1)(d+1)n n-1 1,S Sn n=d=d2 21+2(d+1)+3(d+1)1+2(d+1)+3(d+1)2 2+(n+(n-1)(d+1)1)(d+1)n n-2 2+n(d+1)+n(d+1)n n-1 1.当当 d=d=-1 1 时时,S,Sn n=d=d2 2=1.=1.当当 dd-1 1 时

10、时,式两边同乘式两边同乘 d+1d+1 得得(d+1)S(d+1)Sn n=d=d2 2(d+1)+2(d+1)(d+1)+2(d+1)2 2+(n+(n-1)(d+1)1)(d+1)n n-1 1+n(d+1)+n(d+1)n n.,式相减可得式相减可得-dSdSn n=d=d2 21+(d+1)+(d+1)1+(d+1)+(d+1)2 2+(d+1)+(d+1)n n-1 1-n(d+1)n(d+1)n n=d=d2 2.化简即得化简即得 S Sn n=(d+1)=(d+1)n n(nd(nd-1)+1.1)+1.综上综上,S,Sn n=(d+1)=(d+1)n n(nd(nd-1)+1.

11、(121)+1.(12 分分)9.9.已知数列已知数列aan n 满足满足 a a1 1=0,a=0,a2 2=2,=2,且对任意且对任意 m,nNm,nN*都有都有 a a2m2m-1 1+a+a2n2n-1 1=2a=2am+nm+n-1 1+2(m+2(m-n)n)2 2.()()求求 a a3 3,a,a5 5;()()设设 b bn n=a=a2n+12n+1-a a2n2n-1 1(nN(nN*),),证明证明:b:bn n 是等差数列是等差数列;()()设设 c cn n=(a=(an+1n+1-a an n)q)qn n-1 1(q0,nN(q0,nN*),),求数列求数列c

12、cn n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n.答案答案()()由题意由题意,令令 m=2,n=1m=2,n=1 可得可得 a a3 3=2a=2a2 2-a a1 1+2=6.+2=6.再令再令 m=3,n=1m=3,n=1 可得可得 a a5 5=2a=2a3 3-a a1 1+8=20.(2+8=20.(2 分分)第8页 共 15 页()()证明证明:当当 nNnN*时时,由已知由已知(以以 n+2n+2 代替代替 m)m)可得可得 a a2n+32n+3+a+a2n2n-1 1=2a=2a2n+12n+1+8.+8.于是于是aa2(n+1)+12(n+1)+1-a a2(n+1)2

13、(n+1)-1 1-(a(a2n+12n+1-a a2n2n-1 1)=8,)=8,即即 b bn+1n+1-b bn n=8.=8.所以所以,数列数列bbn n 是公差为是公差为 8 8 的等差数列的等差数列.(5.(5 分分)()()由由()()、()()的解答可知的解答可知bbn n 是首项是首项 b b1 1=a=a3 3-a a1 1=6,=6,公差为公差为 8 8 的等差数列的等差数列.则则 b bn n=8n=8n-2,2,即即 a a2n+12n+1-a a2n2n-1 1=8n=8n-2.2.另由已知另由已知(令令 m=1)m=1)可得可得,a,an n=-(n(n-1)1)

14、2 2.那么那么,a,an+1n+1-a an n=于是于是,c,cn n=2nq=2nqn n-1 1.-2n+1=2n+1=-2n+1=2n.2n+1=2n.当当 q=1q=1 时时,S,Sn n=2+4+6+2n=n(n+1).=2+4+6+2n=n(n+1).当当 q1q1 时时,S,Sn n=2q=2q0 0+4q+4q1 1+6q+6q2 2+2nq+2nqn n-1 1.两边同乘两边同乘 q q 可得可得qSqSn n=2q=2q1 1+4q+4q2 2+6q+6q3 3+2(n+2(n-1)q1)qn n-1 1+2nq+2nqn n.上述两式相减即得上述两式相减即得(1(1-

15、q)Sq)Sn n=2(1+q=2(1+q1 1+q+q2 2+q+qn n-1 1)-2nq2nqn n=2=2-2nq2nqn n=2=2,所以所以 S Sn n=2=2.综上所述综上所述,S,Sn n=(12(12 分分)10.10.已知数列已知数列aan n 是公差不为零的等差数列是公差不为零的等差数列,a,a1 1=2,=2,且且 a a2 2,a,a4 4,a,a8 8成等比数列成等比数列.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)求数列求数列aan n 的前的前 n n 项和项和.答案答案(1)(1)设数列设数列aan n 的公差为的公差为 d(d0)

