《概率论与数理统计教程》课后习题解答.pdf

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1、第一章事件与概率1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。(1)叙述4 8 心的意义。(2)在什么条件卜.ABC =C成立？(3)什么时候关系式C u B是正确的？(4)什么时候A =B 成立？解(1)事件AB 6表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)ABC =C等价于Cu AB,表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时1.3 个工人生产了 个零件:以事件4表示他生产的第i 个零件是合格品(1 4 区 )。用4表示下列事件：(1)

2、没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。n n n _ n _ n解 p p i ；r p,=(J A,；u 面(P I A)；X=1 1斤j(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为I j A j A j :1.5 在分别写有2、4、6、7、8、1 1、1 2、1 3 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样 本 点 总 数 为=8 x7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、1 1、1 3 中的两个，或为2、4、6、8、1 2 中的一个和7、1 1、13中

3、的一个组合，所以事件A ”所得分数为既约分数”包含A；+2A；X A：=2x3x6个样本点。于是1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 x 1 0 1 =8 9 个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=1 7 个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1.9 一幢1 0 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9 层中任意一层离开电梯，

4、现有7 位乘客，所以样本点总数为9 7。事件A ”没有两位及两位以L 乘客在同一层离开”相当于“从 9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以 包 含 个 样 本 点，于是P(4)971.1 0 某城市共有1 0 0 0 0 辆自行车，其牌照编号从0 0 0 0 1 到 1 0 0 0 0。问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大？-9(9)解 用A表 示“牌照号码中有数字8，显然P(A)=-=，所以10000 UoJP(A)=1-P(N)=194100001.1 1 任取一个正数，求下列事件的概率：(2)该数的四次方的末位数字是1：(3)该数的立方的最后两位数字都是1

5、；4 2解当该数的末位数是1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为=一10 5(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1 ，则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为a,则该数的立方的最后两位数字为1 和 3a的个位数，要使3 a的个位数是1,必须a =7 ,因比A所包含的样本点只有7 1 这一点，于是1.1 2 一个人把6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2根草的情形

6、。解(1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5种接法，同样对尾也有5 3 1种接法，所以样本点总数为(5 3 1)2。用4标“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5-3-1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4-2。所以A包(5 3 1V4 2)8含的样本点数为(5-3-1)(4-2),于是P(A)=2 =(5 3 1)15(2)2根草的情形和

7、类似得n 1 1.15 在A48c中任取一点P,证明AABP与 A48C的面积之比大于的概率为r。n n解 截 取 C O =，C。，当且仅当点P落入A C A B 之内时A48P与 A48。的面积之比大于n2n-田”.、AA8C有 面 积 CD-,因此所求概率为P(A)=-二=；丁=-rn AA8C的面积比21 -2-C Dr21n _ 1-2-/C D n1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1 小时与两小时，求有艘船停靠泊位时必须等待段时间的概率。解 分别用x,y表示第一、：艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当24

8、2-x 2 32-1x 2220 x-y 2,0 y-x l 因此所求概率为 P(A)=-2 工-0.1211.17在线段A3上任取三点为，工2，与，求：(1)位于再 与 之间的概率。(2)AX I，AX2，AX3能 构 成 一个三角形的概率。解P(A)=P(B)=1-2=1-2X1-3X131.2 0 甲、乙两人从装有。个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解 助表 示白，刃2发示黑白，伤 表示黑黑白，0+1表 示 黑 黑 白，则样本空间。=S，8+1晨 并HP(GJ)

9、=一-a+b-a-,PD(/f/3 )-b-b-；a-,a+b-1 a-b a+/?-1 a+b-2b-1 b-(i-2)aa+/?-1+/?(，-2)t z +/?-(/-1)b尸(例)=占a+bp(砾+J)=ba(a+b)(a+b-Y)-a甲取胜的概率为 P(y,)+P(y3)+P(2)+P(3)+P(R)+1.2 1 设事件 A,8 及 A u 8 的概率分别为 p、q 及 r,求 P(AB),P(A B),P(AB),P(AB)解由 P(A u B)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AVJB)=p+q-rP(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB

