固体物理习题解答.pdf

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1、固体物理习题解答固体物理学部分习题解答 固体物理学部分习题解答 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。解 由倒格子定义2311232aaba aa3121232aaba aa 1231232aaba aa体心立方格子原胞基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk 倒格子基矢231123022()()22aaaabijkijka aav202()()4aijkijkv2()jka同理31212322()aabika aaa32()bija可见由123,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢 123()/2()/2

2、()/2aa jkaa kiaa ij倒格子基矢2311232aaba aa12()bijka 同理22()bijka32()bijka可见由123,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v，其中0v为正格子原胞体积 证 倒格子基矢2311232aaba aa3121232aaba aa1231232aaba aa倒格子体积*0123()vbbb固体物理学部分习题解答 3*023311230(2)()()()vaaaaaav 3*00(2)vv 1.5 证明：倒格子矢量1 12 23 3Ghbh bhb垂直于密勒指数为1 23()hh h的晶面系。证

3、：33121323,aaaaCACBhhhh 容易证明1 2 31 2 300h h hh h hGCAGCB 1 12 23 3Ghbh bhb与晶面系1 23()hh h正交。1.6 如果基矢,a b c构成简单正交系 证明晶面族()hkl的面间距为2221()()()hkldabc 说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理 证 简单正交系abc 123,aaiabjack 倒格子基矢2311232aaba aa 3121232aaba aa 1231232aaba aa 123222,bibj bkabc 倒格子矢量123Ghbkblb222hikjlkabc 晶面族()hkl的面间

4、距2dG2221()()()hklabc 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理 1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向 解 (111)面与(100)面的交线的 ABAB 平移，A 与 O 重合。B 点位矢BRajak （111）与（100）面的交线的晶向ABajak 晶向指数011(111)面与(110)面的交线的 AB 将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢 固体物理学部分习题解答 BRaiaj (111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj 晶向指数110 2.1证明两种一价离子组成的

5、一维晶格的马德隆常数为证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2.证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有 (1)11112.234jijrrrrrr 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 234(1).34nxxxxxx 当 X=1 时，有1111.2234n 2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为()mnu rrr 求 1）平衡间距0r 2）结合能 W（

6、单个原子的）3）体弹性模量 4）若取02,10,0.3,4mnrnm WeV，计算,值。解 1）晶体内能()()2mnNU rrr 平衡条件00r rdUdr 11000mnmnrr 10()n mnrm 2)单个原子的结合能01()2Wu r 00()()mnr ru rrr 1(1)()2mn mmnWnm 3)体弹性模量0202()VUKVV 晶体的体积3VNAr A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能()()2mnNU rrr 11121.23422n固体物理学部分习题解答 1121()23mnNmnrrNAr 221121()23mnUNrmnVVrrrNAr 体弹性模量0202()V

7、UKVV 0222220000012 9mnmnV VUNmnmnVVrrrr 由平衡条件01120001()023mnV VUNmnVrrNAr 00mnmnrr 02222200012 9mnV VUNmnVVrr 体弹性模量0202()VUKVV 000()2mnNUrr 02222200012 9mnV VUNmnVVrr 022200012 9mnV VUNmnmnVVrr（00mnmnrr）20002 9mnN nmVrr 020220()9V VUmnUVV 009mnKUV 4）00mnmnrr 10()n mnrm 1(1)()2mn mmnWnm 1002Wr 95101.

8、18 10eV m 201002rWr 1929.0 10eV m 2.6用林纳德琼斯用林纳德琼斯(LennardJones)势计算势计算 Ne 在在 bcc（球心立方）和（球心立方）和 fcc（面心立方）结（面心立方）结固体物理学部分习题解答 构中的结合能之比值构中的结合能之比值 解 1 261 261()4()(),()(4)()()2nlu ru rNAArrrr 26661200612()1022rAAdu rruNrAA 22066201212()12.25/9.11()/()0.957()14.45/12.13bccbccfccfccu rAAu rAA 2.7对于对于2H，从气体

