2024版 讲与练高三一轮数学（新教材） 第三章一元函数的导数及其应用.doc

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1、第三章一元函数的导数及其应用31导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想2体会极限思想3通过函数图象直观理解导数的几何意义4能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y，y的导数5能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (axb)的导数6会使用导数公式表知识梳理1导数的概念及其意义(1)导数的概念：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf (x)在xx0处可导，并把

2、这个确定的值叫做yf (x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f (x0)或y| xx0，即f (x0) .(2)导数的几何意义：函数yf (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线的斜率是f (x0)相应的切线方程为yy0f (x0)(xx0)(3)导函数的概念：当xx0时，f (x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，yf (x)就是x的函数，我们称它为yf (x)的导函数(简称导数)yf (x)的导函数有时也记作y，即f (x)y .2导数的运算(1)基本初等函数的

3、导数公式原函数导函数f (x)c(c为常数)f (x)0f (x)x(Q，且0)f (x)x1f (x)sin xf (x)cos_xf (x)cos xf (x)sin_xf (x)ax(a0，且a1)f (x)axln_af (x)exf (x)exf (x)logax(a0，且a1)f (x)f (x)ln xf (x)(2)导数的四则运算法则运算法则和差f (x)g(x)f (x)g(x)积f (x)g(x)f (x)g(x)f (x)g(x)，特别地，cf (x)cf (x)商(g(x)0)(3)简单复合函数的导数一般地，对于两个函数yf (u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可

4、以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf (u)和ug(x)的复合函数，记作yf (g(x)它的导数与函数yf (u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积常用结论与知识拓展1导数的两条性质(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数(2)可导函数yf (x)的导数为f (x)，若f (x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f (x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的2区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条3几类重要的切线方程

5、(1)yx1是曲线yln x的切线，yx是曲线yln(x1)的切线，yxn是曲线yln(xn1)的切线，如图1.(2)yx1与yex是曲线yex的切线，如图2.(3)yx是曲线ysin x与ytan x的切线，如图3.(4)yx1是曲线yx2x，yxln x及y1的切线，如图4.由以上切线方程可得重要不等式，如ln xx1，x1ex等基础检测1判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”(1)f (x0)与f (x0)表示的意义是不相同的()(2)f (x0)是函数yf (x)在xx0附近的平均变化率()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线

6、一定是曲线的切线()(5)函数f (x)sin(x)的导数是f (x)cos(x)()2(教材改编题)设f (x)ln(32x)cos 2x，则f (0).解析：因为f (x)2sin 2x，所以f (0).3(教材改编题)已知函数f (x)的导函数满足f (x)2xf (1)x3，则f (1)5.解析：由f (x)2xf (1)x3，得f (x)2f (1)3x2，令x1，得f (1)2f (1)3，解得f (1)3，所以f (1)2f (1)132(3)15.4(教材改编题)已知f (x)x33x21，则曲线yf (x)在点(1，1)处的切线方程为3xy20.解析：因为f (x)x33x2

7、1，所以f (x)3x26x.当x1时，f (1)363，所以曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.5(多选题)(教材改编题)曲线f (x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐标可能为(AD)A(1,3) B(0,3)C(2,9) D(1,3)解析：设切点P(x0，xx03)因为曲线f (x)在点P处的切线的斜率kf (x0)3x12，所以x01，所以点P的坐标为(1,3)或(1,3)故选AD考点1 导数的运算【例1】求下列函数的导数：(1)y2x33x25；(2)y；(3)yxnex；(4)y.解：(1)y(2x3)(3x2)56x26x

8、.(2)y2x24(x1)2.(3)y(xn)exxn(ex)nxn1exxnexxn1ex(nx)(4)y.规律总结一般对函数式先化简再求导，常用求导技巧有：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用公式化简函数，再求导；复合函数：确定复合关系，由外向内，层层求导【对点训练1】(1)已知函数f (x)ln(2x3)axex，若f (2)1，则ae2.解析：f (x)(2x3)aexax(ex)aexaxex，f (2)2a

