立体几何与空间向量（解答题压轴题）(解析版）备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）.pdf

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1、专题1 9 立体几何与空间向量（解答题压轴题）立体几何与空间向量（解答题压轴题）直线与平面所成角问题二面角问题体积（距离）问题折叠问题直线与平面所成角问题1.（2 02 2 黑龙江勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P-ABAW中，/P N M 是边长为 2 的正三角形，A N 1 N P,A N/B M ,A N =3,B A/=1，A 8 =2 五，C,。分别是线段A 8,N P 的中点.求证：平面4 VA _ L平面N M P；求直线C O 与平面A 8 P 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解.述2 0（1）如图，在四边形ABAW中，过 B作B E 肠V 交AN 于E,在 4

2、%中，得 A E =2,B E =2,A B =2&,则 A82=A2+BE2,得-.BE/MN,:.A N L N M ,又由已知条件AN，NP,N M c N P =N,M W,N P u 平面N M P,故4V L 平面M0P,又4 V u 平面A N M B,平面A N M B_ L平面N M P.4(2)为等腰三角形，.O 0 _ L N P,又 因 为 平 面MNP,以。为原点建立空间直角坐标系,如 图:可 得O(O,O,O),P(I,O,O),N(-I,O,O),M(O,O),A(-I,O,3),8(O,GJ,CI 2 2 J设平面ABP的法向量为万=(x,y,z),丽=(1,6

3、,-2),丽=(2,0,-3),根据n-AB=Q iiAP=O%+2=0=()令I，则 y=#,z =2,得万=(3,3 J又 反=，设 直 线 与 平 面ABP所成角为0,则一 _3 1 4s i H函讣编=在舄=*故直线CD与平面 所 成角的正弦值sin=娅.202.(2022,江苏苏州高一期末)如图，在直四棱柱A 8C Z)-A 4C Q|中，底面A8C。是边长为2的菱形，Z A D C =12 0 CC,=4,M,N 分别是线段O R,上的动点，且 N=A )B(O2 1).若二面角M-BC-G为6 0,求 O W的长；(2)当三棱锥M-AD C 的体积为2 叵 时，求 C N 与平面

4、8cM 所成角的正弦值的取值范围.3【答案】1;(2)(。，第(1)解：取 中 点 尸，过尸点作尸。_ L 8 C,交BC 于点。，连结产例.因为底面438是边长为2的菱形，Z A D C =12 0-所以 88为等边三角形.由直四棱柱A88-ABC R,可得。A J 平面A B C。,CC，平面ABC。，CCDD,ZMDC=ZMDB=90,BD=DC,MD=MD,所以ZA汨和例D C全等，可得肱5=MC.因为P为8 c中点，所以M PJ.BC.又因为PQ B C,所以NMPQ为二面角M-8 C-G的平面角，即ZMPQ=60.在平面瓦BCR 中，PQA.BC,CCt 1 BC,所以 C C J

5、/P Q,则有。2/P。，所以 ZDMP=NMPQ=60.在 MAM D P 中，BC=2,DP=BC=y/3，2则 tan/OM P=tan60=2，DM解得DM=L(2)因为力R _L 平面 ABCD,所以 L-A C=g SJC D DM,S“.CrDn=-DC-DA-sinZADC=-x2x2x =.22 2因为三棱锥M-ADC的体积为2叵，3所以半，解得D M=2,所以 为 叩 中点.12因为 DM T B l|ABCD,所以 V.-NBc=,DM SNRC=SNRC.在BCD中，DN=ADB(0A 1),所以%-N BC=(1-孙设N到平面BCM的距离为，在 AMBC 中，MB=M

6、C=2 五,BC=2,所以S.MBC=；BCC M2-写=g x 2 x 5 =5,1Fj所以 VAv-/MWBo CC =3，d,S MBC=-3-d.因为KM-N BC=%-M BC，所 以 亚（1一=半，解得=零（1-.在 CZW中，由余弦定理得CN?=C2+W2-2Cr-CW-cos60,所以 C M=442-4/l+4.设C N与平面BC M所成角为6.所以 sing=-=CN7V422-4A+4 7“-/I.八 回 m 4 1 I令 1一义=加（0），贝 U -7 J 而7 1 _+1-V m2 i n因为所以工 1,所以0 =8C,.四边形OBC。为平行四边形，CD/0B.ZAD

