混沌电子学讲座ppt-PowerPoint演示文稿9677.pptx

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1、混沌电子学讲座混沌电子学讲座2004.5 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学讲座 目的目的 简介定性不准确之处，还望鉴谅 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座讲述内容讲述内容（一）（一）混沌的概念混沌的概念什么是混沌什么是混沌（二）（二）抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌（三）（三）混沌电子学的概念混沌电子学的概念 什么是混沌电子学什么是混沌电子学（四）（四）混沌电子学实验方法混沌电子学实验方法（五）（五）混沌电子学的应用混沌电子学的应用 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌的概念混沌的概念（1）什么是混沌什么是混沌非线性动力系统非线性动力系统输出波形图

2、输出波形图相图相图分岔图分岔图Lyapunov指数指数Poincare映射映射功率谱功率谱测度和熵测度和熵什么是混沌什么是混沌 1.1.用上面的各种方法所描述的现象用上面的各种方法所描述的现象 2.2.动力系统的方程的解不能定量给出动力系统的方程的解不能定量给出 3.3.一般由相图、分岔图和一般由相图、分岔图和LyapunovLyapunov指数指数来研究通向混沌的道路来研究通向混沌的道路 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌的概念混沌的概念（2）混沌的定义混沌的定义至今没有严格的数学定义至今没有严格的数学定义研究者尚未充分理解混沌研究者尚未充分理解混沌从事不同研究领域的学者对混沌的理

3、解不同从事不同研究领域的学者对混沌的理解不同混沌定性的定义混沌定性的定义 混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，这混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，这种随机的过程来自于系统的非线性。种随机的过程来自于系统的非线性。某些完全确定论的系统，不加任何随机因素，就可能某些完全确定论的系统，不加任何随机因素，就可能出现与布朗运动不能区分的行为；出现与布朗运动不能区分的行为；“失之毫厘，差之千里失之毫厘，差之千里”的对初值细微变化的敏感依赖性，使得确定论系统必须的对初值细微变化的敏感依赖性，使得确定论系统必须借助概率论方法描述。这就是混沌。借助概率论方法描述。这就是混沌。郝柏林郝柏林 20

4、04.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌的概念混沌的概念（3）混沌定义的要素混沌定义的要素混沌定义的要素混沌定义的要素确定论确定论 摆的运动是一个混沌运动摆的运动是一个混沌运动 随机论随机论 非线性非线性 确定论中的随机轨道是混沌轨道的特例，即其确定论中的随机轨道是混沌轨道的特例，即其中近似中近似 重复图式的长度为重复图式的长度为1 1 郝柏林郝柏林混沌是一种新的动力学的观点混沌是一种新的动力学的观点混沌企图，也有可能消除确定论和随机论之间的鸿沟混沌企图，也有可能消除确定论和随机论之间的鸿沟2020世纪科学将永远记住的三件事将是相对论、量子力世纪科学将永远记住的三件事将是相对论、量子力学和混沌

5、学和混沌M.Shlesinger M.Shlesinger 相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则彻则消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定式可预测性的幻想底消除了拉普拉斯关于决定式可预测性的幻想 J.Ford J.Ford 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌的概念混沌的概念（4）混沌的特征混沌的特征叠加原理对非线性系统不再适用叠加原理对非线性系统不再适用 确定论系统的行为处于混沌状态时似乎是确定论系统的行为处于混沌状态时似乎是随机的，与噪声混杂在一起随机的

6、，与噪声混杂在一起实际系统的不可预测性实际系统的不可预测性使用实际的仪器测量初始条件只能是近似的使用实际的仪器测量初始条件只能是近似的混沌对初始条件的敏感的依赖性混沌对初始条件的敏感的依赖性非线性系统建模的困难非线性系统建模的困难仅有少数的数仅有少数的数学模型学模型简单的映射系统具有混沌普适的性质简单的映射系统具有混沌普适的性质混沌现象具有次序混沌现象具有次序短期预报和控制的可能性短期预报和控制的可能性 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌（1）虫口模型虫口模型昆虫数目变化的数学模型（虫口模型）昆虫数目变化的数学模型（虫口模型）x xn+1n+1axaxn

