大学文科数学及试题答案.pdf

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1、东莞理工学院（本科）清考试卷参考答案20102011学年第 二 学期 大学文科数学 清考试卷参考答案开课单位：数学教研室考试形式：闭、开卷，允许带入场题序题序得分得分评卷人评卷人一二总 分一、选择填空题（共 70分每空 2分）1、设函数f(x)=4-x2+ln(x-1)，则函数f(x)的定义域为（的定义域为（C）A)(1,2),B)1,2,C)(1,2,D)1,2).=2、设f(x)=x,j(x)=cos x，则lim fj(x)(Bp2x 2)A)cosp242,B)0,C)1,D)1.2=3、设f(x)=x,j(x)=sin x,jf(x)(C)A)sin2x,B)2sin x,C)2xc

2、os x2,D)cosx2.4、极限limx1x2-1=(3x+3x-4B)A)11,B),C)0,D)1.2335.极限lim 3x3-x+1=(Bx2x+x-1A)1,B).32,C)0,D).23大学文科数学试卷大学文科数学试卷第1 页共 32 页6.下列命题中正确的是(A)11A)limxxsinx=1,B)limx0 xsinx=1,1sinxC)lim xsin=0,D)lim=0.xx0 xx=+1x，则lim f(x)=(B7、若函数f(x)1)x+x1A)1,B)e,C)e,D)0.=+1x，则lim f(x)=(A)8、若函数f(x)1x0+xA)1,B)e,C)3x0f(

3、x)=2，则9、设f(x)=x+ax+b，且f(1)=3，lim1,D)0.e(D)A)a=2,b=0,B)a=-2,b=1,C)a=2,b=-1,D)a=0,b=2.10、设f(x)=1-x，则f(0)=(1+x2A)A)-2,B)-1,C)0,D)2.11、曲线y=-x+1单调上升区间为(A)A)(-,0,B)(-,1,C)0,+),D)1,+).212、曲线y=x在点(1,1)的切线方程为的切线方程为(C)A)y-1=-(x-1),B)y11-=(x-1),2C)y-1=2(x-1),D)y-1=x-1.13、若f(x)=x+5x-1，则f5(5)(x)=(D)A)0,B)12,C)24

4、,D)120.14、当x=(3B)时，函数f(x)=x-3x+2取得极大值，该极大值等于 4；A)1,B)-1,C)0,D)3.大学文科数学试卷大学文科数学试卷第2 页共 32 页15.当x=1时，函数f(x)=x-3x+1取得极小值，该极小值等于(B).3A)0,B)-1,C)-2,D)-3.16、设函数f(x)=sin x,x 0,p3x2,x 0.则f(x)dx=(C)0A)0,B)1,C)2,D)3.017、设函数f(x)=sinx2x,0,则fC3x,x 0.-1(x)dx=()A)-1,B)0,C)1,D)-2.18、设函数f(x)=sin x,x 0,p则D2x,x 0.f(x)

5、dx=()-1A)0,B)1,C)2,D)3.319、积分11x2dx=(B)0+A)p2,B)ppp3,C)4,D)6.20.p积分(2x-cos x)dx=(A)0222A)p,B)p-1,C)p-2,D)p21、积分xcos xdx=(C)0A)0,B)-1,C)-2,D)-3.1x22、积分e2+1dx=(C)02(e3A)e-1),B)e,C)1e(e2-1),D)1e3.22123、若kexdx=1，则数k=(B)0A)1,B)1e-1,C)11e,D)e+1.大学文科数学试卷大学文科数学试卷第3 页共 32 页2p.24.曲线y=x,y=x围成的平面图形的面积的(C)A)1,B)

6、1,C)1,D)1.22361210-11-10=-AB011，则AB=25、设矩阵=011，-001000-1-2011-1-1,B)011,A)0100000210-C)11 0-11026.设矩阵A=10000,D)110.0-21-21-100-1TT=-BB0111 1，则A=，-001000AC1-101-1-201-101-1A),B),0000021-C)101000.10110,D)-102210-112=-11，当l=(27、设矩阵A 000l121=021，则r(A)=(28.设矩阵A021D)时，A=2；A)-2,B)-1,C)1,D)2.)A)0,B)1,C)2,D)