10、)=r-q ,P(AB)=r-pP(AB)=P(AJB)=l-P(AjB)=l-r1.2 2 设A1、4 2为两个随机事件，证明:P(A1A2)=1-P(A,)-PA2)+尸(A】A2)；1 一 P(A1)P(4)P(A1&)P(A A2)(A】)+P(A2).证 明(1)P(A,A2)=P(A,UA2)=1-P(A,UA2)=1-P(A,)-P(A2)+P(A,A2)(2)由(1)和P(A|A 2)NO得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有4 5%,订乙报的有3 5虬 订丙报的有3 0%,同

11、时订甲、乙两报的有1 0%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的;(5)至少订一种报纸的：(6)不订任何报纸的。解 事 件A表示订甲报，事件8表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)P(ABC)=P(A-(AB u AC)=P(A)-P(AB u AC)=3 0%(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)-P(AB)+P(BC)-P(ABC)=23%P(CAB)=尸(C)一 P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20%P(ABC

12、D+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+尸(CAB)=7 3%(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5)P(A+B+C)=90%(6)P(ABC)=1 -P(A+B+C)=1-90%=10%1.2 6某班有几个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？N解 用4表示“第，张考签没有被抽到，i=12,N。要求P(JA,)。i=l A，)=(平)，P(M)=(三)，尸(心 人)=(牛)=01E m)=-Q 0),而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p,证k!明：一个母鸡恰有r个 下 一

13、 代(即 小 鸡)的 概 率 为0)e”。r解 用为 表 示“母鸡生攵个蛋”，B表示“母鸡恰有r个下一代”，则GO工 外p(k、p(s)=p(4Wi4)=Err-Pr(i-P rk=r k=r _ (一 )，-/xn u(i _ _(4 p)，-；i.r!二(k-rY r P)c”r!1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？9 3 2 1解 则 P(A,)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=-JLJ L J A U J L12 3 1P(BAX)=,P(B

14、 I A2)=-,P 4)=,P(B I A4)=-由贝时叶斯公式得p(A j B)二P(4)P A)二火P(A)尸 A)k=l1.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是工、4问他是乘火车来的概率是多少？922七机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果.而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试3 1 2解 用4表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，8表 示“朋友迟到了”。则)一)5)2P(4)P(8 I 4)2*=11.41 一个人的血型为。,4,5,A B型的概率分别为0.46、

15、0.40、0.11、0.0 3,现在任意挑选五个人,求下列事件的概率(1)两个人为。型，其它三个人分别为其它三种血型;(2)三个人为。型，两个人为A型；(3)没有一人为AB。解(1)从5个人任选2人为。型，共有2种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能,在 余 下 的2人中 任 选 一 人 为8型，共 有2种 可 能，另 一 人 为A B型，顺此所求概率为：x3 x2x0.462x0.40 x0.1 1 x0.1 3 0.0 1 6 853X0.462 X0.402 0.1 557(3)(1-0.0 3)5*0.85871.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ,求在成功

16、次之前已失败了加次的概率。解 用A表示“在成功”次之前已失败了加次，B表示“在前 +机 一1次试验中失败了加次，C表 示“第 +m次试验成功”n +t n .则 P(A)=P(B C)=P(B)P(C)=pi(1-p)m-p(n +m-=PQ P)I m)1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴(1 W r W )的概率。解 用4表 示“甲盒中尚余i根火柴”，用Bj表 示“乙盒中尚余j根火柴”，C,O分别表示“第2n一厂次在甲盒取”，“第2一r次在乙盒取”，表示取了 2n -r次火柴，且第2一，次是从 甲 盒

17、中 取 的，即 在 前2一厂一1在 甲 盒 中 取 了 八-1 ,其 余 在 乙 盒 中 取。所以P(AB,C)、n-1 2),-2由对称性知P(A,)C)=P(A0BrD),所求概率为:P(A0BrC u ArB0D)=2 P(A.BrC)2-一 1丫1广1-1 J u J第二章离散型随机变量2.3解设随机变量4的分布列为p(J =i)=C (2 /=1,2,3。求C的值。解c.所以C=上27=|3 82.4 随机变量4只取正整数N,且p(g=N)与N?成反比，求j的分布列。解根据题意知p q =N)=，其中常数C待定。由 于 之 二=(=1，所以c =2,即JN2N=N?6 n的分布列为P

