导数历年高考真题及答案.pdf

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1、导数历年高考真题精选及答案-.选择题1.(2011年高考山东卷文科4)曲线y=/+l l在点P(l,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)1 52.(2011年高考山东卷文科10)函数y=-2 s in x的图象大致是3.(2011年高考江西卷文科4)曲线y=e*在点A(0,1)处的切线斜率为()1A.l B.2 C.e D.-e4.2011年高考浙江卷文科10)设函数=a f +Ax+c(a,a c e R),若x=-1为函数/(x)e 的一个极值点，则下列图象不可能为)=/(x)的图象是5.*BCin V 1 TTW 上在点M (三,0)处的切线的斜率为

2、sinx+cosx 2 4(2011年高考湖南卷文科7)曲线y=()_2B.A.2 V2C.-2DY26.【2012高考重庆文8】设函数/(x)在R上可导，其导函数/(x),且函数/(x)在x=-2处取得极小值，则函数y =xfr(x)的图象可.能是7.1 2 0 1 2 高考浙江文1 0】设 a 0,b 0,e 是自然对数的底数A.若 ea+2 a=eb+3 b,则 a bB.若 ea+2 a=eb+3 b,则 a bD.若 ea-2 a=eb-3 b,则 ab28.2 0 1 2 高考陕西文9设函数f (x)=-+l n x 则()xA.x=为 Rx)的极大值点 B.x=L 为 f(x)的

3、极小值点2 2C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点9.1 2 0 1 2 高考辽宁文8】函数y=L x 2-In x 的单调递减区间为2(A)(-1,1 (B)(0,1 (C.)1,+8)(D)(0,+8)1 0 .【2 1 0 2 高考福建文 1 2 已知 f (x)=x3-6 x2+9 x-abc,a b 0；f (0)f (1)0；f (0)f (3)l（I）讨论f（x）的单调性；（II）若当x NO时,f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围。5.（2 0 0 9 安徽卷文）（本小题满分1 4 分）2/（*）=x-+1F In 鬣已知函数 x,a 0,（

4、i）讨论.8 的单调性；（II）设 a=3,求出在区间 1,1 上值域。期中e=2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数。6.（2 0 0 9 江西卷文）（本小题满分1 2 分）O设函数/（X）二 /-5 1 2 +6%_。.（1）对于任意实数X,/（X）之加恒成立，求机的最大值;5(2)若方程/(x)=0有且仅有一个实根，求。的取值范围.7.(2 0 0 9 天津卷文)(本小题满分1 2 分)设函数=+x2+(m2-l)x,(x e R,)其中机 0(I )当m=1 时，曲线y =/(x)在 点(1,f(1)处的切线斜率(II)求函数的单调区间与极值；(III)已知函数/(X)有三个互不相同

5、的零点0,修,2,且为 /恒成立，求 m的取值范围。8.(2 0 0 9 四川卷文)(本小题满分1 2 分)已知函数/(%)=/+2 hx2+c x-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y =5 x -1 0。(I)求函数X)的解析式;6(II)设函数g(x)=/(x)+；mx,若 g(x)的极值存在，求实数，的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量X的值.9.(2 0 0 9陕西卷文)(本小题满分1 2 分)已知函数/(x)=x3-3ax-l,a 0 0(1)求/(X)的单调区间；(I I)若/(x)在x =-l 处取得极值，直线尸myV y=/(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值

6、范围。71 0.(2 0 1 0 安徽高考文科 T 2 0)设函数 x)=s in x c o s x +x +l,0 x2,求函数/（“）的单调区间与极值f（x）-x3+bx2+cx+d.n、1 1.（2 0 1 0 北京高考文科 T 1 8）设定函数 3 ,且方程 r（x）9x =0的两个根分别为1,4（I ）当 a=3 且曲线旷=/（）过原点时，求/（X）的解析式；（I I）若/（X）在（，小）无极值点，求 a的取值范围。1 2.(2 0 1 0 浙江高考文科 T 2 1)已知函数/二 炽 一 4(x.b)(a,b e R,a 0,x w l 时，/(%)l-x914.(2 0 1 1