7、3.大学文科数学试卷大学文科数学试卷第4 页共 32 页29.设A为三阶方阵,且A=3,则-2A=(D)A)-6,B)6,C)24,D)-24.x101-10=-x2，b=0.则当l(1，x=30.设矩阵A0l 002x31C)时，线性方程组Ax=b有唯一解A)-2,B)-1,C)0,D)1.D)是线性方程组Ax=b的解31、设向量x1,x2是线性方程组Ax=b的两个解，则(A)x1+x2,B)x1-x2,C)2x1+x2,D)2x1-x2.32、设向量x1,x2是线性方程组Ax=b的两个解，则(A)是线性方程组Ax=0的解A)x1-x2,B)x1+x2,C)2x1+x2,D)2x1-x2.1

8、10=-1 33、设矩阵A0l1-，当l(010D可逆；)时，矩阵A可逆；A)-2,B)-1,C)0,D)1.112-,M=A34、设矩阵M=37.7-27-3,B)A)-31-21C)7-3,D)12.213-71001-35.设矩阵M=020,则M=(B).003300100,0A)020,B)01/2001001/3大学文科数学试卷大学文科数学试卷第5 页共 32 页-0010010.C)0-20,D)0-1/2-301/3000二、填空题（共 30分每空 3分）1.设函数f(x)=arctan2.2.若函数y=5x=5e3.3.若函数f(x)=ex+1x1，则函数f(x)的定义域为(x

9、R-2)2+xxlnx，则y=5x(1+ln x)(n)(x)，则f(x)=(e+x 1)1 cosx1-()4.极限lim=2x0 x2x+sin x+x5.极限xlim=(1)+1ln x=1+26.不定积分xdx2(1 ln x)C7.定积分1-12xdx=(2)111100A=A100=8.设矩阵,则01011239.行列式231=(321-12)xxxx1-11+32-23=0,=的通解为x2c 1 10.齐次线性方程组xxx2-3=0.31大学文科数学试卷大学文科数学试卷第6 页共 32 页南京晓庄学院大学文科数学课程考试试卷2010 2010 2011 学年度第 2011 学年度

10、第学年度第一 学期学期院（系）院（系）级 共共页教研室主任审核签名：教研室主任审核签名：院（系）领导审核签名：院（系）领导审核签名：院（系）领导审核签名：命题教师：命题教师：数信院公共教研室数信院公共教研室 校对人：校对人：校对人：班级姓名学号得分序号得分阅卷人复核人一二三四总分一、选择题（每小题3 分，共 15 分）1.下列函数为初等函数的是(B )下列函数为初等函数的是(B )(A).sinx-2(B).y=2-cosxx2-11+xx1(C).y=x0-1x1 (D).y=x=2.当x0 时，与sinx等价的无穷小是(A )等价的无穷小是(A )x 0 x 0(A)x+x (B)xsin

11、 x (C)3tan x (D)2x2f(0)-f(-x)x03 设f(0)存在，则lim(D )x(A)-f(0)(B)-2f(0)(C)2f(0)(D)f(0)4.物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（D物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（D ）D）(A)函数值(A)函数值 (B)函数值 (B)极限 (B)极限 (C)极限 (C)积分 (C)积分 (D)积分 (D)导数 (D)导数导数5.若f(x)的导函数是sin x，则f(x)有一个原函数为（C有一个原函数为（C ）C）(A)1+cosx(B)x+sinx (C)x-sin x (D)1-cosx二、填空题（每小题

