《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案6.pdf

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1、 复变函数与积分变换 期 末 试 题（A）一.填 空 题（每小题3 分，共计15分）1y的 幅 角 是（)；2.LH(-1+Z)的主值是）；3.，=占，/(0)=();z-s i n z4.z=0 是-4的(Res ,o o=();）极点；5.二.选 择 题（每小题3 分，共计15分）1.解析函数/（2）=（了,）+/（乂/）的导函数为（）;(A)f(z)=ux+i uy.(B)f(z)=ux-i uy.(C)/Z(z)=Ux+i vy.(D)fz.)=uy+ivx.2.C是正向圆周|z|=3,如果函数/(z)=(),则j/(z)d z=o.(A)3z-23(z 1)z-2 (C)3(z-1)

2、(z-2)2(D)3(z-2尸003.如果级数E%z”在z=2点收敛，则级数在n=l（A）z=-2点条件收敛；（B）z=2 i点绝对收敛；（O Z =l +i点绝对收敛；（D）Z =l +2i点一定发散.4.下列结论正确的是（）（A）如果函数/（Z）在Z o点可导,则/（Z）在Z o点一定解析;(B)如果/(z)在C所围成的区域内解析，则4/(z)d z=。(C)如果&/(Z)d z=O,则函数/(z)在C所围成的区域内一定解析；(D)函 数/)=N(北丁)+山(羽,)在区域内解析的充分必要条件是”(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)8 为s i

3、n 的可去奇点；c o为s i n z的本性奇点；z(C)8 为一1T的孤立奇点；00为 的 孤 立 奇 点.s i n -s i n zz得分I-H 三，按要求完成下列各题(每小题10分，共 计40分)(1)设/(z)=%2+axy+by2+icx+d xy +y?)是解析函数，求 a,b,C,d.(2).计算z(z d z其中C是正向圆周：|z|=2；(3)z15计算 1=3(1 +7 2 (2+/)ydz乙、ZQ2-1)(Z+2)3(Z-3)2(4)函数/(z)=-n-在扩充复平面上有什么类型的奇(sin 改)点？，如果有极点，请指出它的级.得分 四、(本题14分)将函数z)=/一在以下

4、区域内展开成罗朗级数;-z(Z-1)(1)0|z-l|l,(2)0|z|l,(3)l|z|o o得 分 五.(本题10分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题y(%)-5y (x)+4y(x)=2)是 解 析 函 数，求a,b,c,d.解：因为/(Z)解析，由C-R条件du _ dv du _ dvdx dy dy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=-2cx-dy,a =2,d =2,a=-2c,2。=d,c=-1,/?=1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）.计算d z其中C是正向圆周:口一1人解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛

5、朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数/（Z）=在复平面内只有两个奇点Z尸。2=1,分别以力逐2(z-l)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆Cl,C2且 位 于C内=2m（y+27d e=2mz,（z l）2 z=l /z=O无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。(3).15H(1+Z2)2(2+Z4)3dz解：设/(z)在有限复平面内所有奇点均在：目3 内，由留数定理15汇 3 k而 再 出 二 一 2.艮 回(5 分)=2 7 Re 5/()-(8 分)z z(I)15z z (l+-L)2(2 +(-)4)3 zz z片4z(l+?)2i(2 z

6、4+l)3有唯一的孤立奇点z =0,R e s g)g o =lim 抬)3=lim 限 开:斤 上 市=iZ Z Z T O Z Z go (1 +Z)(2 z +1)q,-、-r r dz =2 初-(i o 分)加 3(I+Z2)2(2+Z，3 7R(4)函数/(z)=(z l)(z：2)Q 一3 在扩充复平面上有什么类型的奇(s i n 改)点？，如果有极点，请指出它的级.解：z)=(.T)(Z+2)：(Z-3)2 的奇点为z =k,k=0,1,2,3,，8(sinz)(1)z =V,无=0,1,2,3,为(s i n=0的三级零点，(2)z=0,z =l,为/(z)的二级极点，z=2