9、的测量得到，从气体的测量得到 LennardJones 势参数为势参数为650 10,2.96.JA计算计算2H结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以 KJ/mol 单位），每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为单位），每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为 0.751kJmo1，试与计算值比较，试与计算值比较 解 以2H为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：1261262.ijijijUNPPRR 61214.45392;12.13188,ijijjiPP162350

10、 10,2.96,6.022 10/.ergA Nmol12628162.962.962 6 022 10/50 1012.1314.452.55/.3.163.16UUmolergKJ mol 0将R 代入 得到平衡时的晶体总能量为。因此，计算得到的2H晶体的结合能为 2.55KJmol，远大于实验观察值 0.75lKJmo1 对于2H的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因 3.1 已 知 一 维 单 原 子 链，其 中 第 已 知 一 维 单 原 子 链，其 中 第j个 格 波，在 第个 格 波，在 第n个 格 点 引 起

11、的 位 移 为，个 格 点 引 起 的 位 移 为，sin(_)njjjjjatnaq，j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT，具体计算每个原子的平方平均位移。，具体计算每个原子的平方平均位移。解 任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 sin()nnjjjjjjjatnaq （1）固体物理学部分习题解答 2*2*nnjnjnjnjnjjjjjj 由于njnj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以22nnjj 由于nj是时间t的周期性函数，

12、其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 02220011sin()2TjjjjjjatnaqdtaT （2）已知较高温度下的每个格波的能量为 kT，nj的动能时间平均值为 002222200000111sin()224LTTnjjjnjjjjjjjdw aTdxdtLatnaqdtw LaTdtT 其中 L 是原子链的长度，使质量密度，0T为周期。所以221142njjjTw LaKT （3）因此将此式代入（2）式有22njjKTPL 所以每个原子的平均位移为 22221nnjjjjjjKTKTPLPL 3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为 a)，其 2N 个格波解，当 M

13、=m 时与一维单原子链结果一一对应 解 质量为 M 的原子位于 2n-1，2n+1，2n+3。质量为 m 的原子位于 2n，2n+2，2n+4。牛顿运动方程2221212121222(2)(2)nnnnnnnnmM 体系有 N 个原胞，有 2N 个独立的方程 固体物理学部分习题解答 方程2221212121222(2)(2)nnnnnnnnmM 的解(2)2(21)21itna qnitnaqnAeBe A,B 有 非零解2222cos02cos2maqaqM 两种不同的格波的色散关系 对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为 2N M=m 4cos2aqm 4sin2

14、aqm 长波极限情况下0q sin()22qaqa (2)qm 与一维单原子晶格格波的色散关系一致 3.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于 c 和和 10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为令两种原子质量相同，且最近邻间距为2a 求在 求在0k 和和ka处的处的()k 大略地画出色散关系 本题模拟双原子分子晶体，如 大略地画出色散关系 本题模拟双原子分子晶体，如2H。解 a/2 C 10c 1su 1sv su sv 1su 1sv 22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB固体物理

15、学部分习题解答 21210sssssd uMC VuC Vudt，21210,sssssd VMC uVC uVdt 将,.isKai tisKai tssuueeVVee代入上式有 221011,1011,ikaikaMuCeVCuMVC euCV 是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为 2211,(10)(10),11iKaiKaMC CeC eMC =0，解出 242222220(1)011121 20 1.MMCCconKaCconKaM 当 K=0 时，当 K=/a时 2222/,0,C M 2220/,2/,C MC M 2与K的关系如下图所示这是一个双原子(例如2H)晶

16、体 3.6 计算一维单原子链的频率分布函数()解 设单原子链长度LNa 波矢取值2qhNa 每个波矢的宽度2Na 状态密度 2Na dq 间隔内的状态数2Nadq 对应,q取值相同，d间隔内的状态数目 ()22Naddq 一维单原子链色散关系 224sin()2aqm 令04m 0sin()2aq 固体物理学部分习题解答 两边微分得到 0co s()22aaqddq 220cos()12aq 2202addq 2202addq 2202ddqa 代入()22Naddq 22012Nd 一维单原子链的频率分布函数22021()N 3.7设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的