9、e22ae22ae21，则ae2.(2)设函数f (x)在(0，)内可导，且f (ex)xex，则f (1)2.解析：令tex，故xln t，所以f (t)ln tt，即f (x)ln xx，所以f (x)1，所以f (1)2.考点2 导数的几何意义命题角度1曲线的切线的斜率和方程【例2】(1)(2021全国甲卷)曲线y在点(1，3)处的切线方程为5xy20.解析：当x1时，y3，故点(1，3)在曲线上因为y，所以y|x15.切线方程为y35(x1)，即5xy20.(2)若点P是函数y图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的取值范围是1，)解析：因为y，所以y.因为1sin 2x1

10、，所以01sin 2x2，所以，则y1，所以直线l斜率的取值范围是1，)(3)已知函数f (x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf (x)相切，则直线l的方程为xy10.解析：点(0，1)不在曲线f (x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f (x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得直线l的方程为yx1，即xy10.规律总结曲线切线方程的求法：以曲线上的点(x0，f (x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f (x)的导数f (x)；求切线的斜率f (x0)；写出切线方程yf (x0)f (x0)(xx0)，并化简；如果已知点(x1，y1)不在曲线

11、上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个【对点训练2】(1)直线ykx1与曲线f (x)aln xb相切于点P(1,2)，则2ab等于4.解析：直线ykx1与曲线f (x)aln xb相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入ykx1，可得k12，解得k1，f (x)aln xb，f (x)，由f (1)1，解得a1，可得f (x)ln xb，P(1,2)在曲线f (x)ln xb上，f (1)ln 1b2，解得b

12、2，故2ab224.(2)若曲线y的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为或.解析：由题意，设切点坐标为(x0，)，由yx，得y，则切线斜率k，则曲线在切点处的切线方程为y(xx0)，又切线过点(8,3)，所以3(8x0)，整理得x0680，解得4或2，所以切线斜率k或.命题角度2两条曲线的公切线【例3】(1)(2020全国卷改编)若直线l与曲线y和x2y2都相切，则l的方程为x2y10.解析：设直线l在曲线y上的切点为(x0，)，则x00，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，直线l的方程为y(xx0)，即x2yx00.由于直线l与圆x2y2相切，则，整理得5x4x010，解得x01，x0

13、(舍)，则直线l的方程为x2y10.(2)(2023贵州遵义高三开学摸底考试)若直线ykxb是曲线yex1的切线，也是yex2的切线，则k2.解析：设直线ykxb与yex2和yex1的切点分别为(x1，e2)，(x2，e)，则切线方程分别为y(e2)e (xx1)，yee (xx2)，化简得，yexex12x1e，yexx2ee.依题意上述两直线与ykxb是同一条直线，所以解得x1ln 2，所以keeln 22.规律总结处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上【

14、对点训练3】(1)已知函数f (x)x22m，g(x)3ln xx，若yf (x)与yg(x)在公共点处的切线相同，则m1.解析：f (x)x22m，g(x)3ln xx，则f (x)2x，g(x)1.设公共点为(x0，y0)，且x00，由f (x0)g(x0)，即2x01，解得x01或x0(舍去)，所以y03ln x0x01，所以1122m，解得m1.(2)若存在实数a0，使得函数f (x)aln xx与g(x)2x22xb的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为2，则实数b的最大值为1.解析：设函数f (x)aln xx的切点为(x1，y1)，函数g(x)2x22xb的切点为(x2，y2)分

15、别对函数进行求导，f (x)1，g(x)4x2，由相同切线的斜率为2，得g(x2)4x222x21，g(1)b，故切线方程为y2x2b，f (x1)12ax1，f (x1)x1ln x1x1，故函数f (x)aln xx的切点为(x1，x1ln x1x1)把切点(x1，x1ln x1x1)代入y2x2b中得x1ln x1x12x12bbx1ln x1x12，令h(x)xln xx2，h(x)ln x11ln x，当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0，解得a0，a的取值范围是(，4)(0，)(2)(2021新高考卷)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条

16、切线，则(D)Aeba BeabC0aeb D0bea解析：在曲线yex上任取一点P(t，et)，对函数yex求导得yex，所以，曲线yex在点P处的切线方程为yetet(xt)，即yetx(1t)et，由题意可知，点(a，b)在直线yetx(1t)et上，可得baet(1t)et(a1t)et，令f (t)(a1t)et，则f (t)(at)et.当t0，此时函数f (t)单调递增，当ta时，f (t)0，此时函数f (t)单调递减，所以，f (t)maxf (a)ea，由题意可知，直线yb与曲线yf (t)的图象有两个交点，则bf (t)maxea，当t0，当ta1时，f (t)0，作出函