7、年高考浙江卷文科2 1)(本题满分1 5 分)设函数f(x)=a2nx-x2+ax(a0)(I )求/(x)单调区间(I I)求所有实数a ,使e 1 4/(x)4 e 2 对 x e l,e 恒成立注：e 为自然对数的底数1 5.2 0 1 2 高考江苏1 8(1 6 分)若函数y =/(x)在x =X。处取得极大值或极小值，则称X。为函数y =/(x)的极值点。已知a,6是实数，1 和T 是函数/(幻=/+分+么 的两个极值点.(1)求a和 b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)=/(x)+2 ,求 g(x)的极值点；效 案1=11 .【答案】C【解析】因为炉=3/，切点为P(1,1

8、 2),所以切线的斜率为3,故切线方程为3 x-y+9=o,令 x=0,得 y=9,故选C.2 .【答案】C10【解析】因为y=-2 c o s x,所以令y =-2 c o s x 0,M c o s x ,此时原函数是增函2 2 4数;令y=L 2 c o s x 0于是2-Aac=b2-4a2=(b-2 a)(b-2 a).”0/=0 则 正 0故 A、B 可能；对于 D,/i-l i=2 a-6 0,a 0 则 3 0于是Vb c B.a c b C.b a c D.c ab【答案】B【解析】因为a 1,6,c都小于1且大于0,故排除C,D;又因为瓦c都是以4为底的对敌,真数大,函数值

9、也大,所以力 c,故选B.5.答案选B6.【答案】C【解析】由函数/(x)在x =-2处取得极小值可知x -2,/(x)0；x-2 ,/(x)0则一2 c x 0 时 0 时 0,选 C.7.【答案】AII【解 析】若e +2 a =e +3 6 ,必 有e +2 e +2%.构 造 函 数：f(x)=ex+2 x,则/(x)=e*+2 0恒成立，故有函数/(x)=e*+2 x在x 0上单调递增，即a b成 立.其余选项用同样方法排除.8答案.D.2 2 1【解析】/(x)=+l n x,./(x)=-彳+上，令/(x)=0,则x =2,当0 x 2 时X X Xf(x)2时/(x)0,所以x

10、 =2为/(x)极小值点，故选D.9.答案选 B v y=x2-I n x,.,.y -x，由y WO,解得T W xW 1,又x 0,；.0 x Wl,2 x1 0 .【答案】c.【解析】/(x)=/-6 x?+9 x-abc,：./，(x)=3/-12 x +9 ,令/(x)=0 则 x =1 或x=3,当x 0；当l x 3 时/(x)3时/(x)0,所 以x =l时/(x)有极大值，当x =3时/(x)有极小值，.函 数/(x)有三个零点，.1./(I)0,/(3)0,且 a l b 3 0 即 a 0,因此/(0)/(a)=0,/(0)/(1)0.故选 C.11.【答案】C【解析】因

11、为点R。的横坐标分别为4,-2,代人抛物线方程得只0的纵坐标分别为8,2.山犬=2%则 =；/,.)，=%所以过点产，0的抛物线的切线的斜率分别为4,一2,所以过点P,0的抛物线的切线方程分别为y =4 x -8,y =-2 x -2,联立方程组解得x =1,y =-4,故点力的纵坐标为一412 .答案 D/(x)=(x 3)/+(x =(x 2)，,令/(x)0,解得x 2，故选 D13.答案 A解析 设过(1,0)的直线与y =d相切于点5 0，/3),所以切线方程为y-%3 =3X02(X-X0)BP=3X02X-2X03,又(1,0)在切线上，则 x 0=0 或15?5当=0时，由y

12、=0与y +工一9相切可得。=-,0 4 6 4123 77 27 15当/=一 万 时，由丁 =彳 犬-彳 与y =a x 2+X-9相切可得。=1,所以选A.14.解 析 因 为 函 数y =/（x）的导函数y =/（x）在 区 间 上 是 增 函 数，即在区间口,3 上各点处的斜率左是递增的，山图易知选A.注意C中y =A为常数噢.二.填空题1.解析 f （x）=2、M+l）-（+a）（x +1）广（1）=_ _-=o n a=34答 案32 .解析 由题意该函数的定义域x0,由f（x）=2 ax +。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0,问题转化为x0范围内导函数r（x）=2 n

13、x +g存在零点。解 法1 （图像法）再将之转化为g（x）=-2 ax与（x）=存在交点。当。=0不符合题意，当。0时，如 图1,数形结合可得显然没有交点，当。0如图2,此时正好有一个交点，故有a 0应填（一*0）或是 a 0。解 法2 （分离变量法）上述也可等价于方程2 ax +，=0在（0,+8）内有解，显然可得。=_充 （一*0）3.解析 考查利用导数判断函数的单调性。13fx)=3 x2-3 0 x -3 3 =3(x-l l)(x +1),由(%11)(%+1)0得单调减区间为(-1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。4 y =3 x +l三.解答题1.解析(I )由题意得/(x

