考研高数习题集(下).pdf

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1、下册目录第五讲：多元微分与二重积分.2单元一：概念.2单元二：偏导与全微分计算.3单元三：隐函数求导（方程或方程组）.5单元四：二元极值.7单元五：交换二次积分次序.9单元六：二重积分计算.10单元七：二重积分应用.14第六讲：无穷级数.15单元一：收敛定义.15单元二：数项级数审敛.16单元三：塞级数.18单元四：傅里叶级数.22第七讲：向量代数,解析几何与偏导应用.24单 元：向量代数.24单元二：解析几何.25单元三：偏导数的几何应用.26单元四：方向导数与梯度.28第八讲：三重积分与线面积分.29单元一：三重积分计算.29单元二：三重积分应用.31单元三：第一类线面积分计算.33单元四

2、：第一类线面积分应用.36单元五：第二类曲线积分与Grenn公式.38单元六：积分与路径无关性.41单元七：第二类曲面积分与Gauss公式.43单元八：第二类线面积分应用.46单元九：环流量与Stokes公式.47第五讲：多元微分与二重积分单元一：概念1.函数 Z=J x2 +y2 在(0,0)点 L A JA :连续不可导；B:可导不连续；C:可导连续不可微；。：全微分存在7 7，Y +y 2 H 02.函数 2 =+在(0,0)点 8 0 x2+y2=04 :连续不可导；B:可导不连续；C：可导连续不可微；O:全微分存在3 .函数(l)z=J W；(2)z=/x3+/在(0,0)点 C J

3、A :连续不可导；B:可导不连续；C:可导连续不可微；全微分存在4 .f=(x2+y2)F(x,y),其中产在含点(0,0)的邻域内有界，则/在 点(0,0)处：A :连续不可导；B:可导不连续；C：可导连续不可微；O:全微分存在5 .设夕(x,y)连续,F x,y)=|x-|(x,y),研究F(x,y)在原点的连续，可导，可微性.略(x2+y2)si n,x2+y2/06.证明：z=x2+y2 在点(0,0)可微，但偏导不连续.0 x2+y2=0K1序OX(0,0)(0.0)加 一(皆 心 +.旬)(&2+；2)si nAA 7J AJ2+A y 2 小 盘2+A y2(2)Z(X,O)=2

4、 1 f xx si n Xzv(x,O)=-dx2x(0.0)()2x=00 J2.u=xnf(,),/(#)的一阶偏导存在，证明：+y 几 x y ox dy oz，号小 后3.zy/U2-/),/3）可导，且m o,证明:1&+1&x dx y dy y2,2/,z/+2 y2/1.r2 14.与 a证明：方 程y 4-X=0有形如：=/（一 一 y2）的解.其 中/为 任 一可微函数.dx dyux=2xf uy=-2 y f,5.0Qze-x-f(x-2 y),且当 y=0时，z=x?,求：4dxf(x)=ex-x2,Z,=3-f(x-2 y)=-e-x+e(x-2y)+2(x-2y

5、)6.z=J(f(x-y,x y2),x=rcQS0,y=rsi n,/(#)的一阶偏导存在，求:包，包.dr SOdz=f-d x +xfy(dx-dy)+f2(y2dx+2xydy),Sw du du,、8.设J=x,=y-x,p=z-x,变换方程：一+=0.dx dy ozdu=ijd J+ud ju+upd p=udx+(dy-dx)+up(dz dx)/、，,du du du 二(2 u-u )dx+u dy+u dz=+=w=0ox dy dz9.证明：若y旦 一 工 二=0,作变换：=x,u=/+,2,则：生=。dx dy dudz=zudu+zvdv=zudx+zv(2xdx+

6、2ydy)=(z +2xzv)dx+2yzvdy=zw=0 10./()可导,z=f (ii)du，求:“.Jx-y dxdylzx=y f(x y)-f(x-y .=f(xy)+xyf xy)+fx-y)11./,g具有二阶连续偏导数，求：,其中：dxdy z=/(2x-y)+g(x,“)-lf+xg2+g2+xyg22(2)Z =-f(x y)+y(p(x+y)X=+W z=/(必 上)+g()y x略(4)Z=f(a x+j3 y,Ax-/jy)=a(P/；-/)+4(一；一/)d2712.z=/(x+sin(2x+y),y),求：y 略Sy单元三：隐函数求导（方程或方程组）,八、八 ,