17、长波极限有附近的长波极限有20()qAq 求证：频率分布函数为1/20023/21(),4VfA;()0f.0,解 11222200000()0,0AqfAqqA时，依据3()2,()()2qqVdsqAq fq，并带入上边结果有 1/21/200331/2223/201142()222qVdsVAVfAAq 222222222,222BxyKKmmaamaB点能量所以/2BA 3.8有有 N 个相同原子组成的面积为个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于2T。证明：在k到kdk间的独立

18、振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积2 ndn，且 22532222Lsndnkdkkdkdv 即则 233220/222220333212121mDDBBxBBBBk Tk TxDDds k Ts k Tk Tk Tsdx dxEEveveve 20,()vsETETCTT3时，固体物理学部分习题解答 3.9 写 出 量 子 谐 振 子 系 统 的 自 由 能，证 明 在 经 典 极 限 下，自 由 能 为 写 出 量 子 谐 振 子 系 统 的 自 由 能，证 明 在 经 典 极 限 下，自 由 能 为0qBnqBFUk Tk T 证明:量子谐振子的自由能为112qBqk TBn

19、qBFUk Tek T 经典极限意味着（温度较高）BTgk 应用21.xexx 所以21.qBqqk TBBek Tk T 因此011 12qqqBnBnqqBBFUk TUk Tk Tk T 其中012qqUU 3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为设晶体中每个振子的零点振动能为12，使用德拜模型求晶体的零点振动能。，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能0E就是各振动模零点能之和。000012mEEgdE将和 22332sVgv代入积分有402339168mmsVENv，由于098mBDBDkENk得 一股晶体德拜温度

20、为210 K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟 3.11一维复式格子一维复式格子 2415 1.67 10,4,1.5 10/MmgN mm 4(1.51 10/),dyn cm即 求（求（1），光学波），光学波00maxmin,，声学波，声学波maxA。（2），相应声子能量是多少电子伏。），相应声子能量是多少电子伏。（3），在），在 300k 时的平均声子数。时的平均声子数。（4），与），与0max相对应的电磁波波长在什么波段。相对应的电磁波波长在什么波段。解（1），41 3 1m a x2422 1.5 10/3.00 10,4 5 1.67 10Adyn cm

21、sM 固体物理学部分习题解答 424131max242422 1.5 104 551.67 10/6.70 104 5 1.67 105 1.67 10oMmdyn cmsMm 41 31m a x2422 1.5 10/5.99 105 1.67 10Adyn cmsm（2）161312max161312max161312min6.58 105.99 101.97 106.58 106.70 104.41 106.58 103.00 103.95 10AooseVseVseV（3）maxmaxmaxmax/110.873,0.22111AOBBAOk Tk Tnnee minmin/10.2

22、761OBOk Tne（4）228.1cm 4.1根据根据ka 状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与E及及E相应的波函数相应的波函数及及。说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布（即。说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布（即2）说明能隙的来源）说明能隙的来源(假设假设nV=*nV)。解 令ka，ka ，简并微扰波函数为00()()kkAxBx 0*()0nE kE A V B 00nV AEkE B 取EE 带入上式，其中0()nEEkV V(x)0,0nV,从上式得到 B=-A,于是 00()()nnixixaakkAAxxeeL=2sinAnxaL 取EE，0()nEEkV

23、 ,nnV AV BAB 得到 00()()nnixixaakkAAxxeeL=2cosAnxaL 由教材可知，及均为驻波 在驻波状态下，电子的平均速度()k为零产生驻波因为电子波矢nka时，电子波的波长22akn，恰好满足布拉格发射条件，这固体物理学部分习题解答 时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2写出一维近自由电子近似，第写出一维近自由电子近似，第 n 个能带个能带(n=1，2，3)中，简约波数中，简约波数2ka的的 0 级波函数。级波函数。解：2221()*241111()imxiximximxikxikxaaaakxee eeee

24、LLLL 第一能带：*210,0,()2ixakmmxeaL 第二能带：23*2221,1,()xixaakbbbb mmxeaaL ii2a则即（e=e）第三能带：25*222211,1,()ixixixaaakcc mmxeeeaaLL即 4.3 电子在周期场中的势能电子在周期场中的势能 2221(),2mbxn a nabxnab当 ()V x 0 ，xnab当(n-1)a+b 其中其中 a4b，是常数是常数(1)试画出此势能曲线，求其平均值试画出此势能曲线，求其平均值.(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度 解：(