7、n (线性差分方程）线性差分方程）其中，其中，x xn n为第为第 n n年的虫口数目，年的虫口数目，a a 为每只成虫平均产卵的为每只成虫平均产卵的数目数目,x,xn+1n+1为第（为第（n n1 1）年的虫口数目。用）年的虫口数目。用x xAeAett代入，代入，可解得可解得x xn nx x0 0a an n；其中，；其中，x x0 0为起始年虫口的数目。为起始年虫口的数目。虫口模型的修正虫口模型的修正虫子之间的咬斗会造成虫子之间的咬斗会造成x xn n只虫子的减员，此类事件的总数只虫子的减员，此类事件的总数为为 x xn n(x(xn n+1)/2+1)/2x xn n2 2 （x x

8、n n11）则修正后的虫口模型为则修正后的虫口模型为 x xn+1n+1axaxn n bxbxn n2 2此方程为虫口数目的演化方程，是一个抛物线方程，该方此方程为虫口数目的演化方程，是一个抛物线方程，该方程很难有解析解。程很难有解析解。2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌（2）虫口模型的等价形式虫口模型的等价形式虫口模型演化方程迭代的实质虫口模型演化方程迭代的实质虫口数目的演化方程实质上是反复使用抛物线的函数关系虫口数目的演化方程实质上是反复使用抛物线的函数关系 yaxbx2 进行迭代。进行迭代。抛物线方程的拓扑等价抛物线方程的拓扑等价 y yaxaxb

9、xbx2 2 的拓扑等价方程为的拓扑等价方程为 y y1 1xx2 2 相应的演化方程为相应的演化方程为 x xn+1n+11 1 xxn n2 2 其中其中隐含着成虫平均产卵的数目。研究抛物线演化方程，隐含着成虫平均产卵的数目。研究抛物线演化方程，除了研究其迭代外，还要研究除了研究其迭代外，还要研究变化对虫口数目的影响变化对虫口数目的影响单峰映射和抛物线映射为同一个拓扑等价类单峰映射和抛物线映射为同一个拓扑等价类虫口模型或抛物线映射的研究，具有拓扑等价虫口模型或抛物线映射的研究，具有拓扑等价意义上的普适性意义上的普适性 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌

10、(3)抛物线映射的研究方法抛物线映射的研究方法混沌分类混沌分类 瞬态混沌瞬态混沌 系统处于瞬态时的混沌行为系统处于瞬态时的混沌行为 空间混沌空间混沌 无穷维动力系统对初值和边界条件都有敏感性无穷维动力系统对初值和边界条件都有敏感性 时空混沌时空混沌 无穷维动力系统在时间和空间上都有混沌行为无穷维动力系统在时间和空间上都有混沌行为 随机混沌随机混沌 随机非线性系统（非确定性系统）产生的混沌行为随机非线性系统（非确定性系统）产生的混沌行为 一般混沌研究对长期或短期行为的预报感兴趣，所以只研究一般混沌研究对长期或短期行为的预报感兴趣，所以只研究瞬态之后出现的混沌瞬态之后出现的混沌迭代作图迭代作图 虫

11、口数目可以用简单的计算机程序来计算。为形象化地说明虫口数目可以用简单的计算机程序来计算。为形象化地说明问题，可以用线段映射的方法作图来表示问题，可以用线段映射的方法作图来表示轨道（轨线）轨道（轨线）由上作图，可以得到轨道由上作图，可以得到轨道 x0，x1，xi，xi1，其中，其中，xi 称为轨道点称为轨道点 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)不动点和周期轨道不动点和周期轨道不动点（平衡点不动点（平衡点/奇点）奇点）xix*（任意（任意 iN)在某次迭代后，轨道点在某次迭代后，轨道点xi不再变化，则称不再变化，则称x*为不动点为不动点 从物理上讲，不动

12、点是动力系统的平衡点从物理上讲，不动点是动力系统的平衡点 从数学上讲，不动点是动力学方程的奇点从数学上讲，不动点是动力学方程的奇点周期轨道周期轨道xN，xN1，xNp1 xNp，xNp+1，xN2p1上述两列各轨道点的值完全相同，且上一列最后一个轨道点与下一列上述两列各轨道点的值完全相同，且上一列最后一个轨道点与下一列的第一个相邻；所有的轨道点按上述规律无限循环的第一个相邻；所有的轨道点按上述规律无限循环 轨道点的个数即是周期数；如上述一列中的个数为轨道点的个数即是周期数；如上述一列中的个数为4，则称该轨道为，则称该轨道为周期周期4轨道轨道周期周期1轨道就是不动点轨道就是不动点 2004.5混