7、是/(z)的可去奇点，(3)z =3为/(z)的一级极点，(4)2，-3,4，为/(Z)的三级极点；(5)8为/(Z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5 分，其他酌情给分。四、(本题1 4分)将函数/(=在以下区域内展开成罗朗级数；z(Z-1)(1)0|z -1|1 ,(2)0|z|1 ,(3)1|z|00解：（1）当0 上一1 1f 二_I T r r =-7 7 :-7 7 z (z-1)(z-1)(z-1 +1)1 f f i f t-r=E(-iru-irr(z -1 +1)Zo00=Z(-D (z T尸n=000/(z)=Z(T严(I L6 分=0(2)当0 忖 1/(z)=z (

8、z-1)00=士V1 d_ 2n=0(3)当1 忖 0)的傅立叶变换,谓 取 =犷（1 0分）并由此证明:解：尸（q）=匚e”制市（夕 0）3分尸（。）=山+.e e d t(0 0)=ep-i(o)tdt+e-(fi+im)tdt(小0)e(-ia)tP-i(o+00尸（。）=P+ia)00(夕 0)2Bp-ia)3+ico 俨+苏(/0)014分80)-5分金匚*晨 加8。）1兀(coscot+isinait)dci)(尸0)coscot.i 产力sin,于-+-d a)+匕J夕-+-苏-T do(W0)器迹如。）6分理缪土 二 则 复变函数与积分变换 期 末 试 题(B)一.填空题(每小

9、题3 分，共计15分)1.匕 的 幅 角 是()；2.L (一 +i)的主值是2()；3.=(),/(Z)=x2+2xy-y2+i(ax2+2xy+y2)在 复 平 面 内 处 处 解IO是z一-si3 一nz的()极点；5./(z)=一i,Z ZRe5/(z),oo=()；二.选择题(每小题3 分，共计15分)1 .解析函数/(z)=(,y)+z v(x,y)的导函数为()；(A)fXz)=uy+ivxi(B)f(z)=ux-i uy.(C)f(z)=ux+ivy.(D)/()=%+%.2.C 是正向圆周|z|=2,如果函数z)=(),则，/(z)d z =O.(A)-3=-；(B)3与?；

10、(C)3?；(D)3z-1 z-l3 .如 果 级 数 在 z =2i点收敛，n=l(A)z =-2点条件收敛；(C)z =l +i点绝对收敛；4 .下列结论正确的是()(z-1)(z-l)则级数在(B)z =-2i点绝对收敛;(D)z =l +2i点一定发散.(A)如果函数/(Z)在Z o 点可导，则/(Z)在Z o 点一定解析;(B)如果，/(z)废=0,其中C 复平面内正向封闭曲线，则/(z)在C 所围成的区域内一定解析；(C)函数z)在Z。点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z-Z o 的幕级数，而且展开式是唯一的；(D)函数/(z)=(x,y)+iv(x,y)在区域

11、内解析的充分必要条件是M(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)、Inz 是复平面上的多值函数；(B)、CO S Z 是无界函数；(C)、s i n z 是复平面上的有界函数；(D)、/是周期函数.得 分 IM 三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 8分，共 计 5 0 分)(1 )设 f(N)=(x,y)+i(x 2+g(y)是 解 析 函 数，且/(0)=0 ,求g(y),u(x,y),f(z).(2).计算2八/.、上仁+I)(z 7)y d z.其中C 是正向圆周忖=2；（3）,计算(1 Z)dz,其中c是正向圆周|z|=2；（4

