第三届华罗庚金杯初赛试题以及答案.pdf

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1、第三届华罗庚金杯初赛试题以及答案1.计算:/2 5(3卷+4.37力士 1居 分析分数、小数合在一起的四则运算，是小学数学的重要训练内容,要求算得准、算得快。这个题目，是用繁分的形式给出了加、减、乘、除的混合运算，它的另一个形式是WX2.+3 +4375+1*算这个题时，要注意两点：(1)在乘、除运算中，代分数要化为假分数，及时约分；(2)在加、减运算中，如果分数、小数同时出现，要么都化为分数,要么都化为小数。解 法121 2 33行式_ 8 3 14麻八一 3 7 3 5 17912 8921 _ nT-T 179 9x 24 179 解 法22 1 2 33-X 原式=3个/与(+)X 1

2、2 8，17 9=x 非17 9 v 9 5 62 4 17 914 7-8 8=2 1 注两种方法的共同之处是在前两步中，都将乘、除运算中的带分数成了假分数，及时进行了约分；将4.3 7 5化成了分数3在5，这两步很关键。两O种方法的不同之处是解法1运用了乘法对加法的分配律，解 法2则是采用了化简繁分式的通常方法分子、分母乘以同一个不为零的数。这里，还要1 1 3 1 3 5 7指出:m 的小数形式0.5,0.2 5,0.7 5,0.12 5,2 4 4 o o o o0.375,0.625,0.875,一定要很熟悉，在具体计算时，可以节省时间。2.某年的10月里有5个星期六，4个星期日。问

3、：这 年 的10月1日是星期儿?分析这个题目，主要考查逻辑推理能力。解决这个题的关键是要判定：10月里的第一个星期六或者第一个星期日是10月几日？这个问题一解决，10月 1 日是星期几就很容易推算出来。当然，解这个题，还应当知道：10月是大月，有 31天。我们知道，一年中的大月是1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10月、12月。人们会发现其中的不协调：到 7 月为止，都是单月为大月，但后面却突然改双月为大月了。为什么这么改呢？这里还有一段故事呢！原来，现在的历法，开始制定于古罗马时代。当时,有一个罗马皇帝，叫奥古斯特，他出生于8 月，为了显示他的不平凡和尊贵，下令将8 月改成大月，于是后

4、面的双月都是大月了，这个划分一直沿用至今，在英语中，8 月是August,读出来就是“奥古斯特”。解法1 10月有31天，而 31=4X 7+3,所以，这个月有4 个星期零 3 天。要判定10月 1 日是星期几，可以先推算这个月的第一个星期六是几日：如果10月 1 日是星期六，那么10月2 日、9 日、16日、23日、30日都是星期日，出现了 5 个星期日，与题设的“10月里有4 个星期日”不符，所以10月 1 日不是星期六。用同样的方法，可以推算出10月2 日也不是星期六。如果10月3 日是星期六，那么，10月4 日、11日、18日、2 5 日是星期日，恰好有4 个星期日，符合题目条件。倒推

5、回去，可以知道10月 1 日是星期四。解 法2可以先判定10月里的第一个星期日是10月几日。请少年朋友们自己去完成。注从解法1,我们可以清楚地看出来，问题的解决是以判定10月里第一个星期六是10月儿日为突破口的，所使用的方法，叫做反证法，这是很重要的数学方法。少年朋友们尽可能及早熟悉这个方法。此外，还应该指出：除了判定10月里的第一个星期六或星期日是10月几日之外,也可判定第一个星期五、星期四星期一是10月几日。3.电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了 1991步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着

6、逆时针方向跳了 1949步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？分析认真读两遍题，仔细研究一下右边的图，便不难发现：不管是红跳蚤、还是黑跳蚤，不管它们是从哪一个圆圈起跳，只要是沿着一个方向跳，每一步都跳到相邻的圆圈中，那么，一 共12个圆圈，跳12步就回到开始起跳位置，又重复进行前面的过程，这样，不管它跳的步数有多么大，只要算出跳了多少圈（这个圈是指大圆圈）又多少步，就知道它落在标有数字多少的圆圈中了。当然，要注意它跳的方向。解电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置。1991=165X12+11红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了 1991步时，是跳了 165个 12