13、沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)准周期轨道和随机轨道准周期轨道和随机轨道准周期轨道准周期轨道*对于某个对于某个xi的轨道点，迭代一定的次数的轨道点，迭代一定的次数(周期）后，周期）后，轨道点就回到轨道点就回到xi附近，但是不会等于附近，但是不会等于xi；等到下一个；等到下一个循环，轨道点再次回到循环，轨道点再次回到xi，而且更加接近，而且更加接近xi*如此周而复始，轨道点会随循环次数的增多，逐渐地如此周而复始，轨道点会随循环次数的增多，逐渐地逼近逼近xi*这种看似周期轨道，却不是严格的周期轨道，称为准这种看似周期轨道，却不是严格的周期轨道，称为准周期轨道周期轨道

14、随机轨道随机轨道 *轨道点完全随机轨道点完全随机 *此处的随机是在确定性动力系统中，由非线性产生此处的随机是在确定性动力系统中，由非线性产生 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)混沌轨道、相空间和相图混沌轨道、相空间和相图混沌轨道混沌轨道*在有限长的轨道点中，有某些近似的重复图式或在有限长的轨道点中，有某些近似的重复图式或“结构结构”*用该有限长为单位考察整个轨道时，该有限长的出现为用该有限长为单位考察整个轨道时，该有限长的出现为随机的随机的*当该有限长轨道点个数为当该有限长轨道点个数为1 1时，混沌轨道即为随机轨道时，混沌轨道即为随机轨道*混沌轨道对

15、初值极为敏感混沌轨道对初值极为敏感相空间和相图相空间和相图*扩展相空间扩展相空间 动力系统方程组所对应的矢量空间动力系统方程组所对应的矢量空间*相空间相空间 去除时间去除时间 t后的矢量空间后的矢量空间*流流 动力系统方程组解曲线实体（动力系统方程组解曲线实体（2维空间为曲面，维空间为曲面，3维空间为曲体）维空间为曲体）*相图相图 流中某一个解曲线（对应于某个初值）在相空间的轨迹流中某一个解曲线（对应于某个初值）在相空间的轨迹*抛物线的迭代轨道抛物线的迭代轨道 离散相空间的相图离散相空间的相图 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)分岔图分岔图分岔图研究

16、的必要性分岔图研究的必要性抛物线方程抛物线方程 x xn+1n+11 1 xxn n2 2中中的意义的意义 *成虫每年平均产卵的数成虫每年平均产卵的数目目 *动力系统的参数动力系统的参数参数参数的变化，将极大地影的变化，将极大地影响轨道的变化响轨道的变化分岔图及其特点分岔图及其特点*把相空间和参量空间联合把相空间和参量空间联合起来组成平面图，考察轨起来组成平面图，考察轨道行为道行为*分岔图中有分岔点、暗线分岔图中有分岔点、暗线和周期窗口等丰富的结构和周期窗口等丰富的结构 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)分岔图结构（分岔图结构（1）周期稳定区周期稳定

17、区/混沌区混沌区*Feigenbaum（F点）左边点）左边/右边右边*Feigenbaum常数常数 1.40115518909295分岔点分岔点 周期变化之间的交叉点周期变化之间的交叉点超稳定轨道超稳定轨道 -映射复合函数的导数在轨道中映射复合函数的导数在轨道中 每一每一 个轨道点处的值个轨道点处的值0 -图中周期图中周期2、周期、周期4等都是超稳等都是超稳 定轨定轨道道超稳定轨道稳定范围超稳定轨道稳定范围两分岔点之间的参数值两分岔点之间的参数值倍周期分岔序列倍周期分岔序列(Feigenbaom常数常数F点的点的左边左边)1-2-4-8-16-21-2-4-8-16-2n n-无穷结论结论倍周