18、 e =N)=一，N取正整数。n-N12.5 一个口袋中装有机个白球、”一根个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了4个白球，求J的分布列。解设”表示前&次取出白球，第 +1次取出黑球，则J的分布列为:产(0=k)=-,k=3 12.6 设某批电子管的合格品率为a，不合格品率为a，现在对该批电子管进行测试，设第4次为首次测到合格品，求J的分布列。解 p=k)=&)2,%=1 2.2.9两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6,求每名队员投篮次数的分布列。解设表示第二名队员的投篮次数，则P 4=k)=0.6

19、0.4*-0.4+0.6*0.44-0.6 =0.7 6 .0.24次=1,2,；p(7 7=jt)=0.6*0.4t-10.6 +0.6*0.4*0.4=0.7 6 O SO，A：=1,2,。2.1 0 设随机变量J服从普哇松分布，且P C=1)=PC=2),求P C=4)o#A2解 P(J =k)=eA(2 0)k=0,1,2,。由于 2 e =e ，得乙=2,几？=。(不k 224?合要求)。所以P(J =4)=0 e =-e 2.1 1设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.9 9 9。解 设g为该种商品

20、当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(J 0),2=0,1,2,kf =1 时，P=0)=e -0.2,所以2 =l n 5；f =2时，A t=2 1 n 5,因而P(g 1)=1 -P(4=0)-P您=1)=(2 4-I n 2 5)/2 5 B o.8 3。2.13 本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每页上(每页的印刷符号超过500个)。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p =-,因而，至少出现三个错误的概率为利用普哇松定理求近似值，取/l =p =5 0 0 x 一=l,于是上式右端等于5 0 02 I 51-=i 0.

21、0 8 0 3 0 1%!2 e2.1 4某厂产品的不合格品率为0.0 3,现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装100+x个产品，其中有女个次品，则要求X,使0.9 0,0 p|o.5,O.54-m-m=0,1,2,3,4 sVmJ(好小 卜 。产，=0,l,2,3,4；P =Jt)=0.2*0.8 7，k=0,1,2,3,4.k2.18抛掷三次均匀的硬币，以彳表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求（。）的联合分布列及边际分布列。2.21设随机变量J与7；独立，且P e =l）=P（=

22、l）=p 0,又P C =0）=P（77=O）=1p 0,定义r=P 若J+为 偶 数，问取什么值时。与4（）若彳+为奇数独立？解 p（，=i）=p e=o）p（=o）+p e=i）p（=i）=（i-p）2+p-p（g =o）=p（g=O）P（7 =i）+p（g=O）P m=i）=2 p（i-P）而 p（g=i,r=i）=p（g=1,7=i）=?,由=i,r=i）=p=I）P=i）得 p=122.2 2设随机变量彳与独立，且P（4=l）=P（=l）=g,定义7 =刷,虞77两两独立，但不相互独立。证明=1）=P=1）F（7=1）+P C =-1）P（7=-1）=g尸 c =-1）=尸 C =1

23、）尸 =一1）+尸4=-1）P（7=1）=1因为 p e=i,7=i）=p c=i,=i）=；=p e=i）p c=i）p(&=-1)=P 记=-1)=J P 记=1)%=-1)4P 代=-4=1)=P 也=-1,7 =T)=；%=-MG=1)P(4=-1,=-1)=PC =-1,7 =1)=7 P C=T)P =T)4所 以 相 互 独 立。同理与相互独立。但是 p q=1,=1,4 =1)*P C=1)P(=1)P =1),因而r)不相互独立。2.23设随机变量J与独立，且只取值1、2、3、4、5、6,证明J+不服从均匀分(即不可能有P(J+7 =%)=,%=2,3,1 2。)证 明 设/

24、(4 =%)=pk,P(r f-k)-qk,k=1,2,6。若P(g +=k)=5,k=2,3,一,1 2,则Pe+=2)=p M=：(1)尸 e+=7)=，闯6+%+6%=A (2)PC +=1 2)=P 64 6=g(3)将(2)式 减 去(1 )式，得：(“6-P 1)%V 0，于 是 6 P1。同 理%V /。因此6“6 PM=(，与 式 矛 盾。0工 22.2 4已知随机变量g的分布列为 2冗,求 二-4 +2 与？=co sj 的分布列。1 1 1 317 1 1 2万 1解 T1 分布列为 P(j=2)=,P(1=2+)PQ?=2 H)；4的分布列为尸(7 =-1)=；,p(，=