7、步后跳到了标有数字“11”的圆圈。同理，由1949=165X12+5知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了 162个 12步后跳到了标有数字“7”的圆圈。，所求的乘积是11X7=77。答：乘积是77。思考电子跳蚤“每跳12步回到原来位置”，这是一种周期变化。在日常生活中有周期现象的事物还有许多，如：一周是7 天，一天是24小时，一年是12个月，又如：钟摆的运动，日、月的运动等，研究周期现象，也是数学的一个重要任务呢！这个题目，还可以变得更复杂一些，如：电子跳蚤跳步时有这样的周期性：第一步跳1 个小圆圈（即到相邻圈），第二步跳2 个小圆圈（即到隔1 个圈的小圆圈处），第三步跳3 个小圆

8、圈（即到隔2 个圈的小圆圈处），如此重复下去，其它条件同原题一样，那么，怎么解呢？相信少年读者们能自己解决。4.173口是个四位数字.数学老师说：“我在这个口中先后填入3个数字，所得到的3 个四位数，依次可被9、11、6 整除。”问：数学老师先后填入的3 个数字的和是多少？（分析）解这个题的关键是：怎样的自然数，才能被9 整除？被 11整除？被 6 整除？这里，要注意：被 6 整除，就是被2 和 3 整除-定是被3 整除的偶数。（解）.能被9 整除的四位数的各位数字的和是9 的倍数，并且四位数173口的数字的和是i+7+3+n=ii+n,口内的数字最大不超过9,.口内只能填7.能被11整除的四

9、位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数。（7+口）-（1+3）=3+口应是11的倍数。.口内的数字最大不超过9,口内只能填8。能被6 整除的自然数是偶数，并且数字和是3 的倍数，而1+7+3+口=11+口,口内只能填4。7+8+4=19答：所求的和是19。（注）这个题目中，考查了能被9,11,6 整除的三类自然数的特征。下面给出能被2、4、5、7、8 整除的自然数的特征：如果自然数A 能被自然数a 整除，我们就写作al A.下面就用这个符号来说明问题当A 的个位数字是0、2、4、6、8 这五个数中的一个时，2 IA；当A 的最后两位数是4 的倍数时，4 I A；当

10、A 的个位数字是。或 5 时，则 5 I A；当去掉A 的个位数字后得到的新数与A 的个位数字的2 倍的差是7的倍数时，7 I A；当A 的最后三位数是8 的倍数时，8 I Ao上面这些结论，少年朋友们要尽可能记住。5.我们知道:9=3X3,16=4X4,这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？1分析）这个题目并不难，只要仔细地找出不超过300的自然数中的“完全平方数”，求出它们的和，再从前300个自然数的总和中减去这个和，就得到结果了。(解)不超过300的完全平方数，有:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,

11、121,144,169,196,225,256,289.它们的和是 1785。前300个自然数的和是1 +2+3+-+300=(-5 1)X 300=45150 2 45150-1785=43365.答：剩下的自然数的和是43365。1思考)上面的解法中，求前300个自然数的和，用的是少年朋友们十分熟悉的少年时代的高斯的算法。即：如果n是自然数，那么，1+2+3+(n-2)+(n-1)+n=Xn.用这个公式去算1+2+3+298+299+3 0 0,当然比逐个累加要快得多了！由此，少年朋友们很容易会想到：求+2+32+15叶162+172有没有公式呢？答案是：有！这就是12+22+32-+n2

12、=n(n+D(2n+D6用这个公式算不超过300的完全平方数的和是很容易的:12+22+32-+172=-=51X 35=1785这个公式的推导，只要用一个公式(x+1)3=X3+3X?+3X+1就可以了：在这个公式中，我们依次用1,2,3,，n-2,n-1,n去替换x,得 到n个等式23=13+3 标+3 1 +133=23+3 2?+3 2+143=33+3 3+3 3+1(n-1)3=(n-2)3+3(n-2)Z+3(n-2)+1ri3=(n-1)3+3(n-1)?+3(n-1)+1(n+1)3=n3+3m+3n+1将 这n个等式加起来，那么等式的左边=13+23+33+r)3+(n+1

13、)3,等式的右边包含四部分:第一列的和是 1 3+2 3+3 3+卜(n1)3+1 1 3；第二列的和是3 (+2+3 3+年)，读者已经看到，括号里正是要推导的公式的左边；第三列的和是3 (1+2 +3+n),这就是3.n(n+1)第四列的和是n个1相加，当然得n.根据加、减法的概念，可以得到(n+1)3 =p+3 (l2+22+32+-+n2)+3*的也就是n3+3 n2+3 n+l=l3+3 (12+2?+3?+n2)+%+必从这个等式中，可以得到12+22+3 H +n2n3+3 n2+3 n n2+n n=3-32n3+3 n2+n-6_ n(n+l)(2 n+l)二 6以上的推导过