7、I X十 及&1.(1)设y+z=ln-,求:丁,丁.z dx dydy+dz=,dz=(-dx-dy)x z 1 +z xx y vz犷 2 4&(2)e y+eyz-e 二小，求:一O X(2,1,0)dz=e2(dx+2dy),=e2&(2,1,0)a/a?2.尸（工一,一2）=0确 定1=2：*,）,其中/;。仍，求 二 +9.ox dyF(dx dz)、+,居(djy d,z)x n0,d,z F；dx+F；dy dz,8z-；-；n-1-1F、+F?dx dy3.x z=/（y-儿），其 中/可 微，。一 工0,证明：azxbzy=1.dx-adzf(dy-bdz),dz=(dx-

8、f dy)a-b f4.设z=z（x,y）由方程尸（x+工y+与=0确定,F偏导存在，求x竺+ygy x ox dy耳(dx d y +dz)+F2(一dx-dy+dz)=0=x+y=z-xyy y x x dx dy5.求:dxdy(l)x-eyz=0.i z+1(2)In-=y+zx6.Z=(-)S ：*|(1.yr,Z +l J ,/、z+i】dz=-(dx+dy)=ze=-z X xzzln z=lnx-ln y n (1+ln z)dz=-1口 =dx-dy7.u=xy2z3,且z=z(x,y)由/+丁+=3(zo)确定，求：一A()=(1,1)z=l,du=-2ax-ay2xdx+

9、2ydx+2zdz=0=dx+dy+dz=08.(l)z=w2+v2,x=w+v,y=w v,求：z*,Zy dz =2u du +2vdv,dx =du +dv,dy=vdu +u dv=dz =2x dx -2dy(2)z=x si n x-y2,co s y=ys in z,求：dy dz=(si n x +x co s x)dx -2ydy,-si n ydy=si n z dy+y co s zd zdx _ 2y2 co s z-si n y-si n zdy y co s z(si n x +x co s x)x+y=+u du du9.，求：一,一xsi n v=ys in u

10、 dx dyr,(x co s v+si n v)dx +(x co s v-si n u)dy 3 du =-xco sv+yco sw/(a)a 31 0.设I x，其中。=a(x,y),/可微，且有竺=竺，求:a(x,y).rdz x a-a _a.,a dz z、_ay r豕=-7-C +4/=一 了 可=丁 一(吗)=(x,y)=-y1 1.u =/(x,y,z f e C(l),且 =,7个若(L L 2)=1 JV(L 1,2)=1J(LT 2)=2,求在x=l 处的全导数Ix dx +ydy+z dz=0=3x dx +ydy-z dz -0dy-2dx .du2d7.八 力

11、心 7 处+/的+工 废=2 区乙 az ax ax=2 A=1单元四：二元极值1 .求函数/(x,y)=4(xy)x2 -y2的极值点.力=4-2X=0 /,。,、=(2,-2);4 =-2,8 =0,。=一2,4=-4=(2,-2)极大值点/y=-4-2 y=02 .求，(%,、)=(6工一炉)(4丁 一 丁2)的极植./=(6-2x)(4y-y2)，、/:；、n(3,2),(0,0),(6,0),(0,4),(6,4)n/(3,2)=36 为极大值4 =(6x-x-)(4-2y)3.z =z(x,y)由尤2+)，2+72-2一2一42-10=0确定,求极值3=(8-1)当 +()-1)4

12、=(1,1,_ 2),(1,1,6)n n(1,1,2)极小；(1,1,6)极大2-z4.z =(l+e)c o s x-ev有无穷个极大值而无极小值 z,=-(l+e?v)s in x =0.、L J ,、八=M(2叫0),(2+1)%,-2 q -e(c o s x-l-y)=0=A=-(l+e)c o s x,=-2(极大)；A%=e-2(l+2)(非极值)5.在2/+2+2=上，求距平面2x+y-z =6的最近点与最远点和最近最远距离.d,2 (-2-x-+-=y-z-6),三2 x 2 +y 2+z 2 l1 =L,=-(-2-x-+-y=-z-6)一 +A.(2x 2+y 2+z

13、2-1八)x=y =-z ,1 1 1.4,1 1 1.8 16.求/=%x：+a”x；满足+x“=c的条件极值 L =O j X12+a“x；+2(%)+x,-c)n q X|=a2x2=anxnC c2=/=-1-1-，(女=1,2,4 =-C l j.(-1-F d-)-1-F d-a a2 an a a2 an7.经过点(1,1,2)的平面与三个坐标面在第一卦限内可围成四面体，求体积最小值r 乃：一x+y+z =1=V =1ab c1,1+2+=1 =L7 =1 ab,c+A(1+1 -2-1)a b c 6 a h c 6 a b c-=7=-=75 a=b =3,c=6,V；n i