12、3 分，共 15 分）1.设函数cosx,x 0且2x-1 0,所以函数f(x)=ln(2x-1)+2.设y=ln(2-x)，求其反函数，求其反函数19-x2的定义域：1x 32yyx解：由e=2-x得x=2+e所以函数y=ln(2-x)的反函数是：y=2+e，x(-,+)x(ex-1)3.求极限limx0sin2xx(ex-1)limxlimex-11 limex1解：lim=x0sin2xx0sin xx0 x01x4.求极限limtan x-xx0 x3tan x-x=解：解：sec2x-1limx0limx0 x323x=1-cos2xx022x0sin2x21=32lim3x cos

13、 x=lim 3x5.已知y=ln(x+1)-ln x，求dy解：因为yx2-12x1dx=2-所以dy=2x xx+1x(+1)6 求y=e2xcosx的微分yyxx2x解：=2ecos x-esin x=e(2cos x-sin x)-1x7.求不定积分x2dx22大学文科数学试卷大学文科数学试卷第8 页共 32 页-=1x11dx解：=x2x2xdxe8.求定积分x2ln xdx1e1xx=dd-ln x+Cx2xx11解：1e3-x1=1(2e3+1)x2ln xdx=x3lnx9193四、综合应用题（每小题10 分，共 30 分）1.证明方程x2-1=0至少有一个小于 1 的正实数根

14、.的正实数根.x解：令f(x)=x2-1，f(0)=-1 0,f(x)闭区间0,1上连续，上连续，x由根的存在性定理，有x(0,1)，使得f(x)=0,即,即x2-1=0至少有一个小于 1 的正实数根正实数根2.欲做一个体积为 72 立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做法所用的材料最省？解：设底面长方形的两边的边长为x厘米，2x厘米，则高为表面积S=(x.2x).2+(x.求导求导,x7236厘米=2厘米x.2xx36362162xx).2(2.).24+=+xx2x2216S=8x-x2=0所以在区间(0,+)上只有唯一的驻点x=3又因为在实际问题中存在最值，所以驻点

15、x=3就是所求的最值点。即当底面边长为 3 厘米，6米，6 厘米，高为 4 厘米时所用的材料最省。13.求由曲线y=xyxy1解：由曲线=与直线=4得到交点(1,2)x221所以所围成的平面图形的面积.S=所以所围成的平面图形的面积.S=1(4x-)dx2x21x2x215ln4即.S=1(4x-)dx=(2-ln)1=-22x2与直线y=4x及x=2所围成的平面图形的面积.所围成的平面图形的面积.大学文科数学试卷大学文科数学试卷第9 页共 32 页一、填空题 A（共 70 分每空 2 分）1、设函数 f(x)=1x 大学文科数学 模拟卷一解答1(=2（(0,+)），f)+x则函数f(x)的定

16、义域为.)2、函数y=2x-1可看成由y=(u),u=(2x-1)复合而成.x-1)=(3、lim(x0-1x2-9l i m()，=x3x-312).6)，232limx-x+=(x2x2+14、y=x-1x+1，当(x-1)时为无穷大量，当(x1)时为无穷小量时为无穷小量e=+1x，则lim f(x)=(5、若函数f(x)1x+x)，).若函数g(x)=xsin1,则lim g(x)=(x0 x0 x0fx=1，6、设f(x)=x2+ax+b，且f(1)=1，lim()则a=(-1),b=(1).),f(1)=(1).7、设f(x)=ln x，则f(x)=(21x8、曲线y=x单调增加区间

17、为（，其在点(1,1)处的切线方程单调增加区间为（0,+)）为（2x-y-1=0）.9、若f(x)=-x3+2x-1，则f(0)=(2),f(0)=(0).10、若y=e+x+ln5，则y=(xe+x12 x3)，dy=(e+x12 x)dx).11、当x=(-12)时，函数).f(x)=x-3x取得极大值，该极大值为(12、xdx=(23x+C32)，exdx=(ex+C).大学文科数学试卷大学文科数学试卷第10 页共 32 页13、x dx=(033114)，p0(s ixn+xsd=xc o)(0).14、画出由y=x，y=8与y轴所围成的平面图形（）它的面积是（12）.1-101-13