25、o)=g,尸(7 =1)=；。亚 一 f-2-10 1 3|r2.25 已知离散型随机变量小的分布 列 为 1 1 1 1 1 1 ，求=42 的分布列。（0 I：2_ 2 ,且。与 相互独u 3）立，求4 =4 +的分布列。741-1231-2421-4112401-6,L解2.2 7设独立随机变量。与分别服从二项分布：b(k;n ，p)与b(k;2，P)，求自+，7的分布列。解 设J为 重贝努里试验中事件A发生的次数(在每次试验中P(A)=p),为2重贝努里试验中事件A发生的次数(在每次试验中P(A)=p),而。与相互独立，所以J+为。+2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而P记+叮=k)

26、=2 p k q k,k=0,1,，%+,。2.2 8设。与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为P(&=n)=尸=)=-,n=1,2,-求J+7 7的分布列。n-1-1 1|_ 1解 p+?7 =)=(%)(？=-)=”/=A=1k=Z 乙 乙1?c2.29 设随机变量J具有分布：P(g =k)=1,2,3,4,5,求E J、EJ2及4+2)2。解，心=(l+2+3+4 +5)=3,2=1(12+22+32+42+52)=1 1EC +2)2=一铲+4 造+4=272.30 设随机变量。具有分布：P q=k)=*,k=l,2,求E&及D自。=6力“E铲 _(造)2=22A 12.31 设离

27、散型随机变量J的分布列为：P =(-1)k =,k=问4是否有数学期望？_ o o _ Q k 1 _ o o _ i _ o o 1解刀(一1 丁1.h因为级数Z 发散，所以j没有数学期望。太=1 k 2 k=i k k=k2.32用天平秤某种物品的重量（祛码仅允许放在个稗盘中），物品的重量以相同的概率为I 克、2克、1 0 克，现有三组硅码：（甲组）1,2,2,5,1 0 （克）（乙组）1,2,3,4,1 0 （克）（丙组）1,1,2,5,1 0 （克）问哪一组祛码秤重时所用的平均祛码数最少？解 设 、自2、4 3分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的祛码数，则有物 品 重 量 度 1

28、 234 5 67 8 9 1 04 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1W 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1自3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 E刍=（1 +1 +2+2+1 +2+2+3+3+1）=1.8弥$（1 +1 +1+1 +2+2+2+3+3+1）=1.7弥$（1 +1 +2+3+1 +2+2+3+4 +1）=2所以，用乙组祛码秤重时所用的平均硅码数最少。2.33某个边长为5 0 0 米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.4 9,1 0米的概率各是0.1 6,20米的概率各是0.0 8,30米的概率各是0.0 5,求场地面积的数学期望。

29、解 设 场 地 面 积 为 S米 2,边 长 的 误 差 为 4 米，则 S =（4 +5 0 0）2 且玷=0 砥=2（）2 X 0 1 6+202 X 0.0 8 +3O2 x 0.0 5）=1 8 6所以 ES =E（g +5 0 0）2=后 铲 +ioooEE+25 0 0 0 0 =25 0 1 8 6（米 2）2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为P|、P2、0 3。试证发生故障的仪器数的数学0+2 +%。cfl第 i架 仪 器 发 生 故 障 .证 令2=1。第 i架 仪 器 未 发 生 故 障J为发生故障的仪器数，则=P&=1）=piJ=1,2,3,

30、所以 E J =EJT+E4 2+屈 分=P1 +3 02.3 7 如果在15 0 0 0 件产品中有10 0 0 件不合格品，从中任意抽取15 0 件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，I 1则7的分布列为 _ 匕，因而设J为查得的不合格品数，则 15 15 J 1 515 0 15 0自，7,所以七4 =2七7 7,=1 0。i=l /=!2.3 8从数字0,1,，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。V I-左 +解 设。为所选两个数字之差的绝对值，则产e=&)=7+,4 =1,2,2,于是E J=左火=1一k+1仅 +1、-1 2,2 正而小+1)-2=

31、+22.3 9把数字1,2,-一,任意在排成 洌，如果数字&恰好出现在第&个位置上，则称有 个匹配,求匹配数的数学期望。解设=1)=1,P n)=pi +qnn=2,3,(q=1-p)00 00利用上题的结论，=P(g 2 l)+Z P e N )=l+Z(p T +q)n=2 n=2p 工 q“2-p +i1 -p -q p(l -p)2.4 2从一个装有？个白球、”个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的,(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.4 3对一批产品进行检验，如果检查到第0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在