14、n(3,3,6)=9 a b c 328.求：z=2x+y 在 Z):一+K 1上的最值.q =2y2(1 乂 无驻点；(2)b=2%+丁 +4。2+2 _ 一1)15 V=1 42+2x4 0 1-二 =2%=(唱 0)*=2血,2而“=-2&1 H Z=0 LI 29.求/=/+1 2 盯+2），2在区域4尤 2 +；2 (0,0),f (0,0)=0;(2)L x2+12xy+2y2+2(4x2+/-25)n (2,+3),(土3去 4)n /3 1min(2,+3)=-5 0,/max(|,4)=106-10.抛物面z=f +/被平面x+），+z=1截成椭圆，求原点到该椭圆的最长，最短

15、距离L=x2+y2+z2+2(x2+y2-z)+(x+y+z-l)=x=y=,z=2+V3n%56;dm m=59+5百 11.设 4 0,4。一8 2 0,求在条件：x2+y2=1T,函数 z=Ax2+2Bxy+Cy2 的极大值与极小值之和(A 8)解(1)正定，之和=4+4 =A+C；(4 4,4)(B C)A+4 8 9?解(2)/=/+几 9=0,Ax+2Bxoyo+Cy+A=0 B C+A12.求椭圆：Ax2+2Bxy+Cy2 (C 0,A C-B2 0)的面积.法(1)S=1兀VAC-52(A7、BB、44)法(2)L-x+y?+A(Ax+Q.Bxy+Cy-1),2x+2Ax+25

16、y)=02y+A(2Bx+2Cy)=0=x2+y2=-2,1 +九4ABAB I-Ji=0,S=.=)=1+疣 7 一 阮下1单元五：交换二次积分次序.1.设函数/（x,y）连续，交换积分次序:(1)Cdx f f(x,y)dyJ Kin x2/=L(f(%)+二 x f。,y)dy(3)/=f dy R/(x,y)dx+f dy R/(x,y)dx4 4 f dy 落 X,y)dx+d y仁f(x,y)dx 1%区 J(x，y)dy-2.计算：fdy f.f(x,y)dx JL)-arcs in yf(x,y)dx I f dx/(x,y)dyd x f(x,y)dy I,?，x fr si

17、n y ,(2)x2dx e y dy/=卜”法=孙%哈勺x s in x dx=s in 1 -c o s l（4）J j n），+TF r y2.7 1X,2 f i 7 iy,4 小 、/=dy s in dx =I y c o s ay=(2+)J J v 2y 7 i 2 7 T d y f 与d x+d)J 坐dxJO e，Je ny/=j J x dy=j In x dx=2 In 2-1 /=exdy=x(e-ex)dx=g e-；五 3.证明：/（工 世./（产 2 3-4）2/=f f端仆=:必需倦s/产=Z 4.f dx f(x)f(y)dy=g f f(x)dx 2.左

18、式=f dy f 于(x)f(y)dx=f J x f/()/(x)J y =7 f f f(x)f(y)dx dy=右式J a J a J(i J a y J a J a5.证明：f f(x)dx 2(b-a)f2(x)dxJ a J a 左式=f f/(x)/(y)dx d)，；J J 2(刈+/2(历 必=右式aj?xa,b 另解：0 4 J J fM-f(y)2dx dy=f|f2(x)+f y)-2f(x)f(y)dx dy a,b x.a j)a,h x a,b 单元六：二重积分计算1.利用对称性计算：(1)j j (x +y)5dax2+y2(2)J JSn A-dx dy,D:

19、x=y2,x =l +l-y2D X I=J J C x5kykdx dy=0 x2+y2Z=0 J.kl+勺(x+y)2db./=8 j|x2dx dy=8x2c l x dy=x+y l(x,y 0)3(4)(x +y)s gn(x -y)dx dy05x l,0 y l2.单变量积分/=j j (x +y)s gn(y -x)dx dy=0 0 x l,0 0),其中。由圆心在点(。,幻,7；V 2a-x短一段弧和坐标轴所围的区域.产 1 p-V 2av-x2=1 f=d x dy-sjla-x小(4)JJ em m lx2y dxdyO,IJxO,lI(5)yfxdxdy,O=(x,y