18、=-1 011，则15、设矩阵A=01-，B100002A-B=(00-3 200-300)，BA=(1-2-4 201-200).100=-，3A=（-162）.16、已知A130，则A=（-6）1321-101021010，R(A)=（3）B=，则；若矩阵17、若矩阵A=-0002020000则B-1=(10012).二、填空题 B（共 30分每空 3 分）e,x 0，则lim f(x)=（1）.1、设f(x)=x0 x+1,x 0+-2x112、lim1=(2).xexx3、limx x01cosx-1=().-x224、函数f(x)=x2-2x-2在区间-2,2上的最小值为（上的最小值

19、为（-3）大学文科数学试卷大学文科数学试卷第11 页共 32 页5、设函数y=x e，则y=（=6、积分xe dx01x22xx(2x+x)e2）.1-(e 1)21.17、设函数f(x)=x则f(x)dx=(-1).254-62-238、已知13X=21，则X=（08）.x-x+x-x=112349、设x1-x2-x3+x4=0，则方程组（填无解、，则方程组（有无穷多解有无穷多解）x-x-2x+2x=-112342有惟一解、有无穷多解三者之一），有解时方程组的全部解为，有解时方程组的全部解为=+1c1x12x=c21其中c1,c2为任意实数.,其中cx3=1+c2=2x4c2大学文科数学试卷

20、大学文科数学试卷第12 页共 32 页深圳大学期末考试试卷开/闭卷闭卷A/B 卷A 卷课程编号23190009课程名称大学文科数学学分3命题人(签字)审题人(签字)年月日题号题号得分得分评卷人评卷人一二三四五六七八九十基本题总分总分附加题附加题一填空（每小题 3 分，共 30 分）分）1y=2-3x+x25的导数为：的导数为：。5xy的导数为：。2=2 cosx的导数为：xy2=-x+x3的导数为的导数为。45(2-x2+sin x)dx。61ln xdx。xye，求dy。6设=2xlim(-1)。7x18lim(1-1)。nn29sin 2xdx。10 x x+1。pxdy二设曲线y=2x+

21、sin x，求以及该曲线在=处的切线方程。(10310分)大学文科数学试卷大学文科数学试卷第13 页共 32 页三讨论函数y=x3-x的单调区间、极值。的单调区间、极值。(10 分)四计算下列积分：(一共 30 分，每小题 5 分)1.(3-x)dx2.7213x-2+1602dxln ln x3.xdx4.(x5.ln ln xdx6.(xx60-1)dx-1)dx2五试计算38.01的近似值。(10 分)六试求曲线y=x与y=8-x所围成的平面图形的面积。(10 分)大学文科数学试卷大学文科数学试卷第14 页共 32 页22微积分（1）练习题一单项选择题一单项选择题1设f(x0)存在，则下

22、列等式成立的有（存在，则下列等式成立的有（）Alimf(x0-Dx)-f(x0)f(x0-Dx)-f(x0)()f(x0)=fx0Blim=-Dx0DxDx0Dxf(x1Clim0+2h)-f(x0)f(x0+2h)-f(xhh=f(x)Dlim0)=f(x)000h0h22下列极限不存在的有（下列极限不存在的有（）Alimx0 xsin1xBx2-2x2xlim+x+113ClimexDlim(x2-1)3x0 x2x6+x3设f(x)的一个原函数是e-2x，则f(x)=（）-A-2e-2xBe-2xC4e-2xD-2xe2x2 x,0 x1A跳跃间断点；跳跃间断点；B无穷间断点；无穷间断点