7、C=90,：.ZBOD=90,AD L O B,又43=A O,二ABO为等边三角形，又AAAZ泾A3AE,二PAD为等边三角形,AD1OP.0尸(1。3=。，O Pu平面FOB,0 8 u平面尸。8,.49_1平面尸08,V 8 P u平面P 0 8,，ADBP,过点 P作/A,lilAD/BC,则/8C,./u 平面PAD,/u 平面P8C,即平面尸AA平面PBC=/,.H O P,I A.BP,/BP。为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角，NBPO=30。.又山 OP=OB=5/3，ZOBP=30,：./BOP=120,作PH上BO交BO的延长线于H,连接CH,PH LOB,-：/40

8、_1,平血。8,P”u 平面 P 0 8，ADA.PH,ADcOB=O,ADc IAIIII ABCD,OBc -K Illi ABCD,PH_L平面ABC。，./PC”为PC与平面ABCD所成的角，3M在 RtAPOH 中，PH=OPsin 60=；,OH=OP cos 60=2 2BH=OB+OH=,2 CH=d BC?+BH2=，2PC=yJPH2+CH2=710 3.“3 PH 2 3厢，sin/.PCH=-=-PC Vio 20因此，PC 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 题.204.(2022吉林 长春外国语学校高一期末)如图，直四棱柱4B C O-A 4 G A 的底面

9、是边长jr为2 的菱形，且=证明：平面AC _L平面BDD.；若平面A3。，平面Cf,求 R B 与平面AtBD所成角的正弦值.【答案】证明见解析:等(1)在直四棱柱4 8(7 0-4 8。口 中，0 A L 平面ABC。，ACu平面ABCD,则。LA C,四边形ABC。为菱形，W IJBD1AC,而B D O R u 平面8。，因此AC_L平面 8 O R,又ACu平面A C R,所以平面AC _L平面8OR.(2)令 Acn8=o,连接4O，G O,4G，与R,如图,平面 ABC。，3u 平面 A8C。，则 AA由（1）知 3_L AC,ACCAA=A,AC,AA,u平面ACGA，因此8。

10、，平面ACGA，又O G u 平面ACGA，于是得B O L o q,而平面 B D L 平面 C|B,平面 ABOc 平面 G8C=BD,O CX u 平面,则 OG 1 平面 B D ,、T T.而。4,1 平面A8。，有 O G 1O A，即NAOC|=9（y,菱形ABC。中，Z B A D=-,AB=2,则 OA=OC=班，AG=AC=2 6，令=4,则 OA=O CX=Ja2+3，由。田+0 Ci =AC得=石，令 A C c S Q =。，连,过 M 作 M N/O 0 交。A 于 N,则有 M N,平面AO,连 5N,则Z M B N 足直线。声与平面A 8D 所成的角，OM=1

11、 o o =A4=走，2 2 2显然 N/O N =451 则 M N=0 M=逅，又 B M B R =L j B D、D D：=也,因此，2 4 2 1 2 2理厂/sinN M B N=铝=一 条=簪，所 以 与 平 面 B D所成角的正弦值是此.B M V7 14 14T5.（2022福建省永泰县第一中学高二开学考试）四棱锥S-4 3 C D,底面4 3 8 是平行四边形，D B C =90,SC=SD=D C,且平面S C O,平面A 8C D,点 E 在棱SC上，直线SA/平面BDE.求证：E 为棱SC的中点；设二面角S-&）-C 的大小为，且tan。=.求直线BE与平面ABC。所

12、成的角的正切值.【答案】（1）证明见解析 半（1）连 AC交 8。于尸，连 EF.,ABC。是平行四边形，J.AF=FC,直线 SA/平面 SA u 面 P A C,面 SACfl 面 3DE=F，SA/EF,由尸是A C中点，.E为棱SC的中点；(2)取 OC 中点 O,OC 中点 G,连 SO,OF,GE,BG,侧面 sc。满足 s c=s o=r c,不妨设 sc=sr=zx?=2SO=6，SO LCD：平面SCD1.平面ABC。，平面SCDn 平面ABCD=CD.SO_L平面4 8 c O,又。3 u 平面A 8 c O,故SO_L)8,OD=OC,DF=FBF 0 BC,FO=；BC