20、)|x2+y2 K l3.jj(x +y fd x d y,O 由 x+y 二D【/=f xdx R y +f xdx =-2 2 N_ ri ri-x 4,/=8 xdx dy=Jo Jo 3=l,x+y=2,y=0,y=2 围成.I=dy (x+y)3 Jx=-f (16-1)dx=y 4.求 JJ jx d y 由 孙=l,x=y 及 y=2 围成.D y口=中中5.计 算(sin d x d y,其中D是以直线y=x,y=2和曲线y二D y,1 1 w 9卜=彳(y-?)力=”2 y 16=也为边界的曲边三角形./=j dy f sin x=y.2 3 J J(ycosl-ycosy2

21、)dy=c o sl-sin4+sinl6.ex+ydxdy.W+yiI=dx ex+ydy+p x：e 0=e-7.“分块”积分(l)/(x,y)=,*计算/=y)d a,。由x?-丁=i,y=o,y=2所围.1 X求。/（苍）加 力 淇 中。=区）*+，222灯(2)/(x,y)=2%yoD 为无界域,/=f x2dx ydy=j(x4-x3)Jx=JI ly-x2dxdy,同、04y 42I=f/x j：ylx2-ydy+：dx：y-dy=(x3dx+(2-x2)2Jx)=|+1(4)j|sin(x+y)dxdy0,开冈0,“俨 俨一 x 严 俨I=dx sin(x+y)dy-dxj s

22、in(x+y)dy=218.设/()在0,1上连续，。由x+y=l与x轴，y轴所围，证明:j7(x+y)d b=xf(x)dxD 左式=(d x f f(x +y)dy-dx f(u)du=dx=右式9.极坐标计算(1)jj(x2+y)dcy(jr-l)2+y2 l/cos=8 f cos6 Odd=亍 2 J J2 L,2 3=H)(J+y 2 M b=1%J J(/+y2 W。,。：y=42x _ x2,y=J 4-X2,%=0 所围.DJ 曾 二 、汽/=p d e h/公=4 F(1 -c os4 0)d0=(4)jjyjx2+y2dx dy,Z):2 xx2+y2 4.D/.=2j椁

23、(八2 j d2 rj+f?d 0 f)2 厂2 )=2c(/4 -1 6 +-4 )=1 6 z r-3 2(5)|T：+/6 X 2 +);2 1.”+y,r，C，“c os O +s in。)，居/八 .八 1、，八 c )、/=d 0 1-J-p (c os 6 +s in。-l)d。=2 c os 6+s in9 r 2(6)J jJ冗2 +y1 dx dy,。由 y=x 与 y=/所围D冗1 s i n 6 i 元/=严 产 =f(7)J J xy公d y,P :x2+y2 1,y 0.D/1 x2+y2 41 0 /(x,),)=,一 甘:一，D,0 x 2,0 y 0,y 0,

24、x+y l.o x+y11=R dep co s(cs sine f上 )c os O +s in。2 上f r+4-(22-l2)=-g-3-+4 4c os(e 丛 e)(一i 一)2,c os 3+s in 3 c os 6 +s in 6=1 4 c os/t-C-O-s-O-s-i-n-。)、d(-C-O-s-S-s-i-n-。-)、=1 s i.nl1 14 小 c os 6 +s in 6 c os 6 +s in 6 21 2./连续，且/(x,y)=x y+，/(x,y)d d Q：0 x 2,0 y =-1 DD13.J 连续，且/(x,y)=-2-y2-J j/(w,v)

25、du dv f(x,y)nD a f(u,v)du dv,a=J jJ l-x?rf xt/y-=d e 4l-DD)8r2 rdr-an a=转(1一 菠 。与 J,/(x,y)=7 1-x2-y2-1(-l)j单元七：二重积分应用1 .求F=2盯被平面x+y=l,x=0,y=0所截得的曲面面积.0 1丁 =2 皿 1 +=亚 丫2.球 面+丁+/=a1含在柱面x2+y2=b20b a)内部分的面积恰为全球面积的一半，求 S =2 f f ,a=dx dy-4/ra(a-yl a2-b2)=2兀a2=b =y/3a x2+y2“也收敛.s 2n T a,52 n+I=52+u2n+l fa+