17、数f (t)的图象如图所示：由图可知，当0b0)可以作曲线yxex的三条切线，则(D)A0abebBaeab0C0ae2b4D(a4)be20，所以当x0，f (x)单调递增，当2xa时，f (x)a时，f (x)0，f (x)单调递增，当x时f (x)0，当x时，f (x)，且f (2)，f (a)aea0，函数f (x)的大致图象如图所示，因为f (x)的图象与直线yb有三个交点，所以0b，即(a4)be20.(2)(多选题)(2022江苏南京金陵中学摸底)已知函数f (x)，过点(a，b)作曲线f (x)的切线，下列说法正确的是(ABD)A当a0，b0时，有且仅有一条切线B当a0时，可作

18、三条切线，则0b0时，可作两条切线D当0a2时，可作两条切线，则b的取值为或解析：设切点坐标为(x0，y0)，所以y0，f (x)，则切线的斜率为k，切线方程为y(xx0)对于A，当a0，b0时，(x0)，解得x00，故切点为(0,0)，所以切线方程为yx，所以有且仅有一条切线，故A正确；对于B，当a0时，b(x0)，则b，设g(x)，则g(x)，当x(，0)时，g(x)0，g(x)单调递减，当x(2，)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以x0时，g(x)有极小值，为g(0)0，x2时，g(x)有极大值，为g(2)，x0时，f (x)0，画出g(x)的图象，如图，当a0时，若作三条切线，则y

19、b与g(x)的图象有3个交点，由图可得0b0，如图，所以当a2，b0时，yb与h(x)的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C错误；对于D，当0a2时，由切线方程为y(xx0)得b(ax0)，则b，设t(x)，则t(x)，因为0a0，t(x)单调递增，当x(，a)时，t(x)0，t(x)单调递减，当x(2，)时，t(x)0，x2时，t(x)的极大值为t(2)0，t(x)的图象为若作两条切线，则b的取值为或，故D正确故选ABD课时作业15基础巩固一、单项选择题1(2023四川仁寿铧强中学模拟)已知函数yf (x)在xx0处的导数为2，则 (C)A0B C1D2解析： f (x0)1.故选

20、C2(2023吉林五校高三开学考试)设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行路程l(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为l(t)2t2t，下列说法正确的是(B)A当t3 s时，运动员的滑雪速度为l(3) m/sB当t3 s时，运动员的滑雪速度为l(3) m/sC函数l(t)在0，)上单调递减D函数l(t)在0，)上不是单调函数解析：当t3 s时，运动员的滑雪速度为l(3) m/s，A错，B对；当t0时，l(t)4t0，故函数l(t)在0，)上单调递增，C，D均错故选B3(2023江西丰城高三开学摸底)曲线yx32ln x上任意一点处的切线斜率的最小值为(A)A3B2 CD1解析：由于yx3

21、2ln x，根据导数的几何意义得：kf (x)x2x233(x0)，即切线斜率k3，当且仅当x1时等号成立，所以yx32ln x上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选A4(2023安徽皖南八校高三开学考试)若曲线yln xx2的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能为(C)A3xy10B3xy10C3xy20D3xy1ln 20解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)，yln xx2，y2x，x00，y| xx02x03，所以或所以切点坐标为(1,1)或，所求的切线方程为3xy20或3xyln 20.故选C5已知定义在区间(0，)上的函数f (x)2x2m，g(x)3ln xx，若以上两函数的

22、图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(C)A2 B5C1 D0解析：根据题意，设两曲线yf (x)与yg(x)的公共点为(a，b)，其中a0，由f (x)2x2m，可得f (x)4x，则切线的斜率为kf (a)4a，由g(x)3ln xx，可得g(x)1，则切线的斜率为kg(a)1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以4a1，解得a1或a(舍去)，又由g(1)1，即公共点的坐标为(1，1)，将点(1，1)代入f (x)2x2m，可得m1.故选C6已知曲线f (x)ex在点P(0，f (0)处的切线也是曲线g(x)ln(ax)的一条切线，则a的值为(C)A BCe2 D