13、.CBVDB.FOA-BD,S F A.B D,又SOfSF=S,SO,SFu平面SO产，BD_L 平面 SFO.NSFO是二面处S-8 C 的平面角ZSFO=0,又SO=G，tand=y/6 FO=BC=V2FO 2BD=y lc if-B C2=y/2=BC-BO LCD,BO=1.BG=BO2+OG2=,OG=GC2二 S。EG,EG=乎，EG _L 平面 ABCDNEBG为宜线EB与平面ABCD所成的角tan ZEBG=跑=晅,即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为叵6.（2022 山东烟台高一期末）如图，在三棱柱A D P-8C Q 中，侧面ABC。为矩形.设 M 为 4。中点，

14、点 N在线段PC上且NC=2 P N,求证：P M 平面B D N；jr 5 4(2)若二面角Q-8 C-Z)的大小为。，0 c，且 A=|cosqAB,求直线即 和平面QC8_ 4 6所成角的正弦值的取值范围.【答案】证明见解析；(2)乐.连接用C 交 8。于 E,连接WE,因为侧面A8C。为矩形，所以AB C,又 M 为 A。中点,所 以 星=空=2,E M D M又因为NC=2PN,所以空=且=2.N P E M所以P M N E,又P M a平面NB D,N E u平面NB D,所 以 平 面B DN.在平面QBC中，过点C 作射线C F L 5C,因为底面45CZ）为矩形，所以BCL

15、CD，所以Z D C F为二面角。-3 C-0 的平面角，且Z D C F =0.又C F c C D =C,所以 BC_L平面 C/）F,在平面。C F中，过点。作。G,E C,垂足为G,因为BCJL平面。CF,D G u平面。CF,所以。G L B C,又B C c F C =C,B C u平面 BCQ,F C u 平面 BCQ,所以。G,平面8C。，于是DG为点。到平面BCQ的距离，D G =DCsin0,设直线8。和平面以。所成角为。，D G AB sine sin。I?八 乃 5乃O li!sin ex=-=-=/-,0 G,B D yjAB2+A D2 g+cos2 0 v 1 +

16、cos2 0|_4 6由 匹一走显P T 可 得 cos共,cos2 0 e 0,3,4所以直线8。和平面尸AO所成角的正弦值的取值范围是 一,l7.（2022吉林长春吉大附中实验学校高一期末）如图，在四棱锥P-A 3 c。中，APBC为正三角形，底面ABCO为直角梯形，AD/BC,Z A D C =90 ,A D =C D =3,8 c =4,点N在线段PC 上，且CN=2NP.探 究 在 线 段 上 是 否 存 在 点 使 得 PM平面N D 8,若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由.设二面角P-3 C-A 的大小为。，若cos。=巡，求直线B。与平面PAO所成角的正弦3值.【答案

17、】存在点M,当F=2时 P M 平面ND6,证明见解析:A M 当(1)解：存在点M,当 也=2 时 平 面 N 3,A M证明：连接C,交 8。于点E,连接N E,因为=2,A D =3,所以 M=2,A M=l,因为A O B C,则加 叱 立 射,则A MCE BC C N=2 =，故 P M/INE,又N E u 平面N B O,P M U 平面NBD,故尸M平面BEW；E M D M NP（2）解：取3C的中点/，连接M F,P F,因为P 3 C 为正三角形，则P/2 8 C,P F =P B s i n 6（r =4x=2 6，因为 A 3 C O 为直角梯形，AD/BC,Z A

18、 D C =90 ,F C =M D =2,2故四边形物C为矩形，则又M F|P F =F，M F,所 _ L 平面尸知尸，又平面P A n 平面P M F =W，QFu平面尸加尸，所以。FL平面P A D，故。F即为点F到平面P A O 的距离，又 A 3/8 C,4)u平面2 4 0,BC丈平面P A。，所以8 c 平面P A。，故QF即为点B到平面P A D 的距离，因为cosNPFM=,则3s i n N P F M=J l c o s?N P F M=如,所以 5 产,=；，尸 M尸 s i n N P P M =；.P M QF,即322.g x 2 /5 x 3 x 中=g x

19、3 x Q F ,解得。F =2 拒，又B =斤彳=5,故直线8。与平面P A O所成角的正弦值 为 煞=丝.B D 58.(2 0 2 2 黑龙江铁人中学高一期末)在三棱台A B C-A4G 中，A C =2,A B =-,N B A C =6(T,CX=1,CCt=2,A C CC,侧面 A C C H J.平面A B C,.求证：C L平面A B C；(2)求证：AA8G是直角三角形；求直线AA与平面A B C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 当四边形ACG A中，因为A CJ_CG，故四边形ACG A为梯形，A r c c）,故C cACtan ZC,A,C=