26、o=an s”f a 2 .设：=d(常数)，lima“=+oo,证明级数：V-收敛.，U%a a a a t-a,a,a、n+m n n n+n+m-n+n+2 n+m3%an+ian+2-an+mJ+83 .an=x2(1-x)dx,证明:X。收敛，并求和.n=-.5,=-1-5 +1)(+2)(n+3)2 x3 (n+2)(n+3)-6+8 M H 1 Y 1 另解：工 期=J)x2(l-x)/，j x=1犬-J x=n=n=%6+8+R4 .na“收敛，又Z(%-q-i)收 敛,证 明:收 敛.n=n=0 S：=(4 0 +%+.%T)=n an-5.设抛物线),=/上的点。2,是这样

27、得到的：过。作抛物线切线交X轴于鸟,过鸟作y轴平行线交抛物线于口,再过必 作抛物线的切线得巴 ，这样无限作下去,又片为(1,0)点,求 之 获.n=l。区,),玉=j7 =1,xn-,QnPn-y=x：=/7=不了,1。匕=1单元二：数项级数审敛1.若 l i m%=l,且收敛，问:“是否收敛？否!反例:4 =耳上,丫“=斗 二 匕i s /=1”1 yjn yjn n2.设：a“=ta n x d x,求，4+4+2)的值；出证明：任意丸0,级数工务收敛.(1)4+*=1n+1y8 1!占(+i)=1 ；加,“土 点收敛a h3.anO,bn 0,且满足：3 “发散 b,anooB:/lJi

28、-Xm(q +电+%)=00；D:lim(|aI|+|a2|+-+|a|)=oo6.设(=1,2,)，则下列级数收敛的是8 00 8A:Z(-D%；B:2;C :Z4+I+)；n=l n=l n=l7.设 a 为常数，则 级 数 理 箸 _n=l C00D:H=lCA:绝对收敛;8 :条件收敛;C：发散;。：收敛性与。的取值有关8 .考察下列正项级数的敛散性Inn i,I nnun=efl+i-l,收敛n+1+8 J Z(西T)M=11 r 1 ,1 1 I-j=n-yd x =-7=r a r cta n 收敛Jn 力 l+厂 y/n u 发散n+8(4)Sn=l(2/z-l)!3.n!1

29、1 1 1 1 生 旦=0)n=na3*(6)7 -.=：0Q1敛is un a9 .考察下列交错级数的敛散性00_ _ t a n /+2万)M=1(2)设 a 0,ta n(v2+4%)=ta n(J 2 +4-)乃=ta nyj n+几 +Q 7r：条件收敛2nS (I)n(l sin cos-).=in n1 .a a aI-sin-cos=-+n n n0()条件收敛n白(一 1)3(3)y 2 3+(2)3 I-条件收敛nn3n+(-2/(4)设a“为等差数列,d w O,s“=q+a2+。“，问:Z=l(1 尸是否收敛(说明理由).1112sn=na1+n(n+l)J,一=-：-

30、绝对收敛-na+n(n+l)d1 0.考察级数：=-广-1-1-1-(=-|=-F 的 敛散性2 V2-1 2 V2 +1 2 V3-1 2/3+1 26-1 2册 +11 1,8lbn 4-4=,发散n原级数发散2/n 1 2A/Z T+1 4 1 n=21 1设”，/，=当 =1，2,），求证：兽皿收敛.1-H30+00 1 12 ”1+力收敛网%-0=Z(T 严 收敛M=11 2.设=/+优x-l,其中是正整数,。1.证明:方程(幻=0有唯一的正根明(2)若S“=+弓+4,证明S =limS“存在，且-J 8 Q _ a _ a_1i1(1)/,(0)=-1,fn()0 J；,(x)=3

31、x2+0=0 z;,(唯一)a a(2)S=/；收敛，S B=乙/-C l C l C l w=|1 7-1单元三：塞级数1 .求毒级数的收敛半径:00o)Zn=ln2 +(3)lim 富=+“T O Oll/?=V3%20(2)EM=12.若 的 收 敛 半 径 为R/l=l(2)!、,2,.-I遁.u I 2(2 +2)(2 +l),2-1T8 Ufl T (+1)2则(l)a“x -2的收敛半径为:/=!R+30+83.的收敛半径为3,求Z a,（xT）T的收敛区间.n=ln=|X-1|XG(-2,4)4.求嘉级数的收敛域:(-1 严 ln(+D(x +i)”+“1 1(2)Z(1 +7