14、)=3J?+2(1-a)x-a(a+2)乂1/(0)=/7 =0/(0)=a(a+2)=3解得6 =0,。=-3或。=1(I I)函数/(x)在 区 间 不 单 调，等价于导函数/(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数/(x)在 上 存 在 零 点，根据零点存在定理，有/,(-1)/,(1)0,即：3 +2(1-a)-a(a+2)3-2(1-a)-a(a+2)0整理得：(a+5)(a+l)(a-l)2 0,解得5。一12解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I )/(x)=3 x2 3a,.曲线y =

15、/(x)在点(2,7(x)处与直线y =8相切，.f(2)=0 3(4-a)=0 =4,2)=8 8-6a+b=S b=2 4.(11)V f(x)=3(x2 0),当a 0,函数/(x)在(-8,+8)上单调递增,此时函数/(x)没有极值点.当a0时，由/(x)=O=x =G，当工卜00,J Z)时，/(x)0,函数/(x)单调递增，当 卜 心,&)时，/(X)0,函数/(X)单调递增，,此 时 =-&是/(X)的极大值点，x=&是/(X)的极小值点.143.o 解:(1)由已知得/(x)+2 8 x +l,令尸(x)=0,得ar?+2 +1 =0,f(x)要取得极值，方程ax2+2 bx

16、+1 =0必须有解,所以=4/4 a 0,即/a,此时方程。/+2匕 犬+1 =0的根为-2 b-y4b2-4a-h-b2-a 2 b+d4b j a_ _。+“2 _ Q勺 _ c _，人2 一2 a a2 aa所以/(x)=a(x X i)(x X2)当a0时，X(-,X 1)x,(X1,X2)X2(X2,+8)f(x)+00+f(x)增函数 极大值减函数极小值增函数所以f(x)在X 1,X2处分别取得极大值和极小值.当。a时,/(x)取得极值.(2)要使/(%)在区间(0,1上单调递增，需使fx)=ax?+2版+1 2 0在(0,1上恒成立.即 心-?-4 ,x e(0,l 恒成立，所

17、以 匕(一?；)皿2 2 x 2 2 x设 g(x)=_?_；,g(x)=一2 2 xa 1-1-72 2 x2令 g 1时当x e(0,J=)时 飞 口)0,8(幻=一 竺 一 -单调增函数；a y/a 2 2 x当X (，=时g*(X)0,g(x)=-单调减函数,Ja2 2 x15所以当x =1sa时,g(x)取得最大，最大值为所以8 2 -4a当0 a W 1时,21,此时g 1 时，h-4a-当0 -2【命题立意】：本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值.运用函数与

18、方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题.4.解析(I)f(x)-x2-2(1+a)x+4a-(x-2)(x -2 a)由a l知，当x 0,故/(x)在区间(一8,2)是增函数；当2x2a时，/(.)2 a时 f(x)0,故/(x)在区间(2 a,+o o)是增函数。综上，当时.，/(x)在区间(一叫2)和(2 a,+8)是增函数，在区间(2,2 a)是减函数。(II)由(I)知，当x0时，/(x)在x =2 a或x =0处取得最小值。+2 4“4 ,=a+4a+2 4a3 0)=2 4“由假设知(.a 1,a 14 0,即 一二a(a+3)(a 6)0,解得 l a。，(2 4 a 0

19、.故。的 取 值 范 围 是(1,6)5.【思路】山求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数/)在 Ie?上的值域。16r解析(1)由于/(x)=l+令 r=得y=2t2 at+l(t w 0)x当 A=2 8W0,即 0 0,即2 a时 由 2八2 一 +11 0八,得口 ，-Q-+-A-/-2-8-4 4a yjcr _ 8 T 八 o+J a?-8:.0 x-或 x -4 4,2 八 zrtQ_Jq2_8 a+N a2 8 a Na “8 a+d a2 8又由2m+0得 -t -.-x -4 4 2 2综上当0。2