20、J-=7 2,tanZAqC=-=V2,且/i|Cz|C-V|e呜,故j r j rZC,AC=Z A C,C,又NG AC+NG CA=5,故NAGC+N C|C A=,故ACLAG.又侧面ACG A L 平面ABCt,且交线为A G，故AC L 平面ABC,(2)在 A B 上取一点E 使得A=l,设4 C cA G =。，连接。.因为AC=2,AE=1,B A C=60,则由余弦定理可得 EC?=AC?+A E?-2A C AEcos60,解得 EC=百，因为 A C2=A炉+CU,故 AE_L EC.山（1）A C，平面 ABC1，A E u平面 ABC一故A C 1 A E,又A C

21、 cE C =C,A C E C u 平面A C E,故AE,平面ACE.又 即 u平面ACE,故AE_LD.又梯形ACGA中 倏=根据平行线中两三角形的性质有V A 3J:NCDA,AC 2故等嘿4方一E-A又11-CM=112-11故力箱故 E D B G，故 皿 g.故“B G是直角三角形（3）由那X必哈 AG嗡=磊=声故sinZBAC=J1 一（）=，故8 至 iJAAC 的距离为 ABsinNBAG=x4 到 ABC的距离为3则因为即SV A8C/=SV A A C 酒，所以3 3 8述 =,x 2 x 0 x 亚，解得人=巫,设直线A 4 与平面A8C所成角为巴贝 U4 2 8 3

22、巫 厂 非.n n h 3 石，即直线AA与平面ABC所成角的止弦值 为 出sin（7=-=-QA41G 3 9.(2 0 2 2 江西新余市第一中学高二开学考试)如图，已知四棱锥V-A 8 C E ,底面A88是矩形，V D C D,V D V B C,点E 是棱V C 上一劫点(不含端点).(1)求证：平面A DEJ _平面VW;(2)当C D =2 A =2 且=m 时，若直线V C 与平面A D E 所成的线面角a w,求点E 的运动轨迹的长度.【答案】证明见解析(2)至3(1)证明：因为故4)_ L V D,又A O _ L O C所以A Q J _平面V CD4)u平面A D E所

23、以平面4)E_L 平面V CD(2)首先，取V C 中点尸，连接。尸在等腰AVDC中，D F 1VC 由(1)知 A _L 平面V8,得A D_L Q F由 得 Z)F_L 平面4 尸，即此时当尸与E 点重合时，TT直线V C 与平面A D E所成的线面角为二，其次，由题意易得，存在点尸两侧各有两个点，如图分别记为&,4,使得a =6 0 ,E 的运动轨迹即为线段3 4.作 6，a于目，又A D_L 平面V C。，得 A O _L C”，故C_L 平面小 ,所以V C(EC)在平面A D E的射影为E H ,N C E”即为直线V C 与平面A O E 所成的线面角a ,即 Z C EtH=j

24、 r TT此时，N V C D =7，N C R H=,此时H与。重合,6 3故4=旦=迪1 s i n6 0 3同理可得力和咚急=瀛，解得CE广 年故E的运动轨迹长度 为 国 国=券-苧=竽.1 0.(2 0 2 2 全国 高三专题练习)如图所示，几何体A 3 C Q P Q 中，AADP,A3CQ均为正三角形，四边形A B C D 为正方形，P Q 平面A BC。，A P _L CQ,A 8 =&,M,N 分别为线段PQ与线段B C 的中点.求证：MN 平面A D P；(2)求直线A P 与平面B C Q所成角的正弦值.【答案】证明见解析喈(1)设P,Q在平面A B C D上的射影分别为G

25、,H,取 AO中点E,连 P E,G E,由于AA3P,A8C。均为正三角形，故 A D _LP，而 PG_L A,PEnPG=P,故 AD J.平面 PGE,GEi 平面 P G E,故 A D G E,即 G 点在A D的垂直平分线上，同理可证”在 8 c 的垂直平分线上,由于四边形ABCD为正方形，故 EN垂直平分ADBC,故 G,EN,在一条直线上，因为 P0 平面 ABC。，则 PG Q,PG =Q”,故四边形尸G”。为平行四边形，则 PQGH,则P例 NE;延长A 3于尸使得AF=P Q,连C F,延长NE交CF于。，连。，取 E N 中 点 连 结 M/,则四边形AFQ尸是平行四

