等差数列等比数列同步练习题.pdf

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1、一、等差数列选择题一、等差数列选择题21已知等差数列an中，前n项和Sn n 15n，则使Sn有最小值的n是（）A7B8C7 或 8D92等差数列an中，a2 2，公差d 2，则S10=（）A200B100C90D803设Sn是等差数列an的前n项和.若a1a4a7 6，则S7（）A10B8C12D144等差数列an的公差为 2，若a2,a4,a8成等比数列，则S9（）A72B90C36S2D4510，则a3a4（）5设等差数列an的前n项和为Sn，公差d 1，且S6A26定义B3C4D5np1 p2 pn为n个正数p1,p2,pn的“均倒数”，若已知数列an的前1（）b9b10Dn项的“均倒

2、数”为A11a1，又bnn，则bbb b22n1 22 3B8171021C11239197已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a4 a5 4，则S8（）A16C4B-16D-48为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15 天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这 15 天小李同学总共跑的路程为（）A34000米B36000米C38000米D40000米9数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为 30，若它的末项比首项大A821，则该数列的项数是

3、（）2B4C12D1610已知等差数列an前n项和为Sn，且a3a5 2a10 4，则S13的值为（）A8B13C26D16211已知等差数列an，且3a3a52a7a10a13 48，则数列an的前 13 项之和为（）A24B39C104D5212张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485 年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布 4 尺，20 日共织布 232 尺，则该女子织布每日增加（）尺A47B1629C815D4513张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，

4、每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）A1尺布2B5尺布18C16尺布31D16尺布2914设等差数列an的前n项和为Sn，且2a7a11 4，则S5（）A15B20C25D3015在等差数列an中，a1 0，3a8 5a13，则Sn中最大的是（）AS21BS20CS19DS1816已知等差数列an的公差d为正数，a11,2anan11 tn1an,t为常数，则an（）A2n1B4n3C5n4Dn17“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874

5、年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3 除余 2 且被 7 除余 2 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则a5（）A103B107C109D1052218已知递减的等差数列an满足a1 a9，则数列an的前 n 项和取最大值时 n=（）A4 或 5B5 或 6C4D519已知数列xn满足 x11，x2A(1122(n2)，则 xn等于（），且xn1xn1xn3CD2n120在等差数列an中，a3+a74，则必有（）2n1)3B(

6、2n)3n12Aa54Ba64Ca52Da62二、多选题二、多选题21已知数列an是等差数列，前 n 项和为Sn,且2a12a3 S5,下列结论中正确的是（）AS7最小BS13 0CS4 S9Da7 022已知等差数列an的公差d 0，前n项和为Sn，若S6 S12，则下列结论中正确的有（）Aa1:d 17:2C当d 0时，a6 a14 022BS18 0D当d 0时，a6 a1423(多选)在数列an中，若anan1 p(n 2,nN,p为常数)，则称an为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A若an是等差数列，则an是等方差数列B1是等方差数列nC2 是等方差数列.nD若

7、an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列*24设数列an的前n项和为Sn(n N)，关于数列an，下列四个命题中正确的是（）A若an1 an(nN*)，则an既是等差数列又是等比数列2B若Sn An Bn(A，B为常数，nN*)，则an是等差数列C若Sn11，则an是等比数列*D若an是等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)也成等差数列25题目文n件丢失！26黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工在一个黄金矩形（宽长比约等于 0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连

8、接，就可得到一条“黄金螺旋线”达芬奇的蒙娜丽莎，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(nN*)，数列an满足 a1a21，anan1an2(n3)再将扇形面积设为 bn(nN*)，则（）A4(b2020b2019)a2018a2021Ca12a22a32(a2020)22a2019a202127已知数列an中，a11，an1Ba1a2a3a2019a20211Da2019a2021(a2020)2a2018a2020(a2019)2011 1an，nN*.若对于任意的t1,2，nn不等式an 2t2a1t a2a2恒成立，则实数a