12、）.利用留数计算 口 _ _ 2）2 dZ-其中C 是正向圆周忖=3；，/、Z(Z2-1)(Z+2)3(5)函 数/(幻=-一寻一在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(s in z)有极点，请指出它的级.得分四、(本题1 2分)将函数/(z)=F _n 在以下区域内展开成罗朗级z(Z-1)(1)o|z-l|l,(2)0|z|1 ,(3)1|z|0 0得 分 五.(本 题 10分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题-1 f/(x)-5 y(x)+4y(x)=y(0)=y(0)=1六、（本题8分）求=（夕0）的傅立叶变换，并由此证明:得分 复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准（B

13、）J-1 填空题（每小题3 分，共计15分）1.匕的幅角是（一至+2履,k=0 l,2,）；2.L（一1 一，）的2 4主 值 是（g l n2-吁 ）；3./（=+/，/（。）=（0 ）；4./（）=-,Res（z）,O=（o ）；5./=3,z、zR e 5 /（z）,o o =（o ）；得分二.选 择 题（每小题3 分，共计15分）得分1-5 A A C C C三.按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1)求a,b,c,d使/仁)=%2+。孙+勿 2+j(c%2+d 孙+/)是解析函数,解：因为/(z)解析，由c-R 条件du _ dv du _ dvdx dy dy dx2x

14、+ay=dx+2y ax+2by=-2cx-dy,Q=2,d=2,a=-2c2b=d,c=1,/?=1,给出C-R 条件6 分，正确求导给2 分，结果正确2 分。(2)-i z(z-i)2 dz其中C 是正向圆周忖=2；解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数/=在复平面内只有两个奇点Z尸0 2=1，分别以Z,Z2(z-l)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 臼 勺 且 位 于C内1I d z=2 m d yz,二出+i z;、rd z二2(Z 1)+2m 二U-D2=0z=0(3).计 算,一7匕(l-z)d

15、z,其中C是正向圆周用=2；1解：设/(z)在有限复平面内所有奇点均在：目2内，由留数定理j,/(z)d z=-2力R e s/(z),8 =2而c _1-(5 分)1|2|0 024 一 )一z ez _ z ezz-z2(l +Z2!?于+)(1+!+4 +3+)Z Z Z11十 一111-(?+Z H-1-1-2!3!z 4!z、“1 1 1 、7,0(1+-r+f1)z z Z,c-(1 +1 +1 +1一 号t 2!3!3r8 dz=-2 力，/、(z2 -l)(z+2)3(4)函数/(z)=-一一在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(s i n z)极点，请指出它的级./(z)

16、的奇点为z=%,%=0,1,2,3,，o oz k,k 0,l,2,3,为(sinz)3=0的三级零点,朗级数;z=1,为/的二级极点，z=-2是/的可去奇点，z=0,2,-3,4，为f(z)的三级极点;0 0为/(N)的非孤立奇点。给出全部奇点给5 分。其他酌情给分。四、(本题14 分)将函数/(Z)=77 在以下区域内展开成罗z(Z+1)(1)0|z+l|l,(2)o|z|1,(3)l|z|o o(1)0|+1|1,(2)0|1 ,(3)1|o o解：(1)当0|z+l|(z +i)T00/(Z)=Z(Z+1)7 -6 分72=0(2)当0 忖 113 Z(T)ZZ =o00=Z(-1 L

17、 10 分/?=0(3)当1 忖 8/、1 1j(Z)=Z(Z+D ,3(1+1)Zi 1 3 1 z)=Z(S =Z(T)三Z n=0 Z=0 Z14分得分 五.(本 题10分)用L apl ac e变换求解常微分方程定解问题 i的傅立叶变换，并由此证明:63%花猿;解：F =r e-iMf(t)dtU-00F C D)=e-oxdt2分-icot ico C c：一 八e.e-e 2 sin 69-=i-=-ico,co co-14分1 71 -8-1 1 ei(0t-s-in-c-o-dc,oT V%C O5分71gsin。-(cos cot+ismca)da)co2 产 sin0cosm,i 产sinosinm,I-dco-dco71 C D 兀 二 C D-6 分得分