26、边形，.AP =Q F =近,AP/QF,又CQ=6,A P 1 C Q,则Q F C Q CF=42+2=2,BF=A/42=叵,即4F=2近，故尸0=2 0,尸知二忘,故 N E =P M =&,四边形PENM为平行四边形.，M N /PE,又；平面 AOP,P E u 平面4 5 P，M N/平面ADP.(2)由（1）得，四边形AFQP是平行四边形，CF =2,B F =血,.zMOP均为正二:角形，E 为 4 9 中点.，A D L P E又；AD 1E N,：.4）_1面 P。后 0.血 PEOQ _L 面 A F C D：在四边形 P EOQ 中 W QO且 M/_L W,.Q。，

27、E。，又.面PEOQD面 AFC）=EO,QOu面 PEO。，Q O,面 ART）,方法一：（等体积法）;”0 尸，.直线”与平面BC。所成角等于。尸与平面BCQ所成角,VQ_BCF=VF-BCQ，S.BCF=1，S B C0=x-J l x,O Q=1,2 2 2设 F 到平面BCQ的距离为止，d,=卡S B CF 一,O Q=F2，J.B CQ 7 5设。尸与平面8C。所成角 为 巴 sin6=2-=迈；Q F 3方法二：（向量法）连接。8,以。氏OF,。为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系Oxyz,由于C B L8尸，故 08=0 尸=1,OQ=1,于是。(0,0,1),B(l,0,0)

28、,F(0,l,0),C(0,-l,0),则 苏=炉=(0,1,-1),丽=(1,1,0)而=(0,1),设平面g e o 的法向量为弁=(q*),则 2=x+y=,n-CQ=y+z=0得法向量的一个解为1=(1,-1,1),|-2|=V663所以直线 与 面 8C。所成角sin6=|cos（万,西）|=1 1.（2 0 2 2全国高三专题练习（理）如图，在四棱锥S-/W C D中，四边形A 8 C O是菱形,=5C =,三棱锥S-8 C 是正三棱锥，E,尸分别为S A，S C的中点.3求证：直线B _ 1.平面S 4 C；求二面角七一3口一。的余弦值;判断直线S A与平面B Z）厂的位置关系.

29、如果平行，求出直线S A与平面B C F的距离；如果不平行，说明理由.【答案】证明见解析 半 平行，距离 为 迈1 4(1)证明：连接A C,交BD于点、O,连接5 0,因为四边形4 2 C Z）是菱形，所以。为4 C,BD的中点，且因为三棱锥S B C D是正三棱锥，SB=S D,。为8。的中点，所以B ZU S。,又S O n A C =O,所以B O _ L平面 S 4 C.(2)作S H J平面88于H,则H为正三角形88的中点，H在线段O C上，KOC=.2OH=-OC=-=,C W =-O C =.3 3 2 6 3 3SH=y/sC2-CH2=如图，以。为坐标原点，分别以 赤，O

30、 C,布 的 方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,则人。,-乎,0 b e l j I,0,0 I,c.o,-,0 ,D.I-1-,0,0 I,S 0,4。4，22,6 244所 以 丽=-1史BF=6 2)(129 92 3。=(-1,0,0),设司=（%,y,z j是平面EBF的法向量,X+4 =。X+gz|=O且633-+X西1-21-2-覆诉一勺4则=(1,0,1),设耳=（9/2*2）是平面力 8尸的法向量,则n2 BD=x2=01 J j 1 ,取为=(0,G-2),n2-BF=-x2+-y2+-z2=0所以cos伍,睛=/=V147又因为二面角E-5 尸一。是锐二面

31、角，所以二面角E3/一 的余弦值 为 巫7（3）直线S4与平面8DF平行.理由如下：连接0 凡 由（1）知。为AC的中点，又尸为SC的中点，所以OF&1,又因为S 4 U 平面8OF,OFu平面B O F,所以直线SA平面BOE（或者用向量法证明直线S 4与平面BDF平行：由（2）知为=（0,后-2）是平面也用的一个法向量，又A（o,一 孚 o）,S。，乎 ，所 以 可=（）,-孚7,所以弧 为=0 x0+6+(-2)x(-l)=0,所 以 五 J丹，又 因 为(X平面8D凡 所以直线SA 平面8/)下.设点4 与平面BDF的距离为h,则/?即为直线SA与平面BDF的距离，因 为 西=0，-三