18、期稳定区间越来越小倍周期稳定区间越来越小参数值越来越接近参数值越来越接近F点的常数点的常数 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)分岔图结构（分岔图结构（2）混沌带混沌带F点右边的区域黑色的部分点右边的区域黑色的部分I-H部分为部分为1带混沌区带混沌区H-G部分为部分为2带混沌区带混沌区G-F部分为部分为4带以上的混沌区带以上的混沌区混沌带倍周期合并序列混沌带倍周期合并序列(Feigenbaom常数常数F点的右边点的右边)无穷-2-2n n-16-8-4-2-1-16-8-4-2-1结论结论混沌带倍周期合并序列混沌带倍周期合并序列持持 续区续区间越来越小

19、间越来越小倍周期混沌带合并序列的收敛倍周期混沌带合并序列的收敛速率与倍周期分岔序列的收敛速率与倍周期分岔序列的收敛速率相等速率相等 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)分岔图结构（分岔图结构（3）暗线暗线以迭代相应的映射函数的导数以迭代相应的映射函数的导数等于等于0的点作初值，每一次迭代的点作初值，每一次迭代的方程在相的方程在相参空间的曲线参空间的曲线可以描述动力系统不稳定的不可以描述动力系统不稳定的不动点动点周期窗口周期窗口混沌区中白的竖条混沌区中白的竖条周期窗口较为复杂，需要符号周期窗口较为复杂，需要符号动力学使用揉序列来计算，或动力学使用揉序列来

20、计算，或是使用动力系统的功率谱来观是使用动力系统的功率谱来观察察最右边的最宽的白竖条为周期最右边的最宽的白竖条为周期3窗口窗口 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)切分岔与阵发混沌切分岔与阵发混沌周期周期3 3窗口（切分岔）特征窗口（切分岔）特征3 3带（上、中、下）带（上、中、下）混沌自相似现象（每一个带都与前混沌自相似现象（每一个带都与前页的抛物线分岔图一样）页的抛物线分岔图一样）阵发混沌阵发混沌在在1.7091.709处，发生突变处，发生突变周期周期3轨道机理轨道机理右下图左侧为右下图左侧为f f（3 3）（x,x,)的曲线；的曲线；该曲线与对角

21、线在该曲线与对角线在A A点相切，点相切，B B点处点处有一条窄缝有一条窄缝迭代进入窄缝后，要经过若干次迭迭代进入窄缝后，要经过若干次迭代，才可能从窄缝中穿出去代，才可能从窄缝中穿出去穿出去后，经过若干次在穿出去后，经过若干次在f f（3 3）曲线曲线其它部分的迭代，有可能再次进入其它部分的迭代，有可能再次进入窄缝，再次重复以上过程窄缝，再次重复以上过程上述过程，形成右侧上图的阵发混上述过程，形成右侧上图的阵发混沌沌 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)Lyapunov指数指数Lyapunov指数指数初值相邻的轨道初值相邻的轨道在相空间按指数规律发散在

22、相空间按指数规律发散用相空间体积的散度来定用相空间体积的散度来定义义Lyapunov指数指数Lyapunov指数特征指数特征0：混沌运动：混沌运动测度和熵（略）测度和熵（略）2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映射及混沌抛物线映射及混沌(4)奇怪吸引子奇怪吸引子耗散系统耗散系统能量不守恒的有摩擦力的系统能量不守恒的有摩擦力的系统实际的物理系统都是耗散系统实际的物理系统都是耗散系统耗散系统吸引子耗散系统吸引子相空间体积随时间增长不断收缩到一个区域相空间体积随时间增长不断收缩到一个区域(集合集合)中中奇怪吸引子奇怪吸引子耗散系统相空间体积收缩耗散系统相空间体积收缩混沌轨道在某个方向上按混

23、沌轨道在某个方向上按LyapunovLyapunov指数发散指数发散在相空间体积收缩的同时，相空间轨道无穷折叠、在相空间体积收缩的同时，相空间轨道无穷折叠、扭曲和拉伸，构造出一种复杂的几何图像，即奇怪扭曲和拉伸，构造出一种复杂的几何图像，即奇怪吸引子（如图）吸引子（如图）奇怪吸引子特征奇怪吸引子特征图形镜像或对称图形镜像或对称局部与整体有自相似结构局部与整体有自相似结构其中的轨道永远不相交和重复（区别于周期轨道）其中的轨道永远不相交和重复（区别于周期轨道）与与LyapunovLyapunov指数密切相关指数密切相关奇怪吸引子奇怪吸引子=混沌混沌 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座抛物线映

