固体物理(黄昆) 3.4三维晶格振动－黄.ppt

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1、模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围B-K条件条件波矢波矢q取值取值一维问题的处理步骤一维问题的处理步骤:2n-22n-12n2n+12n+2Mma晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数，晶体的自由度数，格波的支数格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数。一维单原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=11支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=N频率数为频率数为N一维双原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=22支

2、格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=2N频率数为频率数为2N一、色散关系(1)模型 设三维无限大的晶体设三维无限大的晶体,每个原胞中有每个原胞中有n个原子，各原子的质个原子，各原子的质量分别为量分别为 原胞中这原胞中这n个原子个原子平衡时的相对位平衡时的相对位矢分别为矢分别为 。表示平衡时顶点位矢为表示平衡时顶点位矢为 的原胞内第的原胞内第s个原子的个原子的位矢；位矢；3.4 3.4 三维晶格的振动三维晶格的振动 表示顶点位矢为表示顶点位矢为 的原胞内的原胞内第第s个原子离开平衡位置在个原子离开平衡位置在 方向的位移。方向的位移。在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。，上式的右端是位

3、移的线性代数式。(=3,s=n)共有共有3n个方程个方程(=1,2,3；s=1,2,3,n)可得到可得到3n 个个线性齐次方程。线性齐次方程。(2)运动方程和解运动方程和解试探解：试探解：这3支格波称为声学支格波。其余的其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称支格波的频率比声学波的最高频率还要高称之为之为光学支格波。2、波矢q的取值和范围设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,原胞的基矢为：原胞的基矢为：沿基矢方向各有沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞个原胞,As 有非零解有非零解,必须其系数行列式为零必须其系数行列式为零3n个个 的实根的实根在在3n个实根中，其中有个实根中，其中有

4、3个当波矢个当波矢q 0时时,根据玻恩根据玻恩-卡门周期性条件：卡门周期性条件：(h1、h2、h3为整数为整数)波矢波矢 具有倒格矢的量纲，得出具有倒格矢的量纲，得出:三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。(二维图示二维图示)每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为：晶体体积晶体体积正格子原胞体积正格子原胞体积波矢密度波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。将将 的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简简约布里渊区

5、。约布里渊区。每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为：1.布里渊区定义 在在倒格空间中以中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面有倒格点连线的中垂面(或中垂线或中垂线)，这些中垂面，这些中垂面(或中垂线或中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为将倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区布里渊区。第一布里渊区第一布里渊区(简约布里渊区简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域；：围绕原点的最小闭合区域；第第n+1+1布里渊区布里渊区：从原点出发经过：从原点出发经过n个中垂面个中垂面(或中垂线或中垂线)才能才能到达的区域

6、到达的区域(n为正整数为正整数)。晶格振动频率数目晶格振动频率数目:3支声学波支声学波(3n-3)支光学波支光学波晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,每个原胞有每个原胞有n个原子个原子,m支声学波，支声学波，m(n-1)支光学波，这里支光学波，这里m是晶体的维数，是晶体的维数，n是是原胞中原子的数目。原胞中原子的数目。波矢可取的数目：波矢可取的数目：例例1：金刚石结构有几支格波：金刚石

7、结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设晶设晶体有体有N个原胞，个原胞，晶格振动模式数为多少晶格振动模式数为多少?答答:金刚石结构为复式格子金刚石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2个原子。个原子。有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波。支光学波。振动模式数为振动模式数为6N。晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。例例2 考虑一个全同原子组成的平面方格子，考虑一个全同原子组成的平

8、面方格子，用记第用记第行，行，第第m列的原子垂直于格平面的位移，每个原子质量为列的原子垂直于格平面的位移，每个原子质量为M，最近最近最近邻原子的力常数为最近邻原子的力常数为c。（a）证明运动方程为证明运动方程为：这里这里a是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的，如果是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的，如果（b）设解的形式为：设解的形式为：这就是问题的色散关系。这就是问题的色散关系。（c c）证证明明独独立立解解存存在在的的k k空空间间区区域域是是一一个个边边长长为为 正正方方形形，这这就就是是平平方方格格子子的的第第1 1布布里里渊渊区区。构构出出k kk kx x，而而k ky y0 0时时，和和k kx xk ky y时的时的k k图。图。（d）对于对于ka1，证明证明 解：解：(,m)(,m1)(,m1)(1 1,m)(1 1,m)（1，m）对（对（，m m）的作用力的作用力（-1，m）对（对（，m m）的作用力的作用力（，m+1）对（对（，m m）的作用力的作用力（，m-1）对（对（，m m）的作用力的作用力(a)运动方程：运动方程：（b）设解为设解为（c）均为均为kx，ky的周期性函数。的周期性函数。周期为周期为 kx，ky的取值范围：的取值范围：若若kkx，ky0，若若 k若若kkx，ky0，（d）