14、程中，用到初中代数的一些知识，少年朋友可能有不懂之处，那么，可以去请教自己的数学老师.6.如图，从 长为13厘米，宽 为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边 长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？（分析）这是一个极其简单的体积计算题，相信每位少年朋友都能正确地求出结果。（解）容器的底面积是（13-4）X（9-4）=45（平方厘米），高为2厘米，所以容器的体积是45X2=90（立方厘米）.答：容器的体积是90立方厘米。7.在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了 5箭，每 人5箭得到的环数的积都是1

15、764,但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。（分析）这个题目，有一定的难度，难在题目的已知条件与要求的结果之间的关系不那么明显。遇到这种情况，心里要平静，要集中精力仔细地分析题目中的条件。题目告诉我们：每射一箭的环数，只能是下列11个数中的一个0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。而甲、乙5 箭总环数数的积1764W0,这说明在甲、乙5 箭得到的环数里没有“0”和“10”，而1764=1 X2X2X3X 3X7X7是由5 箭的环数乘出来的，于是推知每有两箭中的环数都是“7”，从而可知另外3 箭的环数是5 个数1,2,2,3,3经过适当的分组之后相乘而得到的，读者不难分析出可能的

16、情形有5种：(1)1,4,9；(2)1,6,6；(3)2,2,9；(4)2,3,6；(5)3,3,40下面、只要根据甲、乙的总环数之差是4 这一条件即可求出结果了。(解)每人的环数的积=1764W0,两人每箭射中的环数里没有“0”和“10”.每箭射中的环数都是1764的因子，而1764=1 X 2X2 X 3X3 X 7X7,并且环数是不超过10的自然数.必有两箭是7 环，其它3 箭的环数是 1 2 2 3 3 因子。如果最小的因子是1,那么，另外两个因子是4、9 或者是6、6；如果最小的因子是2,那么，另外两个因子是2,9 或者是3、6；如果最小的因子是3,那么，另外两个因子是3、4O因此，

17、两人5 箭的环数有5 种可能：7,7,1,4,9,和=28；7,7,1,6,6,和=27；7,7,2,2,9,和=27；7,7,2,3,6,和=25；7,7,3,3,4,和=24；甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少，甲的总环数是2 4,乙的总环数是28。答：甲、乙的总环数分别是24、28。1注）1990年，第十一届亚运会在我国首都北京举行，我们中国人民为此感到骄傲，全国的少年朋友们当然更是欢欣鼓舞。为了纪念这件事,第三届华杯赛主试委员会立意要编几个与体育比赛有关的题目，复赛部分的第七、八、十五题正是在这样的目的下编出来的。8.下图中有6个点，9条线段.一只甲虫从A点出发，要沿着某儿条线段爬到F

18、点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过1次。这只甲虫最多有多少种不同的走法？ABC DEF（分析）可以用分类的思想解这个题：甲虫由A出发只有3种走法,即先走AB；先走AE；先 走AD。往下，再作类似的分析，即可求解。解）从A点出发，经过的第一条线段，有3种 可 能（1）AB；（2）AE；（3）ADO在每一种可能情形下，各 有3种走法。所以，一共有3X 3=9种走法.答：共 有9种走法。注）这个题目已经简化了，原来出的题要复杂一些：仍 是6个点，但是多了两条线段（如图）。D E请少年朋友自己做吧。9.下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个)，以其中不在一

19、条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？1分析)解决这个问题，主要是运用两个结论:(1)同底等高的两个三角形的面积相等。(2)平行的两条直线间的距离处处相等。(解)设原正方形的边长是3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是1 2 3=32所求的三角形可分两种情形：(1)三角形的一边长2,这边上的高是3。这时，长 为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2X4X4=32（个）；（2）三角形的一边长3,这边上的高是2,这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线。其中，与（1）重复的三角形不再算入，这样的三角形有8X 2=16（