24、射及混沌抛物线映射及混沌(4)通向混沌的道路通向混沌的道路倍周期分岔通向混沌的道路倍周期分岔通向混沌的道路切分岔通向混沌的道路（阵发混沌道路）切分岔通向混沌的道路（阵发混沌道路）N N1 1周期增加通向混沌的道路周期增加通向混沌的道路 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(1)(1)历史（历史（1）混沌电子学形成混沌电子学形成8080年代初，电子学界开始关注非线性电路系统的动力学年代初，电子学界开始关注非线性电路系统的动力学行为行为出现了模拟各种物理系统的非线性电路出现了模拟各种物理系统的非线性电路ChuaChua电路历史（电路历史（1 1）19831983

25、年前年前 Leon O.ChuaLeon O.Chua（蔡绍棠）给出了（蔡绍棠）给出了ChuaChua电路的原型电路的原型19831983年年 T.MatsymotoT.Matsymoto给出了给出了ChuaChua电路的计算机模拟结果，并电路的计算机模拟结果，并 命名为命名为ChuaChua电路电路19841984年年 G.Q.ZhongG.Q.Zhong和和F.AyromF.Ayrom给出了第一个混沌实验结果给出了第一个混沌实验结果 19841984年年 继继ZhongZhong和和AyromAyrom后，后，T.Matsymoto T.Matsymoto，给出了第二个，给出了第二个 Ch

26、ua Chua电路的实验结果，该实验电路由电路的实验结果，该实验电路由TokynagaTokynaga设计设计 19851985年年 M.KomuroM.Komuro和和T.MatsymotoT.Matsymoto研究组的学生给出了研究组的学生给出了chuachua电电 路的分岔图（图路的分岔图（图1717，2020，2222由艺术家画出）由艺术家画出）ChuaChua混沌电路已经成形，但是没有得到理论的证明 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(1)(1)历史（历史（2）ChuaChua电路历史（电路历史（2 2）19861986年年 M.KomuroM.

27、Komuro等人给出了等人给出了ChuaChua电路满足电路满足ShilnikovShilnikov定理的定理的证明，但该证明没有给出证明，但该证明没有给出ChuaChua电路的双螺旋吸引子就是电路的双螺旋吸引子就是混沌吸引子的结论混沌吸引子的结论19901990年年 L.O.ChuaL.O.Chua和和G.N.LinG.N.Lin给出了给出了ChuaChua电路在连续的奇对电路在连续的奇对称线性矢量场中的称线性矢量场中的C*C*类电路（动力学等效电路）类电路（动力学等效电路）19931993年年 V.N.BelykhV.N.Belykh和和L.O.ChuaL.O.Chua在在 2 2维几何图

28、形上给出了双维几何图形上给出了双螺旋吸引子就是混沌吸引子的证据螺旋吸引子就是混沌吸引子的证据历经历经1010年，年，ChuaChua电路以其最简的形式，从实验和理论电路以其最简的形式，从实验和理论上，得到了确认和普遍的认可上，得到了确认和普遍的认可在最近的在最近的1010年中，年中，ChuaChua电路被广泛地使用在各种混沌电路被广泛地使用在各种混沌应用中应用中 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(2)(2)稳定和不稳定的不动点（稳定和不稳定的不动点（1）不动点定义不动点定义 离散系统：离散系统：抛物线轨道点不变，即抛物线轨道点不变，即xix*连续系统：连

29、续系统：对自治系统对自治系统 dx/dtf(x)，令，令f(x*)0，即，即dx/dt不变不变 化，则化，则x*是不动点是不动点不动点稳定性判断方法不动点稳定性判断方法LyapunovLyapunov第一近似方程第一近似方程 将将f(x)泰勒展开，略去高次项，得到线性方程泰勒展开，略去高次项，得到线性方程 dx/dtAx 其中，其中，ADx f(x0)为在为在xx0 处处Jacobi矩阵的值矩阵的值不动点稳定性判断方法不动点稳定性判断方法 可以根据可以根据Dx f(x0)本征值实部和虚部的不同情况，来判断不动本征值实部和虚部的不同情况，来判断不动点的稳定性点的稳定性 2004.5混沌电子学讲座

