北京理工大学-数学分析-函数与数据-数列的极限1.2（本科课件）.ppt

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1、2 数列的极限v数列的概念v数列极限的定义v数列极限的性质一.数列的概念高等数学与初等数学的差异在于：研究对象：变量与常量；研究方法：无限观念与有限观念。1.极限概念的引入Step 1 以直代曲；Step 2 考察变化趋势。n越大，阶梯越多，近似程度就越高，但不管n多大，总是近似的，必须考察n趋于无穷的过程。例2 求单位半径园的周长。Step 1：以直代曲，得到一系越来越逼近于圆周长的近似值；Step 2：考察这一系列值的变化趋势，从而确定出圆周长的准确值圆周长：.越大，正多边形与圆接近的近似程度越高。2.数列的定义称为一个数列或序列，记作 ，第项称为通项。定义1 遵循某种规律，依一定顺序排列

2、的一串数通项序列一般可以例如例如定义2.定义3.为有界序列。例：二.数列极限的定义极限概念的定性描述limit如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.注意：注意：几何解释几何解释:Sept 23 Fri.Reviewv函数运算：四那么运算，反函数，复合函数；v根本初等函数与初等函数；v数列：概念，子列，有界；v极限：极限思想、精确定义、几何意义，子列，有界，几个特殊数列的极限;。例1.例2.例3.三.数列极限的性质1.唯一性定理1.收敛数列的极限是唯一的。即定理2.收敛数列必有界。注意：1).有界性是数列收敛的必要条件；2).无界数列必定发散2.有界性3.夹逼性定理

3、3.4.保号性定理4推论：4.子列收敛性定理4 收敛数列的任意子列也收敛，且极限相同。Hw:p30 3(1)，5.推论：3 函数的极限v函数在有限点处的极限v单侧极限v 时的极限v函数极限的性质1.函数在有限点处的极限一 函数极限的定义注意：注意：几何解释：2.单侧极限例如例如,左极限左极限右极限右极限Sept.26 Mon.Review 1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性，保号性；2.函数极限：趋于有限点，单侧极限(左右极限).左极限左极限右极限右极限例13 时的极限问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.两种情形：几何解释：定理 极限的七种形式：极限的七种形式：二.函数极限的性质定理1 唯一性定理2 局部有界性定理3 保号性定理4 推论：子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定理5 函数极限的并归性函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系例证明：二者不相等，定理6.夹逼性 例Hw:p38 1(2)，5，6，9.