20、8时，/(%)在(-oo,0)及(0,+oo)上都是增函数.当a 2 6吐f(x)在(-8+7 2-8)上是减函数,在(-00,0)(0,及(a+J j 8,+功 上都是增函数.(2)当a=3时,由知/(x)在 1,2上是减函数.在 242上是增函数.7又/(1)=0,/(2)=2 3/2 0e二函数/(x)在 1 E 上的值域为2 3/n 2 l 力56.解析(1)/(x)=3x2-9x+6=3(x-l)(x-2),因为 X(-8,+8)J (x)2 加，即 3/-9x+(6-加)2 0 恒成立，3 3所以八二81-12(6-加)0,得加-一，即加 的最大值为一一4 4(2)因 为 当x 0

21、;当l x 2时，/(1)2时，/(%)0;17所 以 当 X =1时,/(x)取 极 大 值/(1)=|-;当x =2时,/*)取 极 小 值 2)=2 a;故当/(2)0或/(1)0时，方程/(x)=0 仅 有 个 实 根.解 得 a g.7.答案(1)1 (2)/(%)在(-00,1-加)和(1+私+8)内减函数,在(1一小,1+小)内增2|函数。函数/(X)在 X =1+相处取得极大值/(I+)，且/(I+机)=/+巾2 一 2 1函数/(X)在 X =1-机 处取得极小值/(I 一加)，且/(I 一机)=一m +7722-解析 解析 当加=1 时，/(%)=+x2,/(x)=%2+2

22、%,/(1)=1所以曲线y =/(x)在 点(1,f(1)处的切线斜率为1.(2)解析/(x)=-x2+2 x-m2-1,令/(x)=0,得到x =1 =1 +m因 为 0,所以1 +小 1 一机当 x变化时，/(x),r。)的变化情况如下表：X(-o o j _ n1-m(1-m,l +1+772(1+m,+a/,(X)+0-0+/(X)极小值Z极大值/(X)在(一8,1-m)和(1+加,+8)内减函数，在(1 一加,1 +2)内增函数。7 1函数/(x)在x =1 +m 处取得极大值/(I+in),且+2 q o 1函数/(X)在 尤=1 一 2 处取得极小值/(1一加)，且/(1一加)=

23、一1/+相“(3)解析 由题设，f(x)-X(-X2+X +/722-1)=-x(x-x1)(x-x2)所 以 方 程-g/+x+加2 _1=0 由 两 个 相 异 的 实 根 X“X 2 ,故 马+马=3，且4 1 1 =1 +(加 2 _ 1)0 ,解得加 -,3因为X X +工2 =3,故 118若 玉4 1/，则/=一；(1一七)(1一乙)20,而/区)=0,不合题意若1 用 ,则对任意的x 匹,它 有 元 一/-0,x-x2 0,则/(1)=一；(工一天)(工一12)2 0又/(尤1)=0,所以函数/(X)在的最小 值 为0,于 是 对 任 意 的 工 出 户2，X)/(1)恒 成

24、立 的 充 要 条 件 是/(l)=/n2 一;0,解得 一 丑 加把一1 V 3综上，m的取值范围是(1,?)【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。8.解析(I)由已知，切点为(2,0),故有 2)=0,即4 b +c +3=0又f(x)=3x2+4 b x+c,由 已 知/(2)=12+助+c =5得 汕+c +7 =0联立，解得匕=-l,c =l.所以函数的解析式为/(x)=d 一2/+%_ 2 .4分(I I)因为 g(x)=-2x?+x-2+m x令 g，(x)=3x2-4 x+l +=0当

25、函数有极值时，则A NO,方程3 4 x+l +7 =0有实数解，3由 =4(1 一 2)2 0 ,得2 2当 2=1时，g (x)=0有实数X =,在X =左右两侧均有g (x)0 ,故函数g(x)无极值当机1时，g (x)=O有两个实数根王二；(2-J l -An),/=；(2+J l-m),g (x),g(x)情况如下表：X(-8,%)(和)x2(%+8)g (x)+00+19所以在加e (-oo)时，函数g(x)有极值；g(x)/极大值极小值/当x=；(2-J 1 一加)时,g(x)有极大值；当x=；(2+J l-m)时,g(x)有极小值;.12分9 解析(1)/(x)=3x2-3a=