30、混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(2)(2)稳定和不稳定的不动点（稳定和不稳定的不动点（2）二维动力系统不动点的二维动力系统不动点的稳定性（稳定性（1 1）二维系统动力学近似方程二维系统动力学近似方程最后一行为二维系统动力学方最后一行为二维系统动力学方程的特征根方程程的特征根方程结点结点 特征根为实数且同号特征根为实数且同号稳定结点稳定结点 同号为负同号为负,收敛收敛 （汇结点）（汇结点）不稳定结点不稳定结点 同号为正同号为正,发散发散 (源结点源结点)注：图中的直线时特征根注：图中的直线时特征根0 0的情况的情况 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子

31、学的概念(2)(2)稳定和不稳定的不动点（稳定和不稳定的不动点（3）二维动力系统不动点的二维动力系统不动点的稳定性（稳定性（2 2）鞍点鞍点 特征根异号特征根异号鞍点粗略地讲是不稳定的鞍点粗略地讲是不稳定的焦点焦点 特征根为共轭复数特征根为共轭复数稳定焦点稳定焦点 实部为负实部为负,收敛收敛 （渐进）稳定（渐进）稳定不稳定焦点不稳定焦点 实部为正实部为正,发散发散 不稳定不稳定中心点中心点 特征根为虚数，特征根为虚数，即实部为即实部为0 0轨道以不动点为中心的封闭曲线族，轨道以不动点为中心的封闭曲线族，动力系统作周期运动，稳定动力系统作周期运动，稳定 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混

32、沌电子学的概念混沌电子学的概念(2)(2)稳定和不稳定的不动点（稳定和不稳定的不动点（4）不动点不动点类型类型特征根特征根实部实部特征根特征根虚部虚部稳定性稳定性轨道轨道汇结点汇结点同号同号负负无无稳定稳定轨道向不动点轨道向不动点运动运动源结点源结点同号同号正正无无不稳定不稳定轨道由不动点轨道由不动点向外运动向外运动鞍点鞍点异号异号无无不稳定不稳定向不动点运动向不动点运动的轨道稳定的轨道稳定焦点焦点1负负有有(共轭共轭)稳定稳定焦点焦点2正正有有(共轭共轭)不稳定不稳定中心点中心点0有有(共轭共轭)稳定稳定周期轨道周期轨道在在LyapunovLyapunov第一近似条件下得到以上结论第一近似条

33、件下得到以上结论除鞍点外，特征根实部为表征轨道运动方向的数；为负时收敛，稳定；为正，则发除鞍点外，特征根实部为表征轨道运动方向的数；为负时收敛，稳定；为正，则发散，不稳定；为散，不稳定；为0 0时，轨道作周期运动时，轨道作周期运动特征根为共轭复数时，轨道为螺旋线；为实数时，两者相等为直线，两者不等，为特征根为共轭复数时，轨道为螺旋线；为实数时，两者相等为直线，两者不等，为抛物线（同为负），或双曲线（同为正）抛物线（同为负），或双曲线（同为正）2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(3)(3)Chua电路原理（电路原理（1）LorenzLorenz奇怪吸引子分析

34、奇怪吸引子分析上下两个轨道为螺旋线上下两个轨道为螺旋线 两个焦点两个焦点上下部分对称，且向对方延伸上下部分对称，且向对方延伸 不是平面的焦点，应为三维不是平面的焦点，应为三维焦点焦点中心部分也有螺旋型的结构中心部分也有螺旋型的结构 中心部分也应为三维的焦点中心部分也应为三维的焦点 ChuaChua电路的必要条件电路的必要条件应该三维应该三维有三个不动点有三个不动点 不动点应该为不稳定的焦点不动点应该为不稳定的焦点 应该有一个非线性器件应该有一个非线性器件 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(3)(3)Chua电路原理（电路原理（2）Chua电路原理图电路原

35、理图 电感电感1，电容，电容2，电阻，电阻1，负阻，负阻1（分段非线性电（分段非线性电 阻，又称阻，又称Chua二极管）二极管）系统方程系统方程 式中，式中，G G1/R1/R，G Ga a和和G Gb b如图所示如图所示ChuaChua二极管二极管V VI I特性曲线特性曲线 G Ga a0,G0,Gb b00(GE0(Gb b与与G Ga a交点处的交点处的V VR R值）值）三个区三个区:D D0 0 (-E V(-E VR R E)E)D D（V VR R -E E E）三个区粘结在一起组成一个负阻器件三个区粘结在一起组成一个负阻器件(注意不是线性叠加）注意不是线性叠加）2004.5混