9、可能为（）nB2C0D2A428已知数列Aa13an是首项为 1，公差为 d 的等差数列，则下列判断正确的是（）n2nB若 d1，则 ann2+2nDa1，a2，a3可能成等差数列Ca2可能为 629已知无穷等差数列an的前 n 项和为Sn，S6 S7，且S7 S8，则（）A在数列an中，a1最大B在数列an中，a3或a4最大CS3 S10D当n8时，an 030已知等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*），公差 d0，S6=90，a7是 a3与 a9的等比中项，则下列选项正确的是（）Aa1=22C当 n=10 或 n=11 时，Sn取得最大值Bd=2D当 Sn0 时，n 的最大值为 21

10、【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题一、等差数列选择题1C【分析】Sn n215n看作关于n的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解【详解】15225，Sn n 15n n242215225上的横坐标为正整数的离散的数列Sn的图象是分布在抛物线y x24点1515157 8|，又抛物线开口向上，以x 为对称轴，且|222所以当n 7,8时，Sn有最小值故选：C2C2【分析】先求得a1，然后求得S10.【详解】依题意a1 a2d 0，所以S1010a145d 452 90.故选：C3D【分析】利用等差数列下标性质求得a4，再利用求和公式求解即可【详解】a1a4a7 6=3

11、a4a4 2，则S7故选：D4B【分析】7a1a7 7a4142由题意结合a2,a4,a8成等比数列，有a4(a44)(a48)即可得a4，进而得到a1、an，即可求S9.【详解】由题意知：a2 a44，a8 a48，又a2,a4,a8成等比数列，2a4(a44)(a48)，解之得a48，2a1 a43d 86 2，则an a1(n1)d 2n，9(229)90，2故选：B【点睛】S9思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量1、由am,ak,an成等比，即ak aman；2、等差数列前 n 项和公式Sn5B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出

12、结果.【详解】因为Sn为等差数列an的前n项和，公差d 1，S6S210，2n(a1an)的应用.2所以a6a5a4a3a42d a32da4a3 2a4a3410，解得a3 a4 3.故选：B.6D【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前 n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.【详解】设数列an的前 n 项和为Sn，由题意可得：当n 1时，a1 S1 2，当n 2时，an SnSn1 4n2，且a1 412 2，据此可得an 4n2，n12，则：Sn 2n，Sn2n11111an 2n1，故bn，bnbn12n12n122n12n12据此有：11b1b2b

13、2b31b9b10 11 17191 111123351189.21919故选：D7A【详解】由S88B【分析】利用等差数列性质得到a21200，a14 3600，再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，则a1a2a3 3a2 3600，故a21200，a13 a14 a15 3a1410800，故a1a88a4a584816.故选 A.222a14 3600，11a1a1515 a2a1415 36000.22故选：B.9A【分析】则Sn设项数为 2n，由题意可得2n1d【详解】设等差数列an的项数为 2n，末项比首项大21，及S偶 S奇

14、6 nd可求解221，221;2a2na12n1d S奇 24，S偶 30，S偶 S奇 3024 6 nd 由，可得d 即项数是 8，故选：A.10B【分析】先利用等差数列的下标和性质将a3a52a10转化为2a4a10 4a7，再根据3，n 4，2S1313a1 a13213a7求解出结果.【详解】因为a3a52a10 2a4a10 4a7 4，所以a71，13a1a13又S1313a713113，2故选：B.【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若mn pq 2t m,n,p,q,tN（1）当an为等差数列，则有aman apaq 2at；（2）当an为等比数列，则有aman ap

15、aq at.2*，11D【分析】根据等差数列的性质计算求解【详解】由题意3a3a52a7a10a1332a423a106(a4a10)12a7 48，a7 4，S13故选：D13(a1a13)13a7134 52212D【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d尺，由题意知S20 204解得d 452019d 232，2故该女子织布每天增加故选：D13D【分析】4尺5设该女子第n nN N尺布，前n nN N天工织布Sn尺，则数列an为等差数列，设其公差为d，根据a1 5，S30 390可求得d的值.【详解】设该女子第n nN N尺布，

16、前n nN N天工织布Sn尺，则数列an为等差数列，设其公差为d，由题意可得S3030a1故选：D.14B【分析】设出数列an的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到a12d 4，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列an的公差为d，则由已知可得2a16da110d a12d 4，所以S55a1故选：B15B【分析】设等差数列的公差为 d.由已知得3a17d5a112d，可得关系a1 求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】302916d 1501529d 390，解得d.29254d 5a12d54 20239d.再运用2设等差数列的公差为 d.由3a8 5a13得，3a17d5

