高考真题文科数学汇编5：数列.pdf

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1、高考文科试题解析分类汇编：数列一、选择题1.【20 12高考安徽文5】公比为2 的等比数列 a,的各项都是正数，且%产 16,则%=(A)1 (B)2(C)4(D)8【答案】Ac t-c i y 16 sc ij 16 s-c i 4 a、x 2 s。5 12.120 12高考全国文6】已知数列%的前项和为S ，q=l,S.=2 向，则S 二(A)2 T (B)(|)_,(C)(|),_|(D)击【答案】B【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。【解析】由S“=2 a“+|可知，当=1 时得牡=g s =；当 2 2 时，有 S“=2 4M S,i =2。3

2、 1 3一可得an=2a+-2 an即an+l=,故该数列是从第二项起以-为首项，以万为公比的等比数列，故数列通项公式为%=彳(=1)(2)当=1 时，S 1=1=(2)I,故选答案B123.120 12高考新课标文12 数列 斯 满足。田+(-1)斯=2-1,则 四 的前60 项和为(A)3690 (B)3660 (C)1845(D)1830【答案】D【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.【解析】【法 1】有题设知出 一q=l，%+2=3 a4-a3=5 a5-a=7,a6-a5=9,。7+。6=11，。8一。7=13,a9+Z8=15,。0 一。9=17,a +t

3、z10=19,a12-a1 =21,工一得q+%=2,+得4+2=8,同 理 可 得%+%=2,a6+8=24,a9+an=29。10 +2 40，,:.6 +的，为+%，+，是各项均为2 的常数列，出+。4，&+8，%0 +。1 2 是首项为8,公差为16的等差数列，/.。的前 60 项和为 15x 2+15x 8+x 16x 15x 14=1830.【法 2】可证明：鼠1 =&4+1+”4，+2+a4 n+3+。4，+4=04-3 +4 -2 +4 -2 +1 6=+1 615x 14队=6+%+%+%=1 0=5 =!0 x l 5+x l 6=18304.120 12高考辽宁文4】在等

4、差数列 a O 中,已 知&+a=16,则色+&。=(A)12(B)16(C)20 (D)24【答案】B【解析】：4 +。8=(6+3d)+(q+7 d)=2q+10 J,a2+ai0=(q+d)+(q+9 d)-24+10 J,.,.a2+a10=a4+as=16 故选 B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。5.20 12高考湖北文7】定 义 在(-8,o)U (0,+8)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列 a n ,f(a)仍是等比数列，则 称 f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在(-8,o)U (0,+8)上的如下函数：f(x)=x2；

5、f(x)=2X；/(=拒 T；f(x)=l n l x I o则其中是“保等比数列函数 的f(x)的序号为A.B.C.D.【答案】C6.120 12高考四川文12 设函数/(x)=(x 3)3+x l,数列 4 是公差不为0的等差数列，/(。1)+/(。2)+，一+/(。7)=14，贝 4%+生+%=()A、0 B、7 C、14 D、21【答案】D.解析；4 是公差不为0的等差数列，且/(,)+/伍2)+/(%)=14，-3)3+%1 +(%3)3+g 1 +(%-3)3+%T =14 (+%7=14/.Q +2 1-。7=21 点评 本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了

6、等差数列性质的应用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观察其特点.2H7F7.210 2高考福建文11】数列 a j 的通项公式*=c o s,其前n项和为Sn,则 S 20 12等2于A.10 0 6B.20 12C.50 3D.O【答案】A.考点：难度：分析:计算和。数列和三角函数的周期性。中。本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组解答:a4 ll+l-(4/2+1)x c o s-=(4 +1)x c o s 5 =。，。4+2=(4 +2)X c o s 4”+3(4 +3)x c o s。4“+4(4 +4)x c o s(4/?+2)万2(4

7、+3)不2(4 +4)乃2(4n +2)x c o s 7 i-(4n +2)，3万=(4 +3)x c o s 奇二。，=(4 +4)x c o s 24=4 +4,所以。4n+1 +a4 n+2+。4.+3+。4+4=2。201 2即 S 201 2=*2=1 006。8.1 21 02高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是(A)a,+a3 2a2(B)+aj la；(C)若 a产a?,则 ai=a?(D)若 a3 ai，则 a4 a2【答案】B【解析】当q 0 国 0 时，可知q 0,4 0,所 以 A 选项错误；当 q=l 时，C选项错误；当q a2=ayq aA 由 S 3

8、+3S 2=0,得,9 q=0,二 q=0 与%是等比数列矛盾，故qWl,由S 3+3S 2=0.得，皿 二 心+迎 匕 2=0,解得q=-2.-q 1-0,所以4 1,，4=21 6.1 2 1 02 高考北京文1 0 已知 a j 为等差数列，S”为其前n项和，若 弓=,S2=a3,则2 2=，S n=o1 )1【答案】a2=l,S -n2+-n(解 析】S2=a3,所 以 +%+d=q +2 d=d=g =生=%+4=1，Swn=(+1)o4【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前项和公式的计算。1 7.【2 01 2 高考广东文1 0 若等比数列 4 满 足 与%