25、I)题设势能曲线如下图所示 固体物理学部分习题解答(2)势能的平均值：由图可见，()V x是个以a为周期的周期函数，所以 111()()()()aa bLbbV xV xV x dxV x dxLaa 题设4ab，故积分上限应为3abb，但由于在,3b b区间内()0V x，故只需在,b b区间内积分这时，0n，于是 2222232111()()2236bbbbbbbbmmVV x dxbx dxb xxm baaa。（3），势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 200021()cos,()cos()cos2222bbmmmmmmV xVVx VV xxdxV xxdxbbb

26、bb11222102,1()cos2bggmxEVmEbxdxbb第一个禁带宽度以代入上式,利用积分公式2232cossin2cossinuumudumumumumumm得 22316mb1gE第二个禁带宽度222,2gEVm以代入上式,代入上式 22220()cosbgmxEbxdxbb再次利用积分公式有2222mb2gE 4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带()sE k函数 解 面心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带函数0()()ssik RsssRNearestE kJJ R e s 原子态波函数具有球对称性0*01()()()()()0sis

27、iJJ RRUVd 01()ssik RssRNearestE kJJe 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个 固体物理学部分习题解答 12 个最邻近格点的位置,022,022,022,022aaaaaaaa0,220,220,220,22aaaaaaaa,0,22,0,22,0,22,0,22aaaaaaaa 022saaRijk 01()ssik RssRNearestE kJJe()(0)22()2(cossin)(cossin)2222xyzsxyaai k ik j k kijkik Raikkyyxxeek ak ak ak aeii 类似的表示共有 12 项 归并化简后得

28、到面心立方 s 态原子能级相对应的能带 01()4(coscoscoscoscoscos)222222ssyyxxzzE kJk ak ak ak ak ak aJ 对于体心立方格子 任选取一个格点为原点 有 8 个最邻近格点 最近邻格点的位置,222,222,222,222aaaaaaaaaaaa ,222,222,222,222aaaaaaaaaaaa 222saaaRijk 01()ssik RssRNearestE kJJe 固体物理学部分习题解答()()()2222(cossin)(cossin)(cossin)222222xyzxyzsaaaai k ik j k kijkikkk

29、ik Ryyxxzzeeek ak ak ak ak ak aiii 类似的表示共有 8 项 归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带 01()8cos(/2)cos(/2)cos(/2)ssxyzE kJJk ak ak a 4.7有一一维单原子链，间距为有一一维单原子链，间距为 a，总长度为，总长度为 Na。（1）用紧束缚近似求出原子）用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带态能级对应的能带 E(k)函数。函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子）如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级

30、的费米能级0FE及及0FE处的能态密度。处的能态密度。解：010101(1),()()2cos2cosikaikassE kJJ eeJJkaEJka 0()()sik RsE kEJJ p e(2),1121()2222sinsinLdkNaNN EdEJ akaJka (3),0000022()22222FkFFFNakNaNkdkkka 000111()2cos,()2sin2FFsFNNEE kEJaE N EaJJaa 4.8 (1)证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大 2

31、 倍倍(2)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(3)(2)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7 解（1）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢22,Ai Bjaa 第一布里渊区如图所示 a a 0 a a固体物理学部分习题解答 2222,.,2BxyziBKijaaaKKKmA区边中点的波矢为K角顶 点的波矢为自由电子能量 222222,222AxKmmamaA点能量 22;2AmaA点能量222222222

32、23,222BxyzKKKmmaaamaB点能量 所以/3BA(3)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子理论，自由电子的能量为22222xyzKKKm，FerM 面应为球面由(2)可知，内切于 4 点的内切球的体积343a，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为33421.047332VNNa 其中3VNa 二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)这样，晶体将只有绝缘体性质

33、然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的 事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结固体物理学部分习题解答 构，能带出现重达，所以可以导电 4.9 半金属交叠的能带 22111122220022()(0),0.182()()(),0.062kE kEmmmE kE kkkmmm 其中1(0)E为