32、尚未抽到第o件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检杳到不合格品的概率都是p，问平均每批要检杳多少件？解 略。2.4 4流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p,当生产出女个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设 第 一1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为白，i =l,2,一、A.又在两次检修k之 间 产 品 总 数 为 则i=因:独 立同分布,P =j)=q p,j =1,2,(q =l p),由此得:0E*=j q Z p =T1,*T p =B.j=i P M p-。当=E2(E当)2=

33、空。p;=!P,=I P2.4 6 设随机变量自与独立，且方差存在，则有（切）=%+（右）2。+og （E）2（由此并可得D（切）D-DT）证 明0（切）=E f r 一。切 y=EEr j2-（附（助 产=Eg助2 一 野 2（助）2+此 2（助）2 一 （党）2（E）2=/十。_ （E）2o J =og,+（E J）2.+o g.（E）22.4 7 在整数0 到 9 中先后按下列两种情况任取两个数，记为4 和：（1）第一个数取后放回，再取第二个数；（2）第一个数取后不放回就取第二个数，求在7 7 =左（0 =攵W 9）的条件下4的分布列。解（1）P（g=i l =A）=*i =（2）（。=

34、，|=幻=（i =0,l ,9,i w*）,P（g=kl =k）=O2.4 9 在次贝努里试验中，事件A出现的概率为p,令.f l在 第i次 试 验 中A出 现 ,=4/=1 2,n I o在 第i次 试 验 中A不 出 现 求在+$+短=r（04r4）的条件下,。（0 i 2 7 4+几2,证明p&=k l引 +统=)=P=AK+&=)尸(V?)P&=k)P&=k)一 尸+2=)由普哇松分布的可加性知J +4 2服从参数为2I +丸2的普哇松分布，所以P=g +殳=)=k Q n-kA1 _&4 2 -2 2 -e-k!(n-k)!(A.+4 2),；xn2.5 1设4,J2，当 为r个相互

35、独立随机变量，且。服从同一几何分布，即有P&=k)=q p i,k=1,2,(!V i W r),其 中 q =l-p。试证明在1 +J2 T-/a =的条件下，&,与,，,)的分布是均匀分布，即P =”=/当+/=7 A 其中巴+2 +,=C O证明 P =%,，廓=*E+晟+基=尸 =，多=%，/+斗=)P&+=)=P&=%，,*,=%)-一(4+.+E，=)由于4 1，星，,相互独立且服从同一几何分布，所以r(一 1、尸6+J2 +/=)=Z(n“,p 4 )=-qrp-。加+幻=i=i V V从而 P =nr 1 ,+乙 +4,=“)q p第三章 连续型随机变量3.3函数si n x是

36、不是某个随机变数J的分布密度？如果J的取值范围为71 3 0,；(2)0,-J；(3)0,-o7t?-解(1)当X E0,时，si nx N O且p si nx d x G,所以si nx可以是某个随机变量的分布密度:2)(2)因为 si nx d x=2 w l,所以si nx不是随机变量的分布密度;r31(3)当X 乃,万乃 时,sin x 0,所以sin x不是随机变量的分布密度。3.4设随机变数彳具有对称的分布密度函数p(x),即(尤)=p(-x),证明：对任意的。0,有(1)F(-a)=1-F(a)=g，P(x)dx；(2)P (|a)=2i-F(a)0证(1)F(-a)=二 1 +

37、-a产p(x)dx=1-pxdx-ooJ-a p(-x)dx=1 一 1 p(x)dx=1-F(a)=1-1 p(x)dx-J p(x)dx=；-j p(x)dx；(2)P(|W v Q =pxdx=2 J p(x)dx,由(1)知1 tnl-F(a)=J p(x)dx故上式右端=2 尸(a)-l；(3)P(团 a)=1 P(何 0,匕 0是两个常数，且a+/?=l。证明F(x)=aFy(x)+bF2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为K(X)与 B(X)都是分布函数，当项 尤2时，耳(范)尸1(X 2)，2(1 1)歹2(1 2)，于是区)=