17、a112d，整理得，a1 又a1 0，所以d 0，因此39d.2Snd2d ddn a1n n220dn(n20)2200d，2222所以S20最大.故选：B.16A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2a2 a1a3列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案【详解】a11，2anan11tn1an,令n 1，则2a1a21t1a1，解得a2 t 12令n 2，则2a2a31 2t1a2，即t 1a3t 1，若t 1，则a2 0,d 1，与已知矛盾，故解得a3 t 1an等差数列，2a2 a1a3，即2t 11t 1，解得t 4则公差d a2a1 2，所以an a1n1d 2

18、n1.故选：A17B【分析】根据题意可知正整数能被21 整除余 2，即可写出通项，求出答案.【详解】根据题意可知正整数能被21 整除余 2，an 21n+2，a5 215+2 107.故选：B.18A【分析】22由a1 a9，可得a1 4d，从而得Snd29dn n，然后利用二次函数的性质求其最22值即可【详解】解：设递减的等差数列an的公差为d（d 0），2222因为a1 a9，所以a1(a18d)，化简得a1 4d，所以Sn na1对称轴为n n(n1)ddd9dd 4dnn2n n2n，222229，2因为nN N+，d 0，2所以当n 4或n 5时，Sn取最大值，故选：A19C【分析】

19、1 1 由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案xnxn【详解】由已知可得数列113 1 11,d 是等差数列，且，故公差xx2x212n则11n121n1，故xnxn22n 1故选：C20C【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为 a3+a72a54，所以 a52.故选：C二、多选题二、多选题21BCD【分析】由an是等差数列及2a12a3 S5,，求出a1与d的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列an的公差为d.由2a12a3 S5,有2a12a12d 5a1所以a7 0,则选项 D 正确.选项 A.S7 7a154d，即a

20、16d 0276d 7a13d 21d,无法判断其是否有最小值，故A 错误.2选项 B.S13a1a131313a7 0,故 B 正确.2选项 C.S9 S4 a9 a8 a7 a6 a5 5a7 0,所以S4 S9，故 C 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件2a12a3 S5,得到a16d 0，即a7 0，然后由等差数列的性质和前n项和公式判断,属于中档题.22ABC【分析】因为an是等差数列，由S6 S12可得a9 a10 0，利用通项转化为a1和d即可判断选项 A；利用前n项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等

21、差数列的性质a6a14 a9a10 d d即可判断选项 C；由d 0可得a6a14 d 0且a6 0，a14 0即可判断选项 D，进而得出正确选项.【详解】因为an是等差数列，前n项和为Sn，由S6 S12得：S12S6 a7a8a9a10a11a12 0，即3a9a100，即a9 a10 0，对于选项 A：由a9 a10 0得2a117d 0，可得a1:d 17:2，故选项 A 正确；对于选项 B：S1818a1a18218a9a102 0，故选项 B正确；对于选项 C：a6a14 a9a11 a9 a10 d d，若d 0，则a6a14 d 0，故选项 C正确；对于选项 D：当d 0时，a

22、6a14 d 0，则a6 a14，因为d 0，所以a6 0，a14 0，所以a6 a14，故选项 D 不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由S6 S12得出a9 a10 0，熟记等差数列的前n项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.23BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】2222对于 A，若an是等差数列，如an n，则anan1 n(n1)2n1不是常数，故a不是等方差数列，故 A 错误；n对于 B，数列1中，an2an21(1)n2(1)n12 0是常数，(1)n是等方n差数列，故 B 正确；对于 C，数列2 中，an

23、2n2nan1 2 2 2n12n34n1不是常数，2不是等方差 数列，故 C 错误；对于 D，2an是等差数列，anan1 d，则设an dnm，an是等方差数22列，anan1anan1d dnmdnd mad 2d n(2md)d是常数，22故2d2 0，故d 0，所以(2md)d 0，anan1 0是常数，故 D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.24BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项 A:an1 an(nN*),an1an 0得an是等差数