16、,d(d0),第9页 共 15 页由条件可知由条件可知:(2+3d):(2+3d)2 2=(2+d)(2+7d),=(2+d)(2+7d),解得解得 d=2.(4d=2.(4 分分)故数列故数列aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=2n(nN=2n(nN*).(6).(6 分分)(2)(2)由由(1)(1)知知 a an n=2n3=2n32n2n,设数列设数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n,则则 S Sn n=23=232 2+43+434 4+63+636 6+2n3+2n32n2n,3 32 2S Sn n=23=234 4+43+436 6+(2

17、n+(2n-2)32)32n2n+2n3+2n32n+22n+2,故故-8S8Sn n=2(3=2(32 2+3+34 4+3+36 6+3+32n2n)-2n32n32n+22n+2,(8,(8 分分)所以数列所以数列aan n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n=.(12.(12 分分)11.11.已知等差数列已知等差数列满足满足.又数列又数列中中,且且(1)(1)求数列求数列,的通项公式的通项公式;(2)(2)若数列若数列;,的前的前项和分别是项和分别是,且且求数列求数列的前的前项和项和(3)(3)若若对一切正整数对一切正整数恒成立，求实数恒成立，求实数的取值范围的取值范围.答案答

18、案(1)(1)设等差数列设等差数列的公差为的公差为,则有则有解得解得，第10页 共 15 页，数列数列是以是以为首项为首项,公比为公比为的等比数列的等比数列.44 分分(2)(2)由由(1)(1)可得可得，得得，1010 分分(3)(3)，当当时时,取最小值取最小值,，即，即，第11页 共 15 页当当时，时，恒成立；恒成立；当当时，由时，由，解得，解得,即实数即实数的取值范围是的取值范围是.14.14 分分12.12.设设且且为数列为数列的前的前项和，对任意的项和，对任意的，都有，都有为常数，为常数，（1 1）求证：数列）求证：数列是等比数列；是等比数列；（2 2）设数列设数列的通项公式；的

19、通项公式；的公比的公比，数列数列满足满足，求数列求数列（3 3）在满足（）在满足（2 2）的条件下，求数列）的条件下，求数列的前的前项和项和 答案答案 188.188.（1 1）当）当时，时，解得，解得当当时，时，即即又又为常数，且为常数，且，第12页 共 15 页 数列数列是首项为是首项为 1 1，公比为，公比为的等比数列的等比数列44 分分（2 2）由（）由（1 1）得，）得，是首项为是首项为，公差为，公差为 1 1 的等差数列的等差数列，（）99 分分（3 3）由（）由（2 2）知）知，则，则，得得，第13页 共 15 页 13.13.设等差数列设等差数列aan n 的前的前 n n 项

20、和为项和为 S Sn n,且且 S S4 4=4S=4S2 2,a,a2n2n=2a=2an n+1.+1.()()求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;1414 分分()()设数列设数列bbn n 的前的前 n n 项和为项和为 T Tn n,且且 T Tn n+项和项和 R Rn n.=(=(为常数为常数),),令令 c cn n=b=b2n2n(nN(nN*),),求数列求数列c cn n 的前的前 n n 答案答案()()设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为 a a1 1,公差为公差为 d.d.由由 S S4 4=4S=4S2 2,a,a2n2n=2a=2an n+

21、1+1 得得解得解得 a a1 1=1,d=2.=1,d=2.因此因此 a an n=2n=2n-1,nN1,nN*.()()由题意知由题意知:T:Tn n=-,所以所以 n2n2 时时,b,bn n=T=Tn n-T Tn n-1 1=-+=.故故 c cn n=b=b2n2n=(n=(n-1)1),nN,nN*.所以所以 R Rn n=0=0+1+1+2+2+3+3+(n+(n-1)1),则则 R Rn n=0=0两式相减得两式相减得+1+1+2+2+(n+(n-2)2)+(n+(n-1)1),第14页 共 15 页R Rn n=+-(n(n-1)1)=-(n(n-1)1)=-,整理得整理得 R Rn n=.所以数列所以数列c cn n 的前的前 n n 项和项和 R Rn n=.第15页 共 15 页