36、沌电子学讲座混沌电子学讲座ChuaChua电路不动点研究电路不动点研究中心区中心区D D0 0动力学方程动力学方程 特征根方程特征根方程 特征根特征根 一个实数根一个实数根0 0 一对共轭复数根一对共轭复数根 设置参数使特征根为设置参数使特征根为0 0 25291 25291 三维不动点性质三维不动点性质复共轭根复共轭根 为稳定的焦点为稳定的焦点O O，在复平面，在复平面 E EC C（0 0）上轨道向不动点运动）上轨道向不动点运动(如图）如图）0 0为垂直于复平面的一个矢量，不稳定为垂直于复平面的一个矢量，不稳定中心区中心区D D0 0轨道轨道 轨道向不动点运动，且随时间而逐渐沿轨道向不动点

37、运动，且随时间而逐渐沿E Er r(0)(0)方向（指数发散）向上或向下盘旋方向（指数发散）向上或向下盘旋混沌电子学的概念混沌电子学的概念(3)(3)Chua电路原理（电路原理（3）2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(3)(3)Chua电路原理（电路原理（4）ChuaChua电路不动点研究电路不动点研究外区外区D D/D/D-动力学方程动力学方程 特征根方程特征根方程 特征根特征根 一个实数根一个实数根1 1 一对共轭复数根一对共轭复数根 参数与中心区相同，可以使参数与中心区相同，可以使D D/D/D-区特征根区特征根 三维不动点性质三维不动点性质复共轭根

38、复共轭根 为不稳定的为不稳定的焦点焦点P P/P/P-，在复平面，在复平面E Er r(P(P)/E)/Er r(P(P)上，轨道由不动点向外运动上，轨道由不动点向外运动(如图）如图）r r1 1 ，为垂直于复平面的一个，为垂直于复平面的一个矢量，稳定（收敛）矢量，稳定（收敛）外区外区D D/D/D-轨道轨道轨道由不动点向外运动，且随时间而逐轨道由不动点向外运动，且随时间而逐渐沿渐沿E Er r(P(P)、E Er r(P(P)方向（指数收敛）方向（指数收敛）向上或向下盘旋向上或向下盘旋P P ，P P由初始条件决定由初始条件决定 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电

39、子学的概念(3)(3)Chua电路原理（电路原理（5）Chua电路的全局行为电路的全局行为 D D0 0、D D和和D D区粘接在一起的情况区粘接在一起的情况Chua电路周期和分岔的产生电路周期和分岔的产生ChuaChua电路不动点方程电路不动点方程I IR R为为ChuaChua二极管负阻二极管负阻ChuaChua动力学方程左端动力学方程左端0 0，为直流解，为直流解动力学方程的直流解为动力学方程的直流解为 I IR RGVGVR R (G(G1/R)1/R)ChuaChua电路的周期和分岔电路的周期和分岔调节电阻调节电阻R R（改变（改变G G），也即改变图中红线），也即改变图中红线（直流

40、解）的斜率（直流解）的斜率图（图（b b）D D和和D D的实不动点随着红线（直流的实不动点随着红线（直流解）改变为虚不动点解）改变为虚不动点在改变过程中，不动点的实特征值和复共轭在改变过程中，不动点的实特征值和复共轭特征值的稳定性也会改变，从而形成轨道周特征值的稳定性也会改变，从而形成轨道周期或分岔的现象期或分岔的现象改变其它参数也可以改变不动点的稳定性，改变其它参数也可以改变不动点的稳定性，得到相同的结果得到相同的结果 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(4)(4)Chua电路相图和分岔图电路相图和分岔图分岔图分岔图ChuaChua电路实测的分岔图电路