34、能带 1 的带顶，20()E k为能带 2 的带底120(0)()0.1EE keV 由于能带的交叠，能带 1 中的部分电子转移到能带 2 中，而在能带 1 中形成空穴，讨论 T=0K 的费密能级 解 半金属的能带 1 和能带 2 221112222002()(0)2()()()2kE kEmE kE kkkm能带 1 的能态密度 13()2(2)kVdSN EE 21kkEm 1112(0)()/kEEE km 13()2(2)kVdSN EE 2131114()2(2)2(0)()/VkN EEE km 1113212222()(0)()2VmN EEE k 同理能带 2 的能态密度 22

35、210322222()()()2VmN EE kE k 如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带 由于能带交叠，能带 1 中的电子填充到能带 2 中，满足 01(0)02()012()()FFkEEEEN E dENE dE 固体物理学部分习题解答 1(0)0312112222()(0)()(2)FEEmVEE k dE02()03222202222()()()(2)FkEEmVE kE k dE 01(0)02()03/23/23/23/21112220(0)()()()FFkEEEEmEE kmE kE k 0011220(0)()FFm EEm EE k 01122012(0)()Fm

36、Em E kEmm 120.18,0.06mm mm 120(0)()0.1EEkeV 020()0.075FEE keV 4.12设有二维正方晶格，晶体势为设有二维正方晶格，晶体势为22,4coscos.xyU x yUaa 用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角,a a 处的能隙处的能隙 解：以,i j表示位置矢量的单位矢量，以12,b b表示倒易矢量的单位矢量，则有，1 12 21 12 2122,rxiyi GGbG bg bg bg ga为整数。晶体势能22,4coscos.xyU x yUaa 2222111111ixixiyi

37、yiGGGU rU eeeeUe 111020.0GGGUUUU 其中，而其他势能傅氏系数。这样基 本方程()0kGGC KU G KG变为 11111111111111110KGGGGC KUC KGUC KGUC KGUC KG求布里渊区角顶,a a，即1 11(,)112 22kGG处的能隙，可利用双项平面波近似()()()iKri K G rC K eC KG e 来处理。当1111,1122KGKG 时依次有 111111,111122KGGKGG 而其他的11KG，固体物理学部分习题解答 1111KGG，所 以 在 双 项 平 面 波 近 似 下 上 式 中 只 有1111,111

38、1;221111,1111;22CGC KGCGCGC KGCG 11121112111111022111111022GGCGUCGCGUCG 111211120GGuu，因为 222211211112211122GGGmma 22222()0,UUUma 由行列式有解得=2.u+所以在（,-）处的能隙为=aa 2)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为222,Ai Bj Ckaaa 第一布里渊区如图72所示 5.1 设一维晶体的电子能带可以写成2271()(coscos2)88E kkakama 其中 a 为晶格常数，计算 1）能带的宽度 2）电子在波矢 k 的状态时的速度 3）能带底部和

39、能带顶部电子的有效质量 解 1)能带的宽度的计算2271()(coscos2)88E kkakama 能带底部0k (0)0E 能带顶部ka 222()Eama 能带宽度()(0)EEEa222ma 2）电子在波矢 k 的状态时的速度 固体物理学部分习题解答 2271()(coscos2)88E kkakama 电子的速度1()()dE kv kdk 1()(sinsin2)4v kkakama 3)能带底部和能带顶部电子的有效质量2271()(coscos2)88E kkakama 电子的有效质量2*22/Emkcos(1/2)cos2mkaka 能带底部0k 有效质量*2mm 能带顶部ka

40、 有效质量*23mm 5.5 设电子等能面为椭球222222312123()222kkkE kmmm 外加磁场 B 相对于椭球主轴方向余弦为,1）写出电子的准经典运动方程 2）证明电子绕磁场回转频率为*qBm。其中*123222123mm mmmmm 解 恒定磁场中电子运动的基本方程()dkqv kBdt 电子的速度 1()()kv kE k 电子能量 222222312123()222kkkE kmmm 123123()kEEEE kkkkkkk 222312123123()kkkkE kkkkmmm 电子的速度312123123()kkkv kkkkmmm 磁感应强度 123()BB kk