9、=g，则。口弧=.【答案】-451 2 1 2 4 1三、解答题1 8.(2 01 2高考浙江文1 9(本题满分1 4分)已知数列 a j的前n项和为Sn,且Sn=2 n2+n ,n G N *,数列 b j满足 a n=41 o g 2 b n+3,n G N *.(1)求 a n，bn；(2)求数列 a n b n 的前n项和T n.【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。【解析】(1)由 Sn=2 n 2 +n 得当 n=l 时一，q =S =3;当 n 2 2 时，=S“一S _ =2 2+一2(

10、一I)?+(7?-1)=4“一1,n G N *.由 a n=41 o g 2 b n+3,得 瓦=2-1,n N *.(2)由(1)知=(4一n G N *所以7；=3+7乂2 +1 1乂2 2+.+(4一1 2 7,2 7；,=3x 2 +7x 22+l l x 23+.+(4n-l).2 2 7；7；=(4 -1)2 3+4(2 +2?+2 )=(4-5)2 +57；=(4-5)2 +5,n E N *.1 9.1 2 01 2高考江苏2 0(1 6分)已知各项均为正数的两个数列%和 满足:氏+1/+=,n G N *,A/+bn2(1)设b,=l +,n G N *,求证：数列%)是等

11、差数列；a“,(2)设=拒n e N *,且 a j是等比数列，求生和乙的值.an6【答案】解：v bn+,%(.2%+1 0,bn0,4aJ+片 (%+么/1 ()知“0,下面用反证法证明仆1若4 I,则%=log”也 时，+1 =aiqn 42,与(*)矛盾。4%若0 。2 1，当 lOg“,时，。+1=。1 夕“1，与(*)矛盾。q%.,综上所述，q=o ,斯=%(N*),/.1 tZ j/2 0又%+1=0%=亚 (e N*),；.a 是公比是它的等比数歹h 1%若q w 啦，贝 I 也 1 于是瓦 v b2 V b3 0%又由an+-f r+也 即q=.%+2，得仇a：2 -a；:八

12、,b2匕 3中至少有两项相同，与仇vb2 Vb3矛盾。，。=近。7 4l|=Z?2=y/【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设为+1 =%+.和b=1+%M+b；%（h 2 2证 明 L 一 =1而得证。、册+1 7 n）从而（2）根据基本不等式得到1 0,且;lqa“=S1+S,对一切正整数都成立。（I）求数列 4 的通项公式；（U）设 0,2=1 0 0,当为何值时，数列 1g-的前”项和最大？%解析取 n=l,得21=2=2,%（/Iq 2）=0若 ai=0,则 S=0,当 n 2 2时,a =一%_1=0,所以a =09,2 2若 ai。0,则

13、a=,当 nN 2时,2a =不+%,2azl_,=+w.i，A 4 A卜.述两个式子相减得：=2an_1,所以数列 an是等比数列综上，若3|=0,则/=0若 aj。0,则%=.7 分A 当%0,且丸=100时,令仇,=lg,所 以，b=2-ng2a所以，bn单调递减的等差数列（公差为-lg2）8则 b|b2b3.b6=Igl=026 64当e nN7 时q ，bb,100,1 0 0 ,M7=1g7-=1gyzz 3.记数列I 4 I的前项和为S”.当=1 时,E=1%1=4；当=2 时，S2=ai I+1 a21=5；当拉N3时，S“=S2+I%I+I4 I+14 I=5+(3x3 7)

14、+(3x4-7)+(3-7)5 (-2)2+(3-7)=3 U+i o当=2时，满足此式.2 2综上，S=.2【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式4 =%+(-1”求解；有时需要利用等差数列的定义：a,4 1=c(c为常数)或等比数列的定义：2=c (c 为常数,c/O)来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨11论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.25.1

15、2012高考天津文科1 8 (本题满分13分)已 知 是 等 差 数 列，其 前 项 和 为 S“，八 是 等 比 数 列，且a1=b1=2,a4+b4 T1,sa-sb=10(I)求 数 列 a Q 与 b n)的通项公式；(I I)记Ta=a工 b2+a2+bi+.an+bn，n e hi证明TN-8 =an-bnT，(ne na,n2)【解析】(1)设数列%的公差为1,数列 4 的公比为q；J%+d=2 7 J 2+3d+2/=2 7 川=3S4-b4=10 4%+6 d-2/=0 q=2得：an=3 n-l,bn=2n(ID a也=G k-l)x 2=(3%-4)x 2人|(3女-7)

16、x 2k=c,+1-c,(k e N*)Tn=(c2-c,)+(c3-c2)+-+(cn+1-cn)=cn+i-c,=(3 -4)x 2,1+l+8当2 2 时,T“-8 =%2 6.12012高考山东文2 0 (本小题满分12分)已知等差数列 a 的前5 项和为105且 a2()=2a5.(I)求数列 凡 的通项公式；(H)对任意m e N*,将数列 a“中不大于72M的项的个数记为粼.求数列也“的 前m项和 S心【答案】(I)由已知得:5q+104=105,a+9d=2(q+4d),解得 q=7,d=7,所以通项公式为a“=7+(n-l)-7 =7n.(H)由 a“=7 4 72m,得 4