20、个）答：所求的三角形共4 8个（包括图中开始给出的三角形）.（注）解这个题目，容易出现两种错误，-是“少”：如忽略了底是3、高是2的三角形，这样就少了 1 6个；二是“多”：在计算底是3、高是2的三角形时，没有考虑其中有1 6个在情形（1）中已经计算了，于是得出错误结果：54.1 0.已知：1s=-1 1 1 i-+-+.+-1980 1981 1982-1991求：S的整数部分。1分析）这个题目看起来是不好下手的，显然不能对分母中的1 2个分数进行通分求和，那实在是太繁了。由于题目只要求S的整数部分，所以只要知道S在哪两个整数之间就可以了。困难在于S的分母含有1 2个分数，太多了！必须设法减

21、少分数的个数！我们发现：_L1980 1981 1982 1991干 是-+-+-+.+-1980 1981 1982 1991-+-+-1991 1991 199112+.+199111991+111+1991这样，就知道S的 分 母 在 福 和 士 之 间，也就知道S在16年 口 等=1 6 5 iyy 1 lo j IN IN之 间，于 是，达 到 了 目 的！（解）根 据“一 个 分 数，当 分 子 不 变 而 分 母 变 大时，分 数 值 变 小；如果分子不变而分母变小时.，分 数 值 变 大。”这 个 原 理，可以知道-+-+-+-1980 1981 1982 1991 1 2 X

22、1 _ 11980=165并 且-+-+-+-1980 1981 1982 1991、1 121 2 X 1991=1991.$3-=1 6 5并且5 詈=165音165.S的 整 数 部 分 是165。（思 考）上 面 的 解 法 中，主要是运用了“放”、“缩”的思 想，这个思 想 很 有 用。本 题 中 是 用来 进 行数值估计二下面是两个类似的题，读者自己练习：（1）己知s=F p-,求S的整数部分.-+1981 1982-2000（2）请在下面等式的方框中填上相同的一个自然数，使等式成立:_ L_ 上1+口 3+口 5+口 241 1.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6 倍。几年后，祖父

23、的年龄将是小明的年龄的5 倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？分析）当小明刚一出生、祖父与他就有了年龄差，随着祖孙两人年龄的增长，祖父与小明的年龄的比值逐渐变小，但年龄差始终保持不变，这是一。说“祖父的年龄是小明的年龄的a 倍”，实际就是说“祖父与小明的年龄差是小明年龄的（a-1）倍”，因为小明的年龄是自然数，所以也就是 说“祖父的年龄是a-1的倍数”，这是二.只要把握住以上这两点，这个题目就可以迎刃而解了.解）祖父的年龄比小明的年龄大，这个年龄差是不变的.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6 倍，年龄差是小明年龄的5 倍，一定是5 的倍数，同理，由“儿年后，祖

24、父的年龄是小明的年龄的5 倍”，“又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4 倍”，知道年龄差是4,3 的倍数，所以，一定是5X4X3=60的倍数.而60的倍数是：60,12 0,，合理的选择是6 0.于是，今年小明的年龄是605=12（岁）祖父的年龄是12X6=72（岁）答：祖父今年是72岁。（思考）会代数的少年朋友，可以用列方程或方程组的方法解这个题目：设今年小明x 岁，那么今年祖父6x岁。y 年后，祖父的年龄是小明的年龄的5 倍，所以5（x+y）=6x+y 即 x=4y又过z 年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4 倍，所以4（x+y+z）=6x+y+z 即 2x=3y+3z 祖父今年6x岁，

25、.6x100（想一想：这个100是怎么来的？）又：x=4y：.x4（想一想：为什么？）2由4 4 x 4 1 6 7及x=4y知道x可能是4,8,16.2,一，._又从2x=3 y+3 z,即y+z=1 x,知道x是3的倍数，所以x=1 2,于是6x=72。1 2.某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球1718156652求这个班的学生数.（分析）这是一个与集合概念有关的问题，但是完全可以用小学数学知识来解决，其

26、中，主要是包含与排除的方法.例如短跑达到优秀的人数中，包含了 4部分人：短跑、游泳、篮球都达到优秀的人，短跑、游泳达到优秀但篮球没达到优秀的人，短跑、篮球达到优秀但游泳没达到优秀的人，短跑达到优秀但游泳、篮球没达到优秀的人。如果要求其中一部分人，就要排除另外儿部分人。明白了上面的道理，题目就不难求解。在具体求解时，可以运用图形，使题目中的数量关系变得直观，一目了然.(解)先求至少有一个项目达到优秀的学生人数，看下面这个图：图中时三个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数，其中的“1”表示三个项目都优秀的人数，是：2；“2”表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数，是：6-2=4