41、k 固体物理学部分习题解答 电子运动方程 ()dkqv kBdt 应用关系 123kkk 312123123123()()kkkdkqBkkkkkkdtmmm 电子运动方程 312233213131212()()()kdkkqBdtmmkdkkqBdtmmdkkkqBdtmm 312233213131212()0()0()0kdkkqBdtmmkdkkqBdtmmdkkkqBdtmm 令000112233,i ti ti tkk ekk ekk e 312233213131212()0()0()0kdkkqBdtmmkdkkqBdtmmdkkkqBdtmm 000123230002313100

42、031212000qBqBi kkkmmqBqBi kkkmmqBqBi kkkmm 000123,kkk有非零解，系数行列式为零 000123230002313100031212000qBqBi kkkmmqBqBi kkkmmqBqBi kkkmm 2313120qBqBimmqBqBimmqBqBimm 2222222231213()()()0qBqBqBim mmmmm 0无意义 旋转频率222231213111qBm mmmmm 222123123mmmqBmm m *qBm 固体物理学部分习题解答 其中123222123*mm mmmmm 6.2 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结

43、果可写成32.082.57/eCTTmJ mol K 如果一个摩尔的金属钾有236 10N 个电子，求钾的费米温度FT 解 一摩尔的电子对热容的贡献200()2BVBFk TCNkE 与实验结果比较32.082.57/eCTTmJ mol K 20()2BBBFk TNkk T32.08 10/mJ mol K 费米温度203196242 2.08 10BFkTNK 6.3 若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量 1)费密能量和费密温度 2）费米球半径 3）费米速度 4）费米球面的横截面积 5）在室温以及低温时电子的平均自由程 解 1）费密能量2022/3(3)2FEnm 210/3

44、(3)Fkn 6293313410.5100.586 10/107.879.11 101.05 10AnNmmkgJ s 0198.82 105.5FEJeV 费密温度046.4 10FFBETKk 2)费密球半径 020()2FFkEm 0022FFmEk 0198.82 10FEJ 01011.2 10Fkm 固体物理学部分习题解答 3)费密速度0FFkvm 61.38 10Fvm s 4)费密球面的横截面积02022(sin)sinFFSkk 是Fk与 z 轴间夹角 021/3(3)Fkn 2223(3)sinSn 5)在室温以及低温时电子的平均自由程 电导率1 20()1FnqEm 驰

45、豫时间02()FmEnq 平均自由程0()FFlvE 2Fmvlnq2Fknq 0 K 到室温之间的费密半径变化很小01011.2 10FFkkm 平均自由程02Fklnq 将 1929334010162956201.6 100.586 10/1.05 101.2 101.61 100.038 10FTKTKqCnmJ skmcmcm代入 82955.24 1052.4TKlmnm 63202.2 102.2 10TKlmnm 6.4 设 N 个电子组成简并电子气，体积为 V，证明 T=0K 时 1）每个电子的平均能量 035FUE 2）自由电子气的压强满足23pVNU 解 自由电子的能态密度

46、3/21/222()4()mN EVEh T=0 K，费米分布函数001()()0()FFEEf EEE 电子总数0()()NN E f E dE 固体物理学部分习题解答 电子平均能量0003/21/220()24()FFEEEN E dEUmVEdEh 035FUE 将电子气看作是理想气体，压强23pnU 23NpUV 23pVNU 7.1InSb 电子有效质量电子有效质量0.015emm，介电常数，介电常数18，晶格常数，晶格常数6.49aA。试计算；。试计算；(1)施主的电离能；施主的电离能；(2)基态的轨道半径；基态的轨道半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？解：（1）由于施主电离能DE是氢原子电离能iE的20*mm倍，420*0.014 13.6()6.59 10()(17)iDm EEeVeVm（2），22800002417 0.52()6.31 10()6.31 10()*0.014maaAAmm em （3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb中施主杂质浓度DN就一定满足332028 311(2)1,()4.98 10()2(2 6.31 10)DDa NNma