24、列，当an 0时不是等比数列，故错;选项 B:Sn An2 Bn,an an1 2A,得an是等差数列，故对;n选项 C:Sn11,Sn Sn1 an 2(1)n1(n 2),当n 1时也成立，an 2(1)n1是等比数列，故对;*选项 D:an是等差数列，由等差数列性质得Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键.25无26ABD【分析】对于 A，由题意得 bn2an，然后化简 4(b2020b2019)可得结果；对于 B，利用累加法求解4即可；对于 C，数列an满足 a1a21，anan1an2(n3)，

25、即 an1an2an，两边同乘 an1，可得 an12an1an2an1an，然后累加求解；对于 D，由题意 an1anan2，a2021(a2020)2a2018a2020(a2019)2，化简可得结果则 a2019【详解】2an，则 4(b2020b2019)4(a20202a20192)(a2020a2019)(a2020a2019)444a2021，则选项 A 正确；a2018由题意得 bn又数列an满足 a1a21，anan1an2(n3)，所以 an2anan1(n3)，a1a2a3a2019(a3a2)(a4a3)(a5a4)(a2021a2020)a2021a2a20211，则

26、选项 B 正确；数列an满足 a1a21，anan1an2(n3)，即 an1an2an，两边同乘 an1，可得 an12an1an2an1an，则 a12a22a32(a2020)2a12(a2a1a2a3)(a3a2a3a4)(a2020a2019a2020a2021)a12a2020a20211a2020a2021，则选项 C 错误；a2021(a2020)2a2018a2020(a2019)2a2019(a2021a2019)由题意 an1anan2，则 a2019a2020(a2018a2020)a2019a2020a2020(a2019)0，则选项 D 正确；故选：ABD.【点睛】

27、此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题27AB【分析】由题意可得a1an1an11，利用裂项相相消法求和求出n 2 2，只需n1nnn1nn2t2a1t a2a2 2对于任意的t1,2恒成立，转化为2t a1t a 0对于任意的t1,2恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】an1则aa1111n1an，n1n，n1nn(n1)nn1nnanan1aaa11a111，n1n2，211，nn1n1nn1n2n2n1212aa11上述式子累加可得：na11，n 2 2，nnnn2t2a1t a2a2 2对于任意的t1,2恒成立，整理得2t a1t a 0对于任意

28、的t1,2恒成立，对 A，当a 4时，不等式2t 5t 4 0，解集,4，包含1,2，故 A 正确；2对 B，当a 2时，不等式2t 3t 2 0，解集,2，包含1,2，故 B 正确；2对 C，当a 0时，不等式2t 1t 0，解集,0，不包含1,2，故 C 错误；2对 D，当a 2时，不等式2t 1t 2 0，解集2,，不包含1,2，故 D 错误，25311故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.28ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为aa11，nn1(n

29、1)d，所以 a13，an1+(n-1)d(n+2n).若 d1，则 an12n2n(n+2n)；若 d0，则 a26.因为 a26+6d，a311+22d，所以若 a1，a2，a3成等差数列，则 a1+a3a2，即 14+22d12+12d，解得d 故选 ACD29AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求a7 0，a8 0，即可求公差d 0，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为S6 S7，所以S7 S6 a7 0，因为S7 S8，所以S8S7 a8 0，所以等差数列an公差d a8 a7 0，所以an是递减数列，故a1最大，选项 A 正确；选项B不正确；1.5S10S3

30、a4a5a6a7a8a9a10 7a7 0，所以S3 S10，故选项 C 不正确；当n8时，an a8 0，即an 0，故选项 D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和Sn，属于基础题.30BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合 n 为正整数，可判断 C；由 Sn0 解不等式可判断 D【详解】由公差d 0,S6 90，可得6a115d 90，即2a15d 30，2由 a7是 a3与 a9的等比中项，可得a7 a3a9，即a16da12da18d，化简得2a1 10d，由解得a1 20,d 2，故 A 错，B 对；121441由Sn 20nnn12 21nn2 n224n N*，可得n 10或11时，Sn取最大值110，C 对；由 Sn0，解得0 n 21，可得n的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题2