23、；C可去间断点；可去间断点；D振荡间断点振荡间断点5 设函数f(x)在a,b上有定义，在(a,b)内可导，则下列结论成立的有（内可导，则下列结论成立的有（）A 当f(a)f(b)0时，至少存在一点x(a,b)，使f(x)=0；B对任何x(a,b)，有limxxf(x)-f(x)=0；C当f(a)=f(b)时，至少存在一点x(a,b)，使f(x)=0；D至少存在一点x(a,b)，使f(b)-f(a)=f(x)(b-a)；6 已知f(x)的导数在x=a处连续，若limf x=-1x-a，则下列结论成立的有（则下列结论成立的有（axAx=a是f(x)的极小值点；的极小值点；Bx=a是f(x)的极大值

24、点；的极大值点；大学文科数学试卷大学文科数学试卷第15 页共 32 页）C(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点；的拐点；Dx=a不是f(x)的极值点，(a,f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点；的拐点；二填空：二填空：1设y=farcsin，f可微，则y(x)=x5212若y=3x-2x+x-3，则2xy()6=3过原点(0,1)作曲线y=e的切线，则切线方程为的切线，则切线方程为4(x+1)4曲线 y=的水平渐近线方程为-2的水平渐近线方程为x2铅垂渐近线方程为铅垂渐近线方程为5设f(ln x)=1+x，则f(x)=f(x)=三计算题：三计算题：x+3x-2x2-1（1）lim2lim2（

25、）xx1x+2x-3xln(1+x2)2x0 xsin3x（4）y=ln(1-2x)求dy（3）lim（5）exy3+y-5x=0求dydxx=0b(1+sin x)+a+2,x 0 xbaf x使函数()=四试确定，在=0处连续且可导。axex1,0-1时，ex e a)，其中f(x)在a,+)上连续，f(x)在(a,+)内a存在且大于零，求证F(x)在(a,+)内单调递增。内单调递增。大学文科数学试卷大学文科数学试卷第16 页共 32 页微积分练习题参考答案七单项选择题七单项选择题1（B）2（C）3（A）4（C）5（B）6（B）八填空：（每小题 3 分，共 15 分）分）1-arcsin1

26、f 2xxx-1612y()=03y=2x+14y=-2，x=0 xx5f(x)=1+e，f(x)=x+e+cx+3x-2x2-1（1）lim2三,计算题：（2）limxx1xxx+2-3x2-1lim2x1x+2x-3x2+-(x 3)2-22xx=lim(1-)=limxx1x2x+612x+2lim-2xx=e=e-22ln(1+x2)（3）lim（4）y=ln(1-2x)求dyx0 xsin3xx-2limxxx+3limln(1+x2)xsin3x1-2x24ln(1-2x)x1dx=-=lim=x0 x 3xx1-23x0dy=2ln(1-2x)1(-2)dx（5）exyxy3+y

27、-5x=0求2dydxx=0ey=+3yxy(y+xy5)-ye3y2+xey-5=0 xy又x=0y=-1大学文科数学试卷大学文科数学试卷第17 页共 32 页yx=0=（5-ye2xyxyx=0y=-1=23y+xeb，使函数f(x)=九试确定a，（8 分）分）b(1+sin x)+a+2,x 0 x在=0处连续且可导。axex-1,1时，ex e tx12(xex分）+e（8 分）)证：（法一）设f(t)=et1,x则由拉格朗日中值定理有则由拉格朗日中值定理有e(x-1)ex-e=ex(x-1)ex(x-1)x(1,x)x1整理得：ex e 0时，为增函数，(x1)故f(x)=ex-ex

28、在x1时，为增函数，f(x)=ex-exf(1)=0，即exex1xx设f(x)=e-xe+ef(x)=exxx()12()1(1)0(x1)故f(x)=e-e+xe=e-x1时，为减函数，时，为减函数，1xx110 xxx()()f x=e-e+xef=，即e xe+e22()()大学文科数学试卷大学文科数学试卷第18 页共 32 页1xee综上，综上，ex e a)，其中f(x)在a,+)上连续，f(x)在(a,+)内a存在且大于零，求证F(x)在(a,+)内单调递增。内单调递增。（5 分）分）-f(x)(xa)(f(x)f(a)证：F(x)=2xa(-)f(x)(x-a)-f(x)(x-