27、；“3”表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数，是：5-2=3；“4”表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没有达到优秀的学生数，是:6-2=4；“5”表示只有短跑一项达到优秀的人数，是：17-(2+3+4)=8；“6”表示只有游泳一项达到优秀的人数，是:18-(2+4+4)=8；“7”表示只有篮球一项达到优秀的人数，是：15-（2+4+3）=6,只有一个项目达到优秀的人数是2+4+3+4+8+8+6=35还有4个人在三个项目上未达到优秀，所以全班学生数是35+4=39答：这个班有39名学生。注）集合，是很有用的数学概念。它的一个用途就是分类。在上面的解法中，我们正是运用分类的思想将“至少有

28、一个项目达到优秀”学生人数分为7类，从而求出了正确结果.在作分类时，应注意使任意两类没有相同的部分。13.恰 好 能 被6、7、8、9整除的五位数有多少个？1分析）能 被6、7、8、9整除，只须能被它们的最小公倍数整除，求出这个最小公倍数之后，在五位数中，即 从10000到99999的自然数中，推算那个最小公倍数的倍数有多少个，即是问题的答案了。（解）6、7、8、9的最小公倍数是504；五位数中，最小的是10000,最大的是99999；.10000 5424-=19-504 504，能被504整除的最小的五位数是504X20=10080；99999 20.-504-_ 1 9 8504，能被5

29、04整除的最大的五位数是504X198=99792；.五位数中，能被504整除的有（99792-10080）4-504+1=179（个）.答：有 179个.（注）解这个题目时，容易出现的错误是：以为“能被6、7、8、9整除”就必须“能被6X7X8X9=3024整除”,这样求得的结果只是正确结果的一部分。1 4.计算：1-3+5-7+9-11+-1999+20011分析）对于这个题目，可以有3 种基本思路：（1）将题中各数的顺序变动一下，即：从第二个数开始，相邻两数交换位置，得到1+5-3+9-7+13-11+-+2001-1999可以看出在1 这个数的后面是500个2 的和。(2)将加上的数，

30、减去的数分别集中:(14-5+9+134卜 2001)-(3+7+11+-+1999)(3)从代数的角度来看，原式是(1-3)+(5-7)+(9-11)+(1997-1999)+2001-2X500+2001=1001(解)：原式=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+(2001-1999)从 1 到2001共有1001个奇数，1 不在内，则有1000个奇数，上面的每个括号内都是“相邻奇数，大减小”，所以，共有500个括号，每个括号内的值都是2,所以原式=1+500X2=10011 5.五环图由内圆直径为8,外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等

31、.已知五个圆环盖住的总面积是112.5,求每个小曲边四边形的面积(圆周率北取3.1 4)。(分析)这是关于整体与部分的关系的问题。我们将五个圆环彼此不相交时盖住的面积看作整体，那么现在这个图中的五环盖住的面积就是这个整体的较大的部分,而8 个小曲边四边形盖住的面积就是这个整体的较小的部分，这两个部分的和就是整体。只要认识到这个关系，就很容易求解了.（解）每个圆环的面积是JT（52-40=9 n,如果五个圆环彼此没有重合的部分，则它们的总面积是5X 9 n=45 n 题设五环盖住的总面积是122.5，每个小曲边四边形的面积是45兀-132.5 8.8答：每个小曲边四边形的面积是1.1。（注）题中

32、的五环图是大家熟悉的奥林匹克运动会的标志。“奥林匹克”已经成了“在公正的条件下竞争”的代名词，华罗庚金杯少年数学邀请赛，就是奥林匹克智力运动会，她吸引了数百万少年数学爱好者。我们编这么一个小小的题目，正是为了表明这样一个意愿：要 在“华杯赛”中永远弘扬奥林匹克精神，鼓励我国千百万的少年以华罗庚爷爷为榜样，以坚强的毅力，在攀登科学的道路上，永远奋进。1 6.下图中8个顶点处标注的数字：a、b、c d、e、f、g、h,其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的;,求：(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。e hdbc(分 析)式 子(a+b+c+d)-(e+f+g+h)中没有一个具体的数，而且只含有加减运算，在题设的条件下，如果这个式于有值的话，这个值一定是零。(解)：由题设条件知道b+e+da=,b+e+d=3a(1)c+f+ab=-,c+f+a=3b(2)d+H+bc=-,d+g+b=3c(3)a+h+ed=-,a+h+e=3d(4)(1)+(2)+(3)+，是2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)=3(a+b+c+d)就是 e+f+g+h=a+b+c+d所求的值是0。