23、解析：f (x)ex，f (x)ex，f (0)1，f (0)1，f (x)在点P(0，f (0)处的切线方程为yx1.设yx1与g(x)相切于点(x0，ln(ax0)，则g(x0)1，解得x01，又1，ln a11，解得ae2.故选C二、多项选择题7(2022广东佛山模拟)设函数f (x)xexabx，曲线yf (x)在点(2，f (2)处的切线方程为y(e1)x4，则(ABD)Af (2)2e2Ba2Ca3Df (x)在R上单调递增解析：f (x)exaxexab，kf (2)be2a，又切线方程为y(e1)x4，be2ae1，解得be，a2，f (x)xex2ex，f (2)2e2，f

24、(x)ex2xex2e(1x)ex2e，令g(x)(1x)ex2e，则g(x)(2x)ex2，当x2时，g(x)2时，g(x)0，g(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，g(x)ming(2)e10，即f (x)0，f (x)在R上单调递增综上可知，A，B，D正确，C错误故选ABD8(2023广东东莞高三开学考试)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示现有下列四种说法，其中正确的有(BD)A前四年该产品产量增长速度越来越快B前四年该产品产量增长速度越来越慢C第四年后该产品停止生产D第四年后该产品年产量保持不变解析：设产量与时间的关系为yf (x)，由题图可知

25、f (x)在点(1，f (1)，(2，f (2)，(3，f (3)，(4，f (4)处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f (4)0，故C错误，D正确故选BD9(2022河北保定高三二模)若直线y3xm是曲线yx3(x0)与曲线yx2nx6(x0)的公切线，则(AD)Am2 Bm1Cn6 Dn7解析：设直线y3xm与曲线yx3(x0)相切于点(a，a3)，与曲线yx2nx6(x0)相切于点(b,3bm)，对于函数yx3(x0)，y3x2，则3a23(a0)，解得a1，所以133m，即m2

26、.对于函数yx2nx6(x0)，y2xn，则2bn3(b0)，又b2nb63b2，所以b2b(32b)63b2，又b0，所以b2，n7.故选AD三、填空题10一个质点做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式s3t24t3，则当t1时，该质点的瞬时速度为18 m/s.解析：瞬时速度就是位移对时间的导数，s3t24t3，s6t12t2，当t1时，s18，即该质点的瞬时速度为18 m/s.11已知函数f (x)2xln x，曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为2xy70.解析：由题知，f (x)2，x(0，)，f (1)2，而f (1)5，曲线yf (x)在点

27、(1，f (1)处的切线方程为y52(x1)，即2xy70.12(2022新疆阿勒泰三模)已知函数f (x)2ln xx，直线yx2t是yf (x)的一条切线，则t1；若g(x)x2xa，且yf (x)与yg(x)总存在相同的切线，则实数a的取值范围为1，)解析：由题意可得f (x)1，令f (x)1，x1，故切点为(1，1)，代入切线方程有112t，t1.若g(x)x2xa，且yf (x)与yg(x)总存在相同的切线，设f (x)切点为(x1，f (x1)(x10)，则切线方程为y(xx1)f (x1)x2ln x12，g(x)2x1，设g(x)切点为(x2，g(x2)，切线方程为y(2x2

28、1)(xx2)g(x2)(2x21)xxa，若yf (x)与yg(x)存在相同的切线，则12x21，即x2，且2ln x12xa，ax2ln x1222ln x12(x10)，令h(x)2ln x2，x0，h(x)，当x1时h(x)0，当0x1时h(x)1时h(x)0，h(x)单调递增，当x1时h(x)minh(1)1，且x时，h(x)，a1，即实数a的取值范围为1，)四、解答题13已知函数ye2x4ln(2x5)(1)求该函数的导数；(2)求该函数的图象在x2处的切线的倾斜角解：(1)ye2x4ln(2x5)，ye2x4(2x4)(2x5)e2x422e2x4.(2)由(1)，知ye2x4，