29、a)ax 0(xh 0)二、填空题（每题 2 分）分）1、y=11+x2的反函数为_(n)1x-il()f x 的间断点为_f x)m，则，则2、设（=xnx2+1x+bx+a5已知常数 a、a、b,lim3、已知常数 a=，则此函数的最大值为 _x11-x4、已知直线已知直线y=6x-k是y=3x的切线，则的切线，则k=_11）的法线方程是_5、求曲线求曲线xln y+y-2x=1，在点（，22三、判断题（每题 2 分）分）x2是有界函数()1、函数y=1+x2大学文科数学试卷大学文科数学试卷第20 页共 32 页2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件()3、若limb=，就说b是比a低阶的

30、无穷小()a4、可导函数的极值点未必是它的驻点()5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点()四、计算题（每题 6 分）分）1、求函数求函数y=xsin1x的导数1()arctanx-ln(1+x2），求dy2、已知f x=x23、已知x-2xy+y=6，确定y是x的函数，求ytan x-sin x4、求lim2x0 xsin xdx35、计算xx（1+)x)6、计算 lim(cos+x02五、应用题五、应用题1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（x)=100 x-x，总成本函数为1x223C(x)=200+50 x+x，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利2润最大的情况下，总

31、税额最大？（8 分）分）12、描绘函数 y=x2+的图形（12 分）分）x六、证明题（每题 6 分）分）1f()=A1、用极限的定义证明：设 lim f(x)=A,则limx+x0+x2、证明方程xe=1在区间（0,1）内有且仅有一个实数一、一、选择题选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B二、填空题二、填空题1、x=02、a=6,b=-73、18 4、35、x+y-2=0三、判断题三、判断题大学文科数学试卷大学文科数学试卷第21 页共 32 页x1、2、3、4、5、四、计算题四、计算题1、1xy=（x（e=sin)sinln xx11-+ex1 sin 1cos()ln112xxxx111

32、11sinx=x(-2cosln x+sin)xxxxsin x ln x2、dy=f(x)dx=(arctanx+x=arctan xdx3、解：解：11+x2-12x21+x2)dx2x-2y-2xy+3y2y=02x-3yy=2x-3y22)yxy(23)(23-(2x2-2y)(2-6yy)y=(2x-3y2)4、解：解：x2当x 0时，x tan x sin x,1-cosx 2121tan(1-cos)xxxxlim23=2原式=lim原式=x0 x0 xsin xx25、大学文科数学试卷大学文科数学试卷第22 页共 32 页解：解：令 t=66x,x=tdx=6t5原式=（1+t

33、2)t3t2=61+t22t11=6+-1+t21)=6(1-1+t2=6t-6 arctan t+C=66x-6 arctan6、解：解：16x+C原式=lime+x 01x2x2ln cosx=ex 0+limln cosx其中：1lim2ln cosxx 0+xln cosx=limx 0+x21(-sinx)lim=x 0+cosx2 x-tanx1=lim=-x 0+2 x2 原式=e五、应用题五、应用题-121、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为L(x)大学文科数学试卷大学文科数学试卷第23 页共 32 页L(x)=R(x)-C(x)-ax22=100 x-x-(200+50

34、x+x)-ax=-2x2+(50-a)x-200L(x)=-4x+50-a50a-,()0,令Lx=得x=此时L(x)取得最大值4a(50-a)ax税收T=税收T=4T=1(50-2a)4令T=0得a=25T=-2、解：解：12时，T取得最大值当a=25时，T 0,$M 0当xM时，有 f(x)-Ae111取x=，则当0 xM 0，则当0MMxxf(1)-Aex1即lim f()=Axx2、证明：证明：大学文科数学试卷大学文科数学试卷第25 页共 32 页令f(x)=xe-1 f(x)在（0,1）上连续f(0)=-1 0由零点定理：至少存在一个x（0,1），使得f(x)=0,即xex=1x又f