32、,0,%=(0，G，-2)是平面0 8 尸的一个法向量，7I 0 x0+x/3x-+0 x(-2)所 以 匣 回=_ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 J)_3币,同一 布=H所以点力与平面8。尸的距离为迈，14所以直线SA与平面BDF的距离 为 短.1412.(2022 全国高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8C。为直角梯形，AD/BC,A D D C,PA=PD=PB,BC=DC=AD=2,E 为 AD 的中点，且 PE=4.记 PE的中点为N,若 M 在线段BC上，且直线MN与 平 面 加 5所成角的正弦值为也,9求线段BM的长.【答案】(1)证明见解析；(2)2或(1

33、)连接 BE,BC=，A)=OE=2,AD BC,；.BC=DE R.BC/DE2.四边形BCDE为平行四边形；，8E=8=2上 4=尸 且E 为AE 的中点，PE LAD,所以尸。=yJP E2+D E2=J 1 6 +4 =2 石，P B=P D =245,P E2+BE2=P B2 即又 ADCBE E,P E _ L平面A B C。(2)以E为原点，E 4 为x 轴，即为了轴，叱 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2,0,0）,B（0,2,0）,C（-2,2,0）,P（0,0,4）,所 以 布=（-2,2,0）,丽=（0,2,-4）,设平面P A B的法向量为拓=（司,凶,

34、4 ）,则n-AB=Q万 丽=0一 2%+2%=02%一 4 4=0取 3 =(2,2,1)即设 8 M =r（f e 0,2 ）,则 M（T,2,0）,而 N（0,0,2）,所 以 丽=,-2,2）,平面小B的法向量为3 =（2,2,1）,设直线MN与 平 面 所 成 的 角 为，,则 s i n3=|c o s（M V,n）|=2-4 +2 =立、/I阿.同户 E.也92化简得1 1 产-2 4 7 +4 =0,解得：f =2 或，=：,满足f e 0,2 二面角问题1.（2 0 2 2 浙江,慈溪中学高三开学考试）如图，在四棱锥P-A 8 c o 中，平面上M _ L平面ABCD,P A

35、=A D =2,B D =4,AB=2y/3,B O 是/ADC的平分线，且B _ L8 C.若点E 为棱P C 的中点，证明：8E 平面PAD；(2)已知二面角2-A8-L的大小为60,求平面 蛆 和平面PC。的夹角的余弦值.【答案】证明见解析.延长C8,D 4交于点F,连接尸尸，在AC。/7中，Q8)是NADC的平分线，且 BDJ-8C,.CDF是等腰三角形，点B是C尸的中点，又 E 是P C 的中点，:.BE/P F,又P F u平面P AD,BE(X平面P A D ,二直线BE 平面PAD.(2)在AaD 中，A D =2,B D =4,AB=2y/3,则NJ5Ar =9 0,即B 4

36、_L 4)，由已知得N B D C =Z B D A=60,CD=8,又平面P A D _L平面ABCD,34 u 平面A B C D所以8AJL平面P A O,即8A_L%,所以以NP4 为二面角P 4 3-。的平面角，所以 NPAO=6(T,又 Q4=AZ)=2,所 以 为 正 三 角 形，取 AD的中点为0,连 0 P,则OP，A2OP_L平面A B 8,如图建立空间直角坐标系，z.则 A（1,0,0）,8（1,26,0）,C（-5,4,0）,0（-1,0,0）,P（0,0,X/5）,所 以 丽=（1,0,6）,丽=卜2,-2石,0）,反=（各,4 6,0）,设加=（内,%4）,=（,%

37、*2）分别为平面P8。和平面P C D的法向量，则fnD P =Om B D=0 x,+A/SZ,=0_2玉-2 岛i =0叫取y=T,则机-D P =0 u r,X2+y/3 z2=0-，即 ,取=1n-D C O-4 x2+4 V3y2=0则|=（G/，T，/_ f h-n 3所以c o s的 六 丽=不则平面P比 和平面P C O所成夹角的余弦值 为:2.（2022山西大附中高三阶段练习）如图，在四棱锥S-A B C D中，四边形AB C O是矩形,ASAD是正三角形，且平面S 4）_L平面A B C。，A B =,尸为棱AO的中点，四棱锥S-/W CO的体积为2叵.3在棱弘上是否存在点

