信号与系统答案 第一章课后练习.pdf

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1、第 1 章习题答案1 11 1题 11 图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号?哪些是有始信号?解：解：连续信号：图（a)、(c）、(d)；离散信号：图（b）；周期信号：图（d）；非周期信号：图(a)、（b）、（c）；有始信号：图（a）、（b）、（c）。1 12 2已知某系统的输入 f(t)与输出 y（t)的关系为 y(t)=|f（t)|,试判定该系统是否为线性时不变系统.解：解：设 T 为此系统的运算子，由已知条件可知：y(t)=Tf(t）=f(t），以下分别判定此系统的线性和时不变性。线性1）可加性不失一般性，设 f(t)=f1（t）+f2（t),则

2、y1(t）=Tf1（t)=f1（t)，y2（t）=Tf2（t）=f2(t)，y（t)=Tf(t)=Tf1(t)+f2（t)=f1(t）+f2(t)，而f1（t)|f2（t）|f1（t）+f2(t)即在 f1(t)y1(t)、f2(t)y2(t）前提下,不存在 f1（t)f2(t）y1（t）y2(t），因此系统不具备可加性。由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性.2)齐次性由已知条件,y(t）=Tf(t）=f（t)，则Taf(t）=|af(t）|a|f（t）|=ay（t）（其中a 为任一常数)即在 f(t）y（t)前提下,不存在af(t)ay（t)，此系统不具备

3、齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统.时不变特性由已知条件 y（t)=Tf(t)=f（t)|，则 y（t-t0)=Tf（t-t0)=|f(tt0），即由 f（t)y（t)，可推出 f(tt0）y（tt0），因此，此系统具备时不变特性.依据上述、两点,可判定此系统为一非线性时不变系统。1 13 3判定下列方程所表示系统的性质：(a)(c)df(t)tf(x)dx0dty(t)2ty(t)2y(t)3f(t)y(t)(b)(d)y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t 2)y(t)2 y(t)f(t)解：解：(a)线性 1）可加性tdf(t)由y(t)0dtdf1(t)ty(t)f1(x)d

4、x10dtf(x)dx可得df(t)ty2(t)f2(x)dx0dt即 f1(t)y1(t)即f1(t)y1(t)则tdf1(t)tdf2(t)tdy1(t)y2(t)f1(x)dx f2(x)dx f1(t)f2(t)f1(x)f2(x)dx000dtdtdt即在f1(t)y1(t)、f2(t)y2(t)前提下，有f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)，因此系统具备可加性。2)齐次性tdf(t)f(x)dx，设 a 为任一常数，可得由f(t)y(t)即y(t)0dttttddf(t)df(t)af(t)af(x)dx a af(x)dx af(x)dx ay(t)000dtdtdt即af(

5、t)ay(t),因此,此系统亦具备齐次性.由上述 1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统.时不变性tdf(t)f(x)dxf(t)y(t)具体表现为：y(t)0dt将方程中得 f（t）换成 f(t-t0）、y（t）换成 y（tt0)（t0为大于 0 的常数）,即y(t t0)df(t t0)tf(xt0)dx0dtdf(t t0)tt0f()d设x t0，则dx d，因此y(t t0)t0dt也可写成y(t t0)df(t t0)tt0f(x)dx，t0dt只有 f（t）在 t=0 时接入系统，才存在f(t t0)y(t t0)，当 f（t)在 t0 时接入系统，不存在f(t t0)y(t

6、t0)，因此，此系统为一时变系统。依据上述、，可判定此系统为一线性时变系统。（b)线性 1）可加性在由y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t 2)规定的f(t)y(t)对应关系的前提下，可得y1(t)2y1(t)3y1(t)f1(t)f1(t 2)y2(t)2y2(t)3y2(t)f2(t)f2(t 2)y1(t)y2(t)2y1(t)y2(t)3y1(t)y2(t)f1(t)f2(t)f1(t 2)f2(t 2)即由f1(t)y1(t)可推出 f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)，系统满足可加性.f2(t)y2(t)f(t)y(t)，即y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t 2)

7、，两边同时乘以常数 a，有2)齐次性由ay(t)2y(t)3y(t)a f(t)f(t 2)ay(t)2ay(t)3ay(t)af(t)af(t 2)即af(t)ay(t),因此，系统具备齐次性.由 1)、2）可判定此系统为一线性系统。时不变性分别将y(t t0)和f(t t0)（t0为大于 0 的常数)代入方程y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t 2)左右两边，则d2y(t t0)dy(t t0)左边 23y(t t0)dtdt2右边df(t t0)ddd f(t t02)y(t t0)2y(t t0)3y(t t0)dtd(t t0)d(t t0)d(t t0)ddddd2而y(t