26、3(x2-a),当a 0,当a0 时，山/(X)0解得 x 或x布 ；由 /(x)0 解得一五 x 4a,当。0时，/(x)的 单 调 增 区 间 为(8,-G),(J 7,+8)；/(x)的单调减区间为(-yfu,yfciy o(2)因为/(x)在x=-l处取得极大值，所以/(-l)=3x(-l)2 3a =0,；.a =1.所以 f(x)-x3-3x-l,/(x)-3x2 3,由/(x)=0 解得 =-1,=1 o由(1)中/(x)的单调性可知，/(x)在 =-1处取得极大值/(一1)=1,在x=l处取得极小值/(1)=-3。因为直线y =，与函数y =/(x)的图象有三个不同的交点，又/

27、(3)=19 1,结合/(x)的单调性可知，加的取值范围是(-3,1)。10.因此，由上表知f(x)的 单 调 递 增 区 间 是(0,4)与(红,2万)，单 调 递 减 区间是(万，也)2 220极小值为f 苧哼极大值为/(%)=x3+hx2+c x+d11由 3得/(-)=ax2+2 bx+c因为 fx)-9x=ax2+2b x+c-9x=0(*)+2b +c-9=0V的两个根分别为1,4,所 以1&+眇+c-36 =02/?+c 6 =0 0,所 以“3 在(-8,+8)内无极值点”等价于“广(工)=渡+2 +。2 0在(-8,+8)内恒成立二由(*)式得2b =9-5 a,c =4 a

28、。乂 =(23 2 _ 4ac=9(a-l)(a -9)a 0解标=95-1)5-9)0 we l,9即。的取值范围0 912.规范解 答(I)当 a=l,b=2 时，/(X)=(X-1)2(X 2),因为,(x尸(x-l)(3x-5),故/(2)=1,出2尸0,所以聆)在 点(2,0)处的切线方程为y=x-2a+2 b a+2 h(I I)因为/(x)=3(xa)(x 3),由于 a v b。故 a 3.a+2 b所 以f (x)的两个极值点为x=a,x=21a+2b不妨设 xl=a,x2=3,因为x3W xl,x 3 W x 2,且 x3是 f (x)的零点，故 x3=b.a+2b a+2

29、b又因为 3-a=2 (b-3),所以玉/4，,七成等差数歹1 J。1 t z +2/?2a+b所以 4=2(a+3)=3,2a+b所以存在实数x4 满足题意，且 x4=313.利用导数的几何意义列式求待定系数的值；(2)构造新函数求其导数，利利用单调性和极值证明。解：(I )。.(X)-In x)XU+1)2W)=i g二，由题意知：,I B ULx/(1)=_ 上 b2 2_2 a=b=1(II)由(I )知/(幻=七 +,，所以,X +1 X/(X)一In x1 /C 1 尤 2 -1 k 2 1 n A 丁)r2 _1设/i(x)=2 1 n x ,(x0)则，h(x)=1 JX X当

30、X H 1 时,h x)0,当xe(l,+8),时力(x)01-XIn r|n r从而，当x 0时，/*)一叫土 0,即/(x)上上x-1 x-1点评：这道题考查导数的概念、几何意义、导数的应用(证明不等式)；考查分析问题解答问题的能力；其中构造函数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一。22【解析】：(I)因为_/(x)=/l n x-x?+ax(a 0)所以/(x)=-2 x +a=)(2x +a)由于”。X X所 以 的 噌 区 间 为(0,a)，减区间为(a,+8).(I I)由题意得/(l)=a 12e 1即。之 八 由3)知在 口,避单调递噌,要使e-l/(x)2对x

31、e l,e怛成立，只要，/、,a 2 之解得以=。f(e)=a2-e2+ae 0)所以/f(x)=-2 x +=(X 2 x+a)由于a oX X所以/(X)的噌区间为(0,a)，减区间为(a,+8).(I I)由题意得_/(1)=-12-1即。2 .由(I)知/)在 l,e单调递噌，要使e-l/(x)e2/=a 1 之c l对x e l,可怛成立，只要 ：2 2解得以=f(e)=a2-e2+aee215.解：i f(x)=x3+ax2+bx,W f(x)=3x2+2ax+b oV I和-1是函数/(x)=d+/+云的两个极值点，./(1)=3+2 +力=0,/(1)=3 2 +=0,解得。=0,6=3。(2)由(1)得，/(x)=？-3x,/.g(x)=f(x)+2=x3-3X+2=(X-1)2(X+2),解得玉=1，x3=-2。当尤一2 时，g(x)vO；当一 2 v x v l 时,g O O,x=-2是g(x)的极值点。;当一2V xl 时，g(E)0,x=l 不是 g(x)的极值点。23g(x)的极值点是一2。24