38、M,使 得 平 面 与 平 面D所成锐二面角的余弦值为45?若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.【答案】证明见解析；存在点M，位于A S靠近点S的三等分点处满足题意.（1）s取S C中点F,连接E F),尸分别为S8,SC的中点，:.EF/BC,EF=-B C2.底面四边形A 8 C 是矩形，P为棱A的中点，c.P DHBC,P D =-B C.2:.EFHP D,EF=P D,故四边形PE FD是平行四边形，P E/FD.又.FDu平面SCO,平面SCO,；.PE 平面 SCD.(2)假设在棱M上存在点M满足题意，在等边ASAD中，尸为A O的中点，所以SPJ.A。，又平

39、面SA DJ L平面A 8 C),平面S Wc平面，S P u平面SA ),SP L平面A B C D,则SP是四棱锥S-A B C D的高.设 4)=m(jn 0)，则 SP =m ,S矩形ABCD=M 二%枝 锥S-A 5C7)=I S矩 形 八5c o .SPh 加义手机=，所以根=2.以点P为原点，而，丽 的方向分别为K Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,0),A(1,O,O),B(1,1,O),S(0,0,5/3),故 雨=(1,0,0),晟=(1,1,0),AS=(-1,0,73).设 而=A A S=(-/l,0,a)(0 1),.-.PA?=PA+AM

40、=(l-Z,0,V3A).设平面PM 8的一个法向量 为%=(x,y,z),则 n,-P M=(1-A)x+=0-PB =x+y=0LU易知平面SA D的一个法向量为n2=(0,1,0),U/UT I r I“犯 7 3 1 2 6trjT tjr=/=-%眄 V71 2-21+I 5g s Q 局 卜 2/0 A ,.A=-3故存在点M,位于A S靠近点:S的三等分点处满足题意.3.(2022安徽高三开学考试)如图,在三棱柱A B C-4 用 中，BC=8月,BC C =O,A O 1.平面 B B、C C.(1)求证:AB _L B C；若N B/C =6 0 ,直线AB与平面BBC。所成

41、的角为30。，求二面角A-A G-A 的正弦值.【答案】证明见解析(2)递7(1)证明：因为A O L平 面B B&C ,B,Cu平面BB CC，所以因为BC=B B-四 边 形 是 平 行 四 边 形，所以四边形BBCC是菱形,所以B G B C，又因为A O cB G=。，A O u平面ABC-BQ u 平面A B C-所以3 0，平面ABC-因为A 8 i平面ABC；,所以(2)解：因为A 3勺平面B G C所成角为30,AOL平面B B C C，所以NA3O=30,因为ZB,fiC=6 0 所以B C q是正三角形，设BC=2,则 5 c =2,30=6,04=1,以。为原点，分别以。

42、氏。综0A所在宜线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,如图所示，则8(6,0,0)，4(0,1,0),4(0,0,1),M N =AD,2所以四边形A M N D是平行四边形，则D N /M A .又AM，平面尸8 C.,ON 平面尸3C,则/D P C 是PD与平面尸 8 c 所成的角，ZDPC=30,又 P D =JAC?+”2 =3，直角梯形中 8=3,则 PC=355，直角AP8C中，P B=/3 x4-V6y =0 厂 /则，6 3 ，令z =l,贝 鼠=一6，y =,则%=一百,-x+z =0 2 12 2-V3 x 5/2 +逅 x 1 +1 x _ _ _ _ _ _

43、_ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 V2 23 x-2-3 5/2 2 -3 3则二面角B-PD-C的余弦值为 噜.6.（2 0 2 2 广东广州高二期末）如图，四棱锥P-A B C D 中，四边形ABC。是矩形，D 4 L 平面 以 8,E 是ZM 的中点.若心的中点是M,求证：平面PC。；若P A P B,P A=A D =2,AB=2 0，求平面P C E与平面以 B 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2 谭3（1）如图所示：取 P C的中点尸，连接EM,DF,FM,因为四边形A8C。为矩形，E 是 A D的中点,所以。=!8C,DE/B C,F

44、 M =-B C,F MH B C,2 2所以 E=F M,D E HFM ,所以四边形O E M F 是平行四边形，所以EM DF ,又E M ,因为是直角三角形，所以 241X7=90。，取 A C的中点0,连接。0,8 0,则 如L AC,DO=AO,因为AABC是正三角形，所以BOJ.AC,所以NOOB为二面角O ACB的平面角，在 RhAQB 中，B O2+A O2=A B2,因为 所以 80?+no?=802+40?=4 夕=8。2,所以 NOB=90。，所以平面A C D1 平面A B C；由（1）可得DO,OB,OO_LAO,AO_LOB,所以以。为原点，0 4 0 8,0。所