35、(x)=(x+1)e 0,x(0,1)则f(x)在0,1上单调递增方程xex-1在（0,1）内有且仅有一个实根大学文科数学试卷大学文科数学试卷第26 页共 32 页x高等数学微积分公式大全一、基本导数公式mxm1=x(c)0=m-(sin x)=cosx(cosx)=-sin x(tan x)=sec x(cot x)=-csc x(secx)=secxtan x(cscx)=-cscxcot xex=ex22()()ax=axlna(ln x)1=xxloga=)111(arcsin x)=(arccosx)=-22xlna1-x1-x(arctan x)=11xarccot=-()221+

36、x1+x(x)=1()1x=2 x二、导数的四则运算法则-uu vuvuvuvuvu vuv=+()()2vv三、高阶导数的运算法则u x v x(n)=u x(n)v x(n)cu x(n)=cu(n)x（1）()()()()（2）()()u ax+b(n)=anu(n)ax+b(n)=nk(n-k)（3）()()（4）u(x)v(x)cnu(x)v(k)(x)k=0四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）x()n(n)=n!（2）(eax+b)(n)=a enax+b(3)a()x(n)xn=a ln a(4)ax+b+npax+b=annsinsin()()2(5)+p+(n)=ncos(

37、axb)a cosaxbn2(6)1(n)=(-1)nann!n+1(ax+b)+(n)=-n-1an(n-1)!(1)nln(axb)(ax+b)五、微分公式与微分运算法则d(c)=0d xm=mxm-dxd(sin x)=cos xdx1 ax+b(7)()大学文科数学试卷大学文科数学试卷第27 页共 32 页d(cos x)=-sin xdxd(tan x)=sec xdxd(cot x)=-csc xdx22x)=secxtan xdxd(csc x)=-csc xcot xdxd(secxx()d e=e dxd(axx)=axlnadxd(ln x)=1xdxd logax=()1

38、11dxd(arccos x)=-dxdxd(arcsin x)=22xlna1-x1-xd(arctanx)=1dxdarccotx=-1dx()1+x21+x2六、微分运算法则d(u v)=du dvd(cu)=cdu-uvduudvd(uv)=vdu+udvd=2vv七、基本积分公式xm+1+dx=ckdx=kx+cx dx=ln x+cxm+1maxxxe dxeca dx=+ccos xdx=sin x+c+lnax12dxsec=2cos xxdx=tan x+c112xdxxccsccot=-+sin2x1+x2dx=arctan x+csin xdx=-cos x+c11-x2

39、dx=arcsin x+c八、补充积分公式tan xdx=-ln cos x+ccot xdx=ln sin x+csec xdx=ln sec x+tan x+ccsc xdx=ln csc x-cot x+c122dx=1aarctanxa+c122dx=12aln-xax+a+ca+x1a2-x2x-adx=arcsinx1dx=ln x+x2a2+c+c2ax a2换元公式换元公式大学文科数学试卷大学文科数学试卷第28 页共 32 页九、下列常用凑微分公式积分型积分型f(ax+b)dx=f(xm)xm-1dx=11a1f(ax+b)d(ax+b)f(xm)d(xm)u=ax+bmu=x

40、mu=ln xxln x)dx=f(ln x)d(ln x)ff(x(e)e dx=f(e)d(e)xxxxf a()xa dxx=1f a d a()(lnaxxu=ex)u=au=sin xf(sinx)cosxdx=f(sinx)d(sinx)f(cosx)sinxdx=-f(cosx)d(cosx)f(tanx)secxdx=2u=cosxf(tanx)d(tanx)u=tanxu=cotxf(cotx)csc2xdx=f(cotx)d(cotx)1dx=f(arctanx)d(arctanx)f(arctanx)f(arcsin x)1+x211-xu=arctanxu=arcsin