29、y|x2121.所以该函数的图象在x2处的切线的倾斜角为.14已知函数f (x)的导函数为f (x)，且满足f (x)2xf (e)ln x.(1)求f (e)及f (e)的值；(2)求f (x)在xe2处的切线方程解：(1)f (x)2xf (e)ln x，f (x)2f (e)，f (e)2f (e)，f (e)，f (x)ln x，f (e)ln e1.(2)f (x)ln x，f (x)，f (e2)ln e222e，f (e2)，f (x)在xe2处的切线方程为y(22e)(xe2)，即(2e1)xe2ye20.素养提升15已知函数f (x)2x33x，若过点M(1，m1)存在三条直

30、线与曲线yf (x)相切，则m的取值范围为(2,0)解析：f (x)6x23，设过点M(1，m1)的直线与曲线yf (x)相切于点(x,2x33x)，则6x23，化简得4x36x2m2，令g(x)4x36x2，则过点M(1，m1)存在三条直线与曲线yf (x)相切等价于yg(x)与ym2的图象有三个交点g(x)12x(x1)，故当x1时，g(x)0，g(x)单调递增；当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，又g(0)0，g(1)2，g(x)的图象如图，2m20，即m(2,0)16(2023山东青岛高三摸底)已知曲线f (x)x3x2ax1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，

31、则实数a的取值范围为3a0，可得切线斜率k2m22ma3，即2m22ma30，由题意，可得关于m的方程2m22ma30有两个不等的正根，且m1m210，则即 解得3a0，那么函数y f (x)在区间(a，b)上单调递增；如果f (x)0(f (x)k(k0)，构造函数g(x)f (x)kxB(2)对于不等式xf (x)f (x)0，构造函数g(x)xf (x)；对于不等式xf (x)f (x)0，构造函数g(x)(x0)(3)对于不等式xf (x)nf (x)0，构造函数g(x)xnf (x)；对于不等式xf (x)nf (x)0，构造函数g(x)(x0)(4)对于不等式f (x)f (x)0

32、，构造函数g(x)exf (x)；对于不等式f (x)f (x)0，构造函数g(x).(5)对于不等式f (x)sin xf (x)cos x0(或f (x)f (x)tan x0)，构造函数g(x)f (x)sin x；对于不等式f (x)cos xf (x)sin x0(或f (x)f (x)tan x0)，构造函数g(x)f (x)cos x.基础检测1判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”(1)若函数f (x)在(a，b)内单调递减，则一定有f (x)0.()(2)若函数f (x)在某一范围内导数的绝对值越大，那么函数在这个范围内变换得就越快，此时函数的图象就会更“陡

33、峭”(向上或向下)()(3)在(a，b)内，f (x)0且f (x)不恒为零，则f (x)在(a，b)上为增函数()(4)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x(a，b)时，f (x)0)，所以f (x)4，由解得0x，所以函数f (x)4xln x的单调递减区间为.3如图是yf (x)的图象，则函数yf (x)的单调递减区间是(B) A(2,1)B(2,0)，(2，)C(，1)D(，1)，(1，)解析：由图象知，当2x2时，f (x)0且x1，所以函数f (x)的定义域为(0,1)(1，)，所以A不正确当x(0,1)时，ln x0，所以f (x)0，所以函数g(x)单调递增，

34、g(1)10 ，故存在x01，使得g(x0)0，则函数f (x)0只有一个根x0，当x(0,1)和x(1，x0)时，f (x)0，函数f (x)单调递增，所以函数有三个单调区间，所以C正确，D不正确故选BC考点1 利用导数研究函数的单调性命题角度1具体函数的单调区间【例1】(1)函数f (x)x2ln x的单调递增区间为.解析：函数f (x)的定义域为(0，)，f (x)2xln xx22xln xxx(2ln x1)，令f (x)0，得2ln x10，解得x，故函数f (x)x2ln x的单调递增区间为.(2)若函数f (x)，则函数f (x)的单调递减区间为(1，)解析：f (x)的定义域为(0，)，f (x)，令(x)ln x1(x0)，(x)0，当x(1，)时，(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f (x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间注意函数间断点【对点训练1】已知定义在区间(，)上的函数f (x)xsin xcos x，则f (x)的单调递增区间是和.解析：f (x)sin xxcos xsin xxcos x令f