45、在的直线分别为,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,设等边a A B C的边长为 2,则 A(1,O,O),B(O,O),C(-1,O,O),D(O,O,1),则 标=/=(-2,0,0),丽=(0,-1),因为 D E =m D B 所以 D E =m D B=2(0,/3,-1)=(0,所 以 通=而 +屁 =(_ 1,0/)+(0,鬲,_m)=(_ 1,百机,1一6)，设平面A 0E的法向量为而=(x,y,z),则i n-A D =-x+z =0i n -A E =-x+yf i m y+-m)z =0令y=6则记=(3,百,3),设平面A CE的法向量为G =3,b,c)，则nAC

46、 =-2 a =0n -A E =-+6 m b 4-(1-m)c=0令6=1,贝!=(0,1,八/口(4机1)1 1化简得(时 1)2+3命=7 18 +1=。,解得?=!或m=?Jo如图，过A 作 AF_L8于尸，连接C P,则 由（1）可得CFLB。,因为A F cC F=F,所以8D J.平面ACF,所以平面八4尸_1 _ 平面A C F,所以二面角。-4 尸一。为直角二面角,因为 A8=8 3 =2,A。=&,所以小 炉 一（多吃后口咚,所以工8。-4/=五，得 AF=,2 2 2所以。尸=/2-Z =2，所以。尸V 4 2 4所以当0加,时，二面角 AEC 为钝角，4所以胆=，舍去

47、，所以加=；8.（2022全国高三专题练习）如图，A 8co为圆柱。0 的轴截面，E F是圆柱上异于AO,BC的母线.证明：B E 1平面。EF；（2）若 AB=BC=2,当三棱锥3-DE尸的体积最大时，求二面角B-O F-E 的余弦值.【答案】证明见解析 当3（1）证明：如右图，连接AE,由题意知AB为。的直径，所以他，B E.因为A。，E 尸是圆柱的母线，所以4）所 且 A D =F,所以四边形AEQ是平行四边形.所以AE。尸，所以BE1DF.因为E F 是圆柱的母线，所以平面A B E,又因为B E u 平面A B E,所 以 防 J _8 E.又因为O F A E F =尸，DF,E

48、F u 平面。E F,所以BE1平面O E F.（2）由（1）知 B E 是二棱锥8 防 底 面 O E F 上的高，由（1）知 E F _L A E,A E/DF 所以 E F _L F,即底面三角形O E F 是直角三角形.设 O F =A E =x,B E=y,则+丁二牝U U I、I-1 11 c、1 1 X2+V2 2所 以 匕=3 5 4。.8：=3*（不*2）乂 了 =大初，-=-,a j j j 4 。当且仅当x =y=应 时 等号成立，即点E,尸分别是AB，C。的中点时,三棱锥8 -尸的体积最大，下面求二面角8-OF-E的余弦值：法一：由（1）得BE1平面O E尸，因为OFu

49、平面。EF,所以又因为E F工D F,E F C B E=E,所以 F _L平面B E E因为8Fu平面B E F,所以所以N 3正 是 二面角8-。/一E的平面角，由（1）知 为 直 角 三 角 形，则BF=J（6）2+22=娓.,rEF 2 任故 co s Z BFE=；=,BF R 3所以二面角B-OF-E的余弦值为 远.3法二：由（1）知E 4,EB,E F两两相互垂直，如图，以点E为原点，EA,EB,E F所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系E-A yz,则 5(0,7 2,0),D陋,0,2),E(0,0,0)/(0,0,2).由 知3E1平面。所，故平面D E尸的法向量可取

50、为 丽=(0,0,0).设平面 B D F 的法向量为 G =(x,y,z),由 而=(-点,0,0),B F =(0,-,2),n-DF O f-壶x=0(x =0得 一 ,即 L，即 厂，n B F =0-42y+2z=0 y=J2z取 z =1，得=(0,/2,1).设二面角B-OF-E的平面角为e,则|co sM =|co s（E B）|=,1 “明 v3 x V 2 3山图可知e为锐角，所 以：面角B-O/-E的余弦值为 巫.39.（2 0 2 2 河南 信阳高中高二阶段练习（理）如图所示，四棱锥S-A B C D中，底面4 8 C D为矩形，AC与8。交于点O,点E在线段SQ上，且