32、+)/M=i 2 n+00-.nE A;-=2 I n nln(+2)|x +l|,.lli m-=x +1 =xe(-2,0 J(+l)lnS +l)|x +l1 1(1 +Llim-=I x l=x e (-1,1)(1+;+.+婀lim-7=x n xe-1,1)ln(n+l)-|jc|5 .将下列函数展开成x的福级数，并指明展开式成立的范围(l)/(x)=(l+x)ln(l+x).(x)=l+ln(l+x)=l+xn/(x)=x +xe,xw(Tl(2)/(x)=sin2 x.(x)=1-cos 2 x2先霸2 x)Yn=l/_ i z+l Q2H-1/(%)=ln(l+x2/x.l/

33、W=f(E(-1严n,2_00_/_1 y i+1)dx=21/M,xe,U(2 +l)”、1 +X 1 ,1+X(4)j(x)=a r cta n-+I n-1-x 2 1-x 3=告=2沙=0 1 ；x4n+1,x e(-l,l)M 4 +l即占 或：/叱)(占，。)=77=2(f x )X=(2 +1)X,X G(-1,1)(1 -x)一 -xn=0 n=0 n=06.将/(x)=ln(3x -x 2)在x =l处展开为基级数Y-1 f-1 Y,+12n-1-l x-l l,/(x)=ln2 +ln(l+x-l)+ln(l-)=1 1 1 2 +-.(x-l)n2 =i n-27.1 _

34、 2 V+8将函数/（x）=a r cta n-展开成光的幕级数，并 求 级 数 的 和.1 +2x =o In+1心=一曰-2 (-4 x2)=22(-l)n+122n+lx2M=0n=0/1 1、，工 W（一不7）；2 28.将/(%)=X1产ar c t an x =n=09./(x)=%-ZJ=Oar c t anx,x w Ox =0(-l)n-X2 +l(-Dn+12/1+1爰 ”（一 贵2号登D”展开成X 的累级数，并 求 级 数 二;干 的 和.Zf l-4/z-求嘉级数的收敛域及和函数三(x-3)F心6),S 啕(一 芋 i j+00/1 X W-1(2)y 公 占 2/1-

35、1产一(_ 1XH-1Q=-1,1,S(x)=x V-x2n-1 ar c t an x”=2-1(3)y-7心+i)Q=-V2,V2,X2-1 f,S(f)1n+1Yt+ln(l-r)-t 2%2 2、=ln(l t)H-=1H-ln(l f)=1 d z-ln(2x)t t x -1%。年2 +1 x2。=(-00,+oo),S(x)=(y-x2,+l)=(x e )=(l+2x2)e“=o!+00(5)En=(2-1)/一 22rQ=(-V2,V2),S(x)=(J -)1 =(.-)=-17=，Z L X(Z X )不2+1”00Q=(-1,1),S(x)=几=x(x，y I n(l-

36、x)=n=l n=”=1x=Tn(I)n=o n!r Q=(f,”),Y t f s(t)(Y tn+i y=(/y=(1+r)/=(1+X?y1 =o!10.求：x+L/+1 d+的收敛域及和函数1x3 1x3x5_1 2 _ 1 2Q=(8,+oo),S(x)=l+xS(x),S(0)=0 n S(x)=e5 丁 4 11.s”是以。为首项,d为公差的等差数列部分和，求Z s“x 和.n=ls=。+(一l)d,Q(1,1),力 i 工 i 工 n x +7 n(n-1)d)x=a x(x)+-dx2(x)=-M=I 2 n=l 2 n=l(i 一切(i-x r12.求和:(1)V-=V-=

37、e-l-(e-l-1)=1 5 +1)!占！(+1)!0c 11 工 1 1 1 1 丫2S(x)=(-)工=-x In(l-x)(-ln(l-x)-x -)2弱 n-+1 2 x 2=(，-x)ln(l-x)+1 +勺，S(g)=一|一 In 22 x 2 2 8 413.求/(X),使之满足：fx)dx=ex.设/(x)=Z a“x,n=0OY x 6 丫+】-f(x)dx=y _ _(2(t+l-l)xn+1;-1 =Y n 士+1 (+l)!7 7-K 1*v,1 丫14.设xw(0,),求(l)limcoscos cos匕；(2)和函数S(x)=12一rtan-x x x sinx

38、sinx(l)limcoscos-cos=hm-=-;2 2-2 f8 x x2 sin rz1 x x,八 sin x-I=(-In J|c o s)=-(In-)=cotx“=2 x x(2)S(x)=(T n cos$n=l 2单元四：傅里叶级数017 1-7 1 X -2T C,x 01.设函数/(x)以2乃为周期，它在一个周期内的表达式为:/3)=2八 兀20 x 27 C,3 X7 12记S(x)为/(x)的傅立叶级数的和函数I T 7 T 求S(一,),S(7)；求/(x)的傅立叶级数的系数,b5.(l)S(-)=,S()=;(2)a5=0,=-2 2 2 2 37 T2.已知函