8、t0)y(t t0)，y(t t0)2y(t t0)d(t t0)dtd(t t0)d(t t0)dtd2y(t t0)dy(t t0)23y(t t0)左边，故系统具备时不变特性.所以，右边2dtdt依据上述、，可判定此系统为一线性时不变系统。（c）线性 1）可加性在由式y(t)2ty(t)2y(t)3f(t)规定的y1(t)2ty1(t)2y1(t)3f1(t)y2(t)2ty2(t)2y2(t)3f2(t)f(t)y(t)对应关系的前提下，可得两式相加 y1(t)y2(t)2ty1(t)2ty2(t)2y1(t)2y2(t)3f1(t)3f2(t)y1(t)y2(t)2ty1(t)y2(

9、t)2y1(t)y2(t)3 f1(t)f2(t)即在f1(t)足可加性。2）齐次性由 y1(t)、f2(t)y2(t)的前提下，有式f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)存在，即系统满f(t)y(t)，即y(t)2ty(t)2y(t)3f(t)，两边同时乘以常数 a,有ay(t)2aty(t)2ay(t)3af(t)ay(t)2tay(t)2ay(t)3af(t)，即有af(t)ay(t)，因此，系统具备齐次性。依据上述 1）、2),此系统为一线性系统。时不变性分别将y(t t0)和f(t t0)（t0为大于 0 的常数）代入方程y(t)2ty(t)2y(t)3f(t)左右两边，则d2d左

10、边2y(t t0)2ty(t t0)2y(t t0)dtdtd2d右边3f(t t0)y(t t)2(t t)y(t t0)2y(t t0)002d(t t0)d(t t0)ddy(t t)2(t t)y(t t0)2y(t t0)右边002dtdt2因此，系统是时变的。依据上述、，可判定此系统为一线性时变系统。（d）线性 1）可加性在由式y(t)2 y(t)f(t)规定的f(t)y(t)对应关系的前提下,可得y1(t)2 y1(t)f1(t)两式相加22 y(t)y(t)y1(t)y2(t)f1(t)f2(t)122y2(t)y2(t)f2(t)而不是：y1(t)y2(t)2y1(t)y2(

11、t)f1(t)f2(t)即在f1(t)y1(t)、f2(t)y2(t)的前提下，并不存在f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)因此系统不满足可加性,进而系统不具备线性特性。(下面的齐次性判定过程可省略）2)齐次性由f(t)y(t)，即y(t)2 y(t)f(t),两边同时乘以常数 a，有ay(t)2 ay(t)af(t)，即式ay(t)2ay(t)af(t)不成立，不存在af(t)ay(t)因此，系统也不具备齐次性。单独此结论,也可判定此系统为一非线性系统。时不变性分别将y(t t0)和f(t t0)（t0为大于 0 的常数)代入方程y(t)2 y(t)f(t)左右两边，则左边dy(t t0

12、)2 y(t t0)dt右边f(t t0)dy(t t0)2dy(t t0)2 y(t t0)y(t t0)右边d(t t0)dt即以式y(t)2 y(t)f(t)规定的f(t)y(t)关系为前提，存在f(t t0)y(t t0)因此，系统是非时变的。依据上述、，可判定此系统为一线性时不变系统。1 14 4试证明方程y(t)ay(t)f(t)所描述的系统为线性系统。提示:根据线性的定义，证明满足可加性和齐次性。证明：证明：1）证明齐次性by(t)ay(t)f(t)两边同乘任意常数by(t)ay(t)bf(t)即 by(t)aby(t)bf(t)即 bf(t)by(t)满足齐次性2）证明可加性

13、y1(t)ay1(t)f1(t)y(t)ay(t)f(t)y(t)ay(t)f(t)222相加 y1(t)ay1(t)y2(t)ay2(t)f1(t)f2(t)即 y1(t)y2(t)ay1(t)y2(t)f1(t)f2(t)即 f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)满足可加性由以上 1）、2），可知系统是线性的。1 15 5试证明题 14 的系统满足时不变性。提示：将方程中的 t 换为 t-t0，导出 f（t-t0)与 y(t-t0)对应.证明：证明：分别将y(t t0)和f(t t0)(t0为大于 0 的常数）代入方程y(t)ay(t)f(t)左右两边，则左边dy(t t0)ay(t t

14、0)dt右边f(t t0)dy(t t0)dy(t t0)ay(t t0)ay(t t0)右边d(t t0)dt即以式y(t)ay(t)f(t)规定的f(t)y(t)关系为前提,存在f(t t0)y(t t0)因此，系统满足时不变性。1 16 6试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性.提示：利用时不变性和微分的定义推导。证明：证明：设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为由线性可加性可得f(t)y(t)，则f(t t)y(t t)（时不变性）f(t)f(t t)y(t)y(t t)f(t)f(t t)y(t)y(t t)tt因此所以limt0f(t)f(t t)y(t)y(t t)limttt0即f(t)y(t)线性时不变系统具有微分特性。t1 17 7若有线性时不变系统的方程为y(t)ay(t)f(t)，若在非零 f(t)作用下其响应y(t)1e，试求方程y(t)ay(t)2f(t)f(t)的响应。解解:已知f(t)y(t)1e，由线性关系的齐次性特性,有2f(t)2y(t)2(1e)22e又由线性系统的微分特性，有tttf(t)y(t)(1et)et再由线性关系的可加性特性,可得2f(t)f(t)y(t)22etet 2et