17、 7 2 a,即 粼=72*1-h=J72m+,=49,bk 7以 一 0 是公比为4 9 的等比数列,中4*A1227.12012高考全国文18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）H +2已知数列 4 中，q=l,前项和S“二4。（I）求，%；（I I）求 他“的通项公式。【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。7 4-2解：(1)由1=1与S=-a 可得1”32+2S=ci)+a2 =3q=3S3=%=q+4 +a3 n I%=q+4=4 n 4 =6故所求4,4 的值分别为3,6。(2)当 2 2 时，S”等a“5,一=誓。,1一可得S,S,-

18、=等。怨。,一即+2 +1 H-1 +1 an +1%=ra 一二%=工 册=an_=-3 3 3 3%-1辽*an an 1 +1 3 斗故有 Q=-x x x x 6/.=-x-x x-x 1 =-ann .ann?L CL1 n-1 n-2 1 21 /+而 一=1 =4，所以 4 的通项公式为a“=y-【点评】试题出题比较直接，没行什么隐含的条件，只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论。28.12012高考安徽文21（本小题满分13分）设函数/（x）=X+sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn）.（I）求数列 x“的通项公式；(I I)设 x,J 的前

19、项和为S“，求 sinS“。【答案】【解析】/(x)=-14-sinx=/x)=-+co x=0 x-l 0 2k7i x 2k兀 H(k Z),27r 47r/(x)0 2%乃 +-x。4 火-3.12分因为所以“4 1 1-1 =(a 1)(8%3)即 a 4 K-2 6 u-i ；a4 k-a4 k_2 =2(2a 1)(4 攵-1)0 ,即 a4 k a4 k_2.15又 a4k+a 4 k9从而砥-3 =4-3，b 4k_2=a 4k-2 =a4k-2 9 4A=a4k,.15 分因此 3 一。1）+（2 一。2）+3 1 0 0 一。100）二（“3 一 3）+电 一?）+S o-

20、0）+（鼠 1 一）+（%9 一。99）二（2 一。3）+（6 一%）+（9 一。10）+h（a4k-2 a4 k-l）-（。98 一。99）25 25=2（4*-2 一%1）=（1-。）2（8女-3）=25 25（1-4）.18 分*=1k=【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视.30.【2 0 1 2高考广东文1 9（本小题满分1 4分）设数列 为 前项和为S“，数 列 的前几项和为7；,满足7；=2 s

21、“2,/jeN*.（1）求q的值；（2）求数列 的通项公式.【答案】【解析】（1）当=1时，（=2 S 1 1。因为式=S =%,所以q =2 a）-1 求得at-1 o（2）当 2 2 时，S =7；-7；_,=2 Sn-n2-2 S _,-（n-l）2 =2 S -2 S _,-2 n +l,所以 S“=2 S,i+2 l 所以 S“+I =2 S“+2 +l -得 an+l=2 an+2,所以4+i+2 =2（%+2）,即 4士J 2=2 （n 2 2）,氏+2求得 4+2 =3,生+2 =6 ,则%+2=2 o%+2所以 ,+2 是以3为首项，2为公比的等比数列,16所以 a“+2 =

22、3-2 T,所以4,=3-2 T 2,n e N*31.1 2 1 0 2高考福建文1 7(本小题满分1 2分)在等差数列 a0 和等比数列%中，a尸b=1,b 4=8,a j的前1 0项和S u)=5 5.(I )求 即和b*(II)现分别从 a0 和 b n 的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。考点：等差数列，等比数列，古典概型。难度：易。分析：本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前 项和公式和古典概型，直接应用。解答：(I)设等差数列%的公差为d,等比数列 ,的公比为q则 S。=1 0 q+4 5 d =斜-d-an 可*)d n

23、-bq=8 n q=2 n b“=b、x q=2 1得：an=n,bn-2 1(I D 4=1,电=2,。3=3曲=1,4=2,4=4,各随机抽取一项写出相应的基本事件有(1,1),(1,2)(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)共 9 个符合题意有(1,1),(2,2)共2个2这两项的值相等的概率为士93 2.【2 0 1 2高考江西文1 7(本小题满分1 2分)已知数列|a的前n项和(其中c,k为常数)，且a?=4,a6=8a3(1)求 an；(2)求数列 n aj的前n项和T“【答案】17【解析】(1)当”1 时，4“=S“S“T=%(。一C T)则 a”=S,S i=Z(c Y i)%女(。6 c),%=k(C C )“6 _ 5=-=C3=8.,.c=2.a2=4,即上(L C)=4,解得k=2,；.4 =2 (n)1)a3 c c当 n=l 时，q =S =2综上所述g =2 (n e N*)(2)nan=n2n,则T=2+2-22+3-23+-+M2(1)(1)-得2 Tn=1-22+2-23+3-24+(/?-1)2 +/?2n+l(2)-Tn=2 +22+23+-+2 -n2+Tn=2+(n-l)2n+l18