39、数/(x)以2万为周期，它在-巴)上的表达式为:/(%)=1 -7 1 X 0-T Q X/(x)一2工登(-一-1-)-一-1 s innx,S(x)=/(x),x n T Tn jr 7 i,.=i n 0 x-n 7 t0 X G )3.将/(x)hx,x e 展开成Fo u rie r级数，并求:之-2 2 H=i (2H 1)7 T2T0 x e(,7 i22U=0，b.=一7 1Jt2 x s in n x dx =x33 白 3_ o o )万 2(_ir(_ _ _)sinnx把/=10-x,x 5,15展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围an=(10-x)cos xdx-

40、0,bn=-(10-x)sin xdx=(-1)z*zf(x)=y(-1)1 sin-x,xe(5,15)“=i n 56.设/（幻是以2万为周期的连续函数，。”力为其傅立叶系数，求函数:”/(x)=I/(x+r)力傅立叶系数：4,纥71 J 5 尸连续,周期为2万1产 (1An=COS7ZX 兀 Ln 7T)/W(X +的卜=5。“心 +f)cos 时 卜=f/)(%cos nt+bn sin nt)dt=a：+b：7C -Bn=f sinnx)f=f/(r)|f f(x +t)sinnxdx兀工n I J-汗 )冗Ln 冗Ln Jcos nt-an sin nt)dt=bnan-anbn=

41、0 第七讲：向量代数,解析几何与偏导应用单元一：向量代数1.a 与 x o y,yo z,z o x 面 的 夹 角 分 别 为 久0 cos2 a+cos2 3+cos2/=sin2 +sin2 7+sin2 0=3-(cos2&+cos2 7 7 +cos2 二)=1 n cos2 J+cos2 7 7 +cos2 4=22.1(2,3,2),B=(2,3,0),求:x,使：且卜卜 7c=a x B=(6,4,12)=x=7c=(3,2,6)3.设向量x垂直于向量a=(2,3,1)和 B=(l,-2,3),且在向量 =(2,-1,1)方向上的投影为:-2而，求：x=i=r _2/6=k x

42、 -(-6,6,6)J|c|76 74.A=2。+。,8=左。+b,且同=1，W=2,(a b)=7 r,确定k,使:(2)以A与3为邻边的平行四边形面积为6司.与=2女同+(2+火)%+麻=4+2=0=左=-2(2)x 同=|2x五 十%Bxa卜 百|2-川=6=k=22/3 5.求证向量:公=(-1,3,2)范=(2,-3,-4),=(-3,12,6)在同一平面上，并沿 花分解2.ab c =0,c=kxa-k2b =5a-b 6.A(2,3,1),5(2,1,-1),C(6,3,-1),求点 A 到直线3C 的距离|BC|J=|BAXBC|V5J=|(-4,6,-2)|,d=磊 7.a,

43、B为已知非零向量，证明：当丸Q+B与垂直时，卜。+可取得最小值 向+同=2%+22。石+石/当4=一 -时最大，即(丸。+B),a=011a-a单元二：解析几何1 .设直线L在平面乃：2%+3)，+4 9 =0上,且过点(1,1,1),若L与xoy平面有最大交角,求直线L的方程.储=(2,3,4),r =n x =(-3,2,0),5 =nx?=(-8,-1 2,1 3);=1 =3=3 8 12 1 32 .在平面乃：x+y+z =l上求一直线L,使它与直线4：二 二=工=/垂 直 相 交.1 1 -1x+y+z-1乃与 交点:M 0(3,2,4)；过 垂 直 的 平 面 为x+y-z =9

44、n L:7 x+y-z =93 .求点M 0a,2,3)到直线:；=三(的距离.1(1,-2,0)x(1,-3,-2)|_|(4,2,-1)|_ V6=J i T=T q bt c j4 .%b2 c2满秩，问两直线：I “3 4 C3 7。：忙 包=上二名=三&与4：士=上二 九=三 生 的位置关系.“1 2 4 一 b G一。2 4 一 名 b?一 为-q&:0=(a-a2.b-bvcx L.:52=(a2-a3,b2-b3,c2-c?tM2(avbvc)|.v,S2=0，S|*2，相交5 .设动点M(x,y,z)到xoy面的距离与其到定点(1,-1,1)的距离相等,M的轨迹为Z,若L是L

