2023年二次函数与一元二次方程.pdf

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1、 1/4 二次函数与一元二次方程 【教学目标】1知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。2过程与方法：逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与 x 轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。3情感态度：培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。【教学重点】探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与 x 轴交点情况。【教学难点】函数方程x 轴交点，三者之间的关系的理解与运用。【教学过程】一、问题导入。如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出

2、时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系。考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到 15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？2205htt 2/4 二、探索新知。1从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：函数，当函数值 y 为某一确定值 m 时，对应自变量 x 的值就是方程的根。特别是 y=0 时，对应的自变量 x 的值就是方程的根。以上关系，反过来也成

3、立。利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当 y 为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量 x 值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。2二次函数的图象与 x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系。观察图中的抛物线与 x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程的根是，。方程的根是。方程无实数根。3归纳总结。一般地，从二次函数的图象可得如下结论：如果抛物线与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是 0，因此是方程的一个根。二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有

4、两个相等的实数根，有两个不等的实数根。三、掌握新知。例：利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）。2yaxbxc2axbxcm 20axbxc 220 xx 12x 2 1x 2690 xx 123xx 210 xx 2yaxbxc2yaxbxc0 x0 xx0 xx20axbxc 2yaxbxc20axbxc 2220 xx 3/4 解：画出二次函数的图象（如图），它与 x 轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7。所以方程的实数根为，。我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。观察函数的图象，可以发现，当自变量为 2 时的函数值小于 0（点（2，-2）在 x 轴的下

5、方），当自变量为 3 时的函数值大于 0（点（3，1）在 x 轴的上方）。因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过 x 轴，也就是说，当自变量取 2，3 之间的某个值时，函数值为 0，即方程在 2，3 之间有根。我们可以通过去平均数的方法不断缩小根所在的范围。例如，取 2，3 的平均数 25，用计算器算得自变量为 2.5 时的函数值为-0.75，与自变量为 3 时的函数值异号，所以这个根在 2.5，3 之间。再取 2.5，3 的平均数 2.75，用计算器算得自变量为 2.75 时的函数值为0.0625，与自变量为 2.5 时的函数值异号，所以这个根在 2.5，2.75 之间。重复

6、上述步骤，我们逐步得到：这个根在 2.625，2.75 之间，在 2.6875，2.75 之间可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值。例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于，我们可以将 2.6875 作为根的近似值。四、巩固练习。画出函数的图象，利用图象回答下列问题：（1）方程的解是什么？（2）x 取什么值时，函数值大于 0？222yxx2220 xx 10.7x 22.7x 222yxx222yxx222yxx23x 2220 xx 2.68752.750.06250.12246yxx 22460 xx 4/4（3）x 取什么值时，函数值小于 0？答案：图象如图所示：（1），。（2）当时函数值大于 0。（3）当或时函数值小于 0。五、归纳小结。1抛物线与一元二次方程有何关联？你能不画出抛物线而了解此抛物线与 x 轴的交点情况吗？你是怎样做的？2你能引用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？11x 23x 13x 1x 3x 2yaxbxc20axbxc 2yaxbxc