41、x2dx=f(arcsin x)d(arcsin x)十、分部积分法公式naxnax形如x e dx，令u=x，dv=e dxnn形如x sin xdx令u=x，dv=sinxdx形如xncos xdx令u=xn，dv=cosxdxnn形如x arctan xdx，令u=arctanx，dv=x dxnn形如x ln xdx，令u=lnx，dv=x dxax形如esin xdx，ecos xdx令u=e,sin x,cos x均可。均可。axax十一、第二换元积分法中的三角换元公式222222(1)a-xx=as i nt(2)a+xx=at a nt(3)x-ax=asect【特殊角的三角函

42、数值】大学文科数学试卷大学文科数学试卷第29 页共 32 页（1）sin0=0（2）sinp6=12（3）sinp3=32（4）sinp2=1）（5）sinp=0（1）cos0=1（2）cosp6=3p1（4）cosp0cos=cosp=-1（3）（5）=）2322（1）tan0=0（2）tanp=3（3）ptanp=3tanp=0（5）不存在tan不存在（4）63323（4）cotp0=（5）cotp不存32（1）cot0不存在不存在（2）cotp=3（3）cotp=63在十二、重要公式（1）limx0sinxxna(a o)=1=1（2）lim(1+x)=e（3）limn1xx0（5）li

43、marctan=（6）limtan（4）limnn=1xarcx=-ppnxx-22x（7）limarccot x=0（8）lim arccot x=p（9）lim e=0 xx-x-xxx（10）lim e=（11）lim=1+x+x0 xa00nn-1a0 x+a1x+anb（12）lim=0 xb xm+b xm-1+bm01n=mn m十三、下列常用等价无穷小关系（x 0）1 xarctanx x1-c ox s 2x2sin x xtan x xa r c s ixnln(1+x)xe-1 xa-1 xl na(1+x)-1xxx十四、三角函数公式1.两角和公式sin(A+B)=si

44、n AcosB+cos Asin Bs i nA(-B=)cos(A+B)=cos AcosB-sin Asin Bc o sA(-B=)s iA nc o AscB o-scB o+sc Ao s BsA s i n Bstan A+tan Btan A-tan Btan(A-B)=1-tan Atan B1+tan Atan Bcot Acot B-1cot Acot B+1cot(A+B)=cot(A-B)=cot B+cot Acot B-cot Atan(A+B)=大学文科数学试卷大学文科数学试卷第30 页共 32 页2.二倍角公式sin2A=2sin Acos Acos2A=cos

45、 A-sin A=1-2sin A=2cos A-12222tan2A=A2tan A1-tan2A3.半角公式AAA-+1cos1cossin=cos=2222A=1-cos A=sin AA=1+cos A=sin AtancotAA21+cos1+cos21-cos A1-cos A4.和差化积公式+b-b+b-baaaasinsin2cossincossina+sinb=2sina-b=22222sinsincosa+cosb=2cosa+bcosa-bcosacosba+ba-b-=-2222tana+tanb=asin(a+b)cosacosb5.积化和差公式b=-1a+b-a-b

46、ab=1a+b+a-bsinsin)cos()cos cos)cos()cos(cos(1ab=12a+b+a-bab=2a+b-a-bs i nc o ss i ns i nc o ss i ns i ns i n()()()()226.万能公式aaa2 t a n1-tan22cosa=2t a n2a=sina=aaa1+tan21+tan21-t a2n2222tan7.平方关系sin x+cos x=1sec x-tan x=1csc x-cot x=18.倒数关系222222tan xcot x=1secxcosx=1cscxsin x=19.商数关系sin xcosxtan x=cosxcot x=sin x十五、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程：dy=f(x)g(y)，f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0dxy=f2.齐次微分方程：dxx大学文科数学试卷大学文科数学试卷第31 页共 32 页dy3.一阶线性非齐次微分方程：dydx()()p x dx-p x dx()=+()解为：+p x y=Q x解为：yeQ(x)e大学文科数学试卷大学文科数学试卷dxc第32 页共 32 页