38、aF(再)+bF2(x1)-0 0 Xf-00lim F(x)=hmaF(x)+bF2(x)=a+=1X T 8 X T 8F(x-O)=aF(x-0)+bF2(x-0)=aFx(x)4-bF2(x)=F(x)所以，b(X)也是分布函数a取a=6=,又令2,f 0 x00 x0F.(x)=F,(x)=x 0 x 0I 1 xl这时0 x01 +X“c)=4一 0 xl显然，与尸(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故尸(X)不是离散型的，而尸(X)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.9已知随机变数J的分布函数为Xp(x)=2-x00 c x 1l x 2其它(l)求相应的分布函数F(

39、x)；(2)求 P 1.3),P(0.2 J 1.2)。0 x l-ll x 2x2PC 1.3)=1-P(13)=1-尸(1.3)=0.245P(0.2 J 1.2)=F(1.2)-尸(0.2)=0.663.io确定下列函数中的常数A,使该函数成为一元分布的密度函数。(2)p(X)=4 cos x071 7 T-X 2 2其它Ax2l x 2(3)p(x)=Ax2 x 30其它解(2)2.Ac o s x d x2 A P c o sx dx=2 A=1,所以 A二一；)2A x dx =A =1,所以 A =3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以J表示每天的耗电率(即用电量除以一万度

40、)，它具有分布密度为,、12 x(1-%)2 0 x 0.8)=(12 x(1 x)2 d x =0.02 7 24).8P(g 0.9)=12 x(1-x f d x=0.003 7因此，若该城市每天的供电量为8 0万度，供电量不够需要的概率为0.02 7 2,若每天的供电量为9 0万度，则供电量不够需要的概率为0.003 7。3.1 4 设随机变数e服 从(0,5)上的均匀分布，求方程4 x 2 +4夕+4 +2 =0有实根的概率。解：当且仅当(4)2-16(+2)0成立时，方程4 x 2 +4夕+g +2 =0有实根。不等式(1)的解为：或44一1。因此，该方程有实根的概率3.1 7 某

41、种电池的寿命孑服从正态NS,/)分布，其中。=3 00(小时)，b =3 5 (小时)(1)求电池寿命在2 5 0小时以上的概率；(2)求X,使寿命在。一元与a+X之间的概率不小于0.9。解：(1)2 5 0)=P(-0 0 -1.4 3)=.1.4 3)=0(1.4 3)0.9 2 3 6 ：n/匕 力/尤 J-3 00 x(2)P(a -x a+x)=P(-0.93 5 3 5 3 5即x 俵)0.9 5所以X 1.6 53 5即x 5 7.7 53.2 1证明：二元函数1 x+y 0F(x,y)-0 x +y 0,若x+y 0,由于x +Ax +y 0,所以P(x,y)=/(刀+Ax,y

42、)=1,若x +y0,则 F(x,y)=0。当 x +A x+y)=1。所以 F(x,y)F(x+Ax,y)可见，尸(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。(2)x +y40时l i m Fix -Ax,y)=l i m F(x,y -Ay)=0=F(x,y),Arl O Ay i Ox +y0 时，l i mF(x-Ax,y)=l i mF(x,y -Ay)=l =F(x,y)，Ax。Ay 40所以F(x,y)对x、y左连续。(3)F(-o o,y)=F(x,-o o)=0,F(+o o,+o o)=O o(4)P(0 2,0 7 2)=F(2,2)-b(2,0)-尸(0,2)+F(

43、0,0)=-E所以尸(1,y)不是一个分布函数。3.2 3 设二维随机变数（J,）的密度P(x,y)=i n(x +y)0c 乃 八 冗0 x ,0 y 2 2其它求（J,）的 分 布 函 数。c 兀 c 兀解：当 OWxE，O W y 45 时,F(x,y)=P(x,y)=1 j g s i nQ +s)dsdt=；f c o t-c o s(t +yydt=g s i n x +s i n y s i n(x +y),所 以F(x,y)=0g s i nx+s i n y-s i n(x +y)y(s i nx +1 -c o s x)；(1+s i n y -c o s y)1(x 0)

44、u(y 0)八 兀r 7 Z0 x,0 y 2 -20 x-2 2x -,0 y -2 2n n2 23.2 4设：维 随 机 变 数（。,）的 联 合 密 度 为Z e-3 1P(x,y)=j 0(1)求常数后：(2)求 相 应 的 分 布 函 数；(3)求 P(0 彳 1,0 7 7 0,y 0其它(2)x 0,y 0 时,F(x,y)=f葭/力加=12(。7力)(f=(l-e-3x)(l-e-4y),所 以F(x,y)=)x O,y Q其它(3)P(0 1,0 7 2)=F(l,2)-F(0,2)-F(l,0)+F(0,0)I 3 8 11l -e e+e3.25设二维随机变数（J,）有