45、和柱面2 z =y2的交线在xoy面的投影曲线，求L上对应于1 4 x 4 2的一段弧的长度.X：z2(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2；L:X。=%=-2,Zo=1,P(-2,-2,l)J3 .求直线 =*=绕x轴旋转而成的旋转面的方程，并求该旋转面在点(0,-2,1)2 2-1处的切平面方程.JV=2/5 _1 5 .过直线 7，作曲面3/+y2 一?=2 7的切平面，求此切平面方程x+y-z =0平面束：(1 0+2)x+(2 +2)y-(2 +2)z =27,切平面：3 xox+yoy-zoz =2 7=2 =-1,-1 9；得：9 x+y-z =2 7 和 9 x 1 7 y+

46、1 7 z =2 7 6 .设加。*。,/),人)是曲面：Z=()上任一点，证明：在这点处曲面的法线垂直于向径x西.其 中/可 导.:=1),西=0%7 .曲面Z:/+V +-yz =1上点P(X,y,z)的切平面与O X Y平面垂直，求P点的轨迹.=(2 x,2 y-z,2 z-y)=-2z-y=0 x 2+),2+z 2 _ y z =ny-2z =02 2 2,1xz+y-zl8 .设x=2 c os ay=s ine,z =a(0w e 2 7 T),问哪些点处的切线平行于平面：x +f2z -4.7 (2 s in0,c os0,V)-L (1,0,V2)n 0 ,n (V2,-(V

47、2,-)4 4 2 4 2 49.设 方程为x=f,y=-产,z =f 3,若上恰有两个点处的切线与平面分+b y+c z +d =0平行，问a,b,c应满足什么关系式？r =(l,-2 f,3 f2)(a,b,c)=3ct2-2b t +a=0=A =/?2 3ac,c 丰 01 0.求曲线在点(i，L i)处的切线和法平面方程.=(1,1,1),2 =(1，-2,0),s =nxx n2=(2,1,-3)Tx -i y 1 z 1 0 o/、_,=L:2=j =;乃:2 x+y-3 z =0 单元四：方向导数与梯度1 ./=ln(x2 +y2 +/)在曲线f x2+v2)+72=一3上点尸

48、(1,1/)处并沿该点切向的方向导数.I 3 x+y+z =5.!_)G五 V2)，?=(l,l,l)x(3,l,l)=(0,2,-2)(0,2.设M是直线y=x上任一异于原点的点，。为原点，7 =旃，求函数/(x,y)=x+y在M点沿7方向的方向导数：?.l =(-x0,-x0)不(1,1),6=(1,1),交=干&dl V 2 o l3.f=x+2y在原点处指向点(1,左)方向的方向导数为2,求A.G=(Z 1l,2)d,f*=1,-+-2-%=2_ n%7=_3dl V 17I7 414.函数z =2 Y +y2在点p(ij)沿其梯度方向7=g sd z，)的 方 向 导 数 呆 A(A

49、)2石；(B)V 5;(C)27+4;()47+2j.5设 =20,)是由方程：z +xz-y=O所确定的隐函数，问：在(x,y)=(0,1)处，(1)沿什么方向的增长率最大？(2)函数在该点沿此方向的方向导数 z =l,d z =；(d x+d y)n 存=(一；,；)，(2)同=*6./=加侬+6(x+1)In y在点(0,1)处沿7=(1,1)方向恰取得最大增长率为2亚，求a,b G -(a,l +6)=2-72(,=r)=a-2,b I7.设 是 曲 面：2x2+3 y2+z2=6在 点P(l,l,l)处的指向外侧的法向量，求函数:“=+8)_ 在 点P处沿方向 的 方 向导数z-1

50、-6 8 /T-r du 11=I(2,3,1),G =(1,L,=,-V 14)=-JV 14 V 14 V 14 dn P 78.gradu =ai+b j+ck ,求:x.du =adx +b dy+cdz =d(ax+b y+cz)=a x+b y+c z +d 第八讲：三重积分与线面积分单元一：三重积分计算1.求 yyl l-x2-z2d V，其中 Q 山 y=JI二7f,f+z?=1 以及 y=1 围成c=.心 y 4 d y =2.计算/=+y2)dx dydz，其中Q 由 Z =y/x2+y2,x2+y2 i及平面z =0围成.Q 法/法/=f z d z JJ(x2+y2)d