45、密度函数AP(x,y)=%2(1 6 +/)(25+/)求常数4及（,）的密度函数。J,p(x,y)dx dyA解:=万 2(1 6 +1)(25+/)dx dy4Adxdy _ A271所以，A =20 ；b(x,y)=p(t,s)dt ds兀 f-J-00 J-oGdt ds(1 6+产)(25+$2)叼n X x4)4占1 6+r J-0 0 25+51 /x%、/y 兀、r a r ct g-+)a r ct g+)7 T2 4 2 5 23.26设二维随机变数（J,）的密度函数为4 x y 0 x 1,0 y 1p(x,y)=0其它求）。解:(1)P(0 ,7/l)=A x y dx

46、 dy=4 P x dx J y dy =;2 4 4 4 6 4(2)P(J =)=A x y dx dy=0;x=y(3)P(&7)=A x y dx dy=1 x y dy dx=1 2(x -x2)dx =;(4)P C )=g3.28设(。乙)的密度函数为P(X,y)=200 x l,0 y 2其它求孑与中至少有一个小于g的概率。解：1 -P(x,y)dx dy=1-J|dx dy2 2 2 2 2583.34证明：若随机变数J只取一个值4,则4与任意的随机变数？7独立。证：自的分布函数为外(x)=0 x a设的分布函数、(,)的联合分布函数分别为与(y),F(x,y)。当 x a

47、时，F(x,y)=P(x，7 a 时，Rx,)=P(g y)=P(y)=/式 幻 匕(y)。所 以，对 任 意 实 数x,y,都有F(x,y)=4(x)F(y),故 J与相互独立。3.35证明：若随机变数片与自己独立，则必有常数c,使P(J =c)=l。证：由于 P(4 x)=P(g x,J x)=P e x)P C x),所以 F(x)=F(x)2,斤 度)=0或1。由于F(8)=0,尸(+8)=1,F(x)非降、左连续，所以必有常数c,使得0F(x)=0X c故=c)=1。3.36设二维随机变量(4,)的密度函数为p(x，y)=Wox2+y2 其它问J与是否独立？是否不相关？dy 2-y

48、J 1 x2解：A(X)=1,(l x l 1).2-Ji-y2同理，P(y)=A乙,(l y l 1).7 1由于p(x,y)H Pg(x)p(y),所以/与 不相互独立。又因p(x,y),p式x),p(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E J =E(J)=0,故c o v(J,)=0，J与不相关。3.4 1设某类电子管的寿命(以小时计)具有如下分布密度:1 0 0p(x)=70 x 1 0 0 x 1 0 0一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？(假设这三个管子的寿命分布是相互独立的)解：设这类电子管的寿命为

49、则尸 修 1 50)=蛆 1 0 0 ,r dx5。X223所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(%尸二%?；三个这类管子全部要替换的概率是(1 =%7。3.4 7随机变数4在任一有限区间 a,1:的概率均大于0 (例如正态分布等)，其分布函数为&(x),又服从 o,i 匕 的均匀分布。证明4 =6-()的分布函数与4的分布函数相同。解：因为g在任一有限区间 a,H上的概率均大于0,所以4(x)是严格上升函数。由于 0,1 上的均匀分布，所以 的分布函数外(x)=x)=P(尸J()x)=0)2 a求J +的密度函数。解:A(x)=%(x)=P g(x)=j，式x -y)p/y)dy,当x 2

50、 0时,8+网l x-j l +e xlpy l ye d y+j e 。，dy 4a a当元 dy 所以1 j y&+(x)=#(a+l x l)e/。3.50设随机变量J与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为p(x)=一)(1 +r)证明：G=g(J +)也服从同一分布。证:&-疝x 00 x 00 x0,、1 1 1，=2 A-乃-y(y-+4)L。x-+1 (x-y)+1=2 -l n(x2+1)+y a r ct gx -l n(x -y)2+1)+y a r ct g(x -y)J%y(y +4)27 r(y2+4)所以/、2 1p (z)=j 2 -产+)v (2z)+4 乃(