41、实测的分岔图与抛物线映射的分岔图一致与抛物线映射的分岔图一致相图相图倍周期增加通向混沌的道路倍周期增加通向混沌的道路阵发混沌的道路阵发混沌的道路N1分岔通向混沌的道路分岔通向混沌的道路事实上，为周期窗口通向混沌的道路（分事实上，为周期窗口通向混沌的道路（分岔图中的空白处）岔图中的空白处）每个双螺旋中间都有混沌图形出现每个双螺旋中间都有混沌图形出现在分岔图上为逆向在分岔图上为逆向出现模糊轨道的单出现模糊轨道的单/双螺旋吸引子就是双螺旋吸引子就是奇怪吸引子，就是混沌；也即，轨道奇怪吸引子，就是混沌；也即，轨道可以分成若干个局部，每个局部有相可以分成若干个局部，每个局部有相似似/相同的结构，但是局部

42、的出现是随相同的结构，但是局部的出现是随机的机的Zhua电路吸引子的理论证明略电路吸引子的理论证明略 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的概念混沌电子学的概念(5)(5)实际的实际的ChuaChua电路电路 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学实验方法混沌电子学实验方法 概述概述硬件实验硬件实验相图相图分岔图分岔图数值实验数值实验内容内容相图相图分岔图分岔图LyapunovLyapunov指数指数功率谱功率谱方法方法PSpicePSpiceMATLAB 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学实验方法混沌电子学实验方法 硬件实验方法硬件实验方法 相图获取

43、方法相图获取方法 观测观测Vc1Vc1Vc2Vc2的李萨育图，的李萨育图，即即Vc1Vc1Vc2Vc2相空间图相空间图分岔图获取方法分岔图获取方法1-D map1-D map代表了相轨道的性代表了相轨道的性质质Poincare Cross SectionPoincare Cross Section取取得输入的得输入的V Vc1c1V Vc2c2（轨线）的（轨线）的变化而产生变化而产生d d和和d d的脉冲的脉冲d d和和d d在同一时刻开始，在同一时刻开始，dd较较d d脉冲窄，用来保持脉冲窄，用来保持V Vc1c1V Vc2c2变化的当前状态（变化的当前状态（x xn n1 1），而），而d

44、 d则用来保持则用来保持Vc1Vc1Vc2Vc2变化的过去的状态变化的过去的状态x xn n锯齿波控制电容，使锯齿波控制电容，使ChuaChua电电路路Vc1Vc1Vc2Vc2发生变化，发生变化，1-D 1-D map circuitmap circuit部件把当前状部件把当前状态和上一个状态（态和上一个状态（ChuaChua电路电路轨线的周期变化的情况）送轨线的周期变化的情况）送到示波器中观测到示波器中观测 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学实验方法混沌电子学实验方法 数值实验方法数值实验方法PSPICE输入线路图进行模拟（必须要有线路部件的模型）输入线路图进行模拟（必须要有

45、线路部件的模型）输入文件法输入文件法建立理想电路模型解微分方程建立理想电路模型解微分方程MATLAB解微分方程解微分方程 计算相图和分岔图计算相图和分岔图时间序列时间序列重构相空间重构相空间 计算最大计算最大LyapunovLyapunov指数指数MATLABMATLAB是最重要的数值实验平台是最重要的数值实验平台 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的应用混沌电子学的应用 混沌同步混沌控制的应用混沌同步混沌控制的应用混沌同步和控制的应用混沌同步和控制的应用改善和提高激光器改善和提高激光器美国海军研究实验室利用混沌电路，跟踪和控制激光系统随时间演化的参美国海军研究实验室利用混沌电

46、路，跟踪和控制激光系统随时间演化的参数变化，使激光在数变化，使激光在2323周期时也能稳定输出，使激光的功率提高了周期时也能稳定输出，使激光的功率提高了1515倍倍混沌通讯混沌通讯Carroll和和Pecora发现了混沌锁相环电路，实现了混沌模拟通信电路发现了混沌锁相环电路，实现了混沌模拟通信电路Chua实现了利用实现了利用Chua电路混沌编码的方法的混沌编码通信电路电路混沌编码的方法的混沌编码通信电路为了难以破译，目前大部分研究者都集中在高维系统的超混沌通信方面为了难以破译，目前大部分研究者都集中在高维系统的超混沌通信方面进行研究进行研究混沌编码混沌编码图像加密的水印研究图像加密的水印研究大

47、容量的动态信息存储器大容量的动态信息存储器受控热核反应的等离子体混沌控制受控热核反应的等离子体混沌控制时空混沌的同步时空混沌的同步 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学的应用混沌电子学的应用 其它应用其它应用其它方面的应用其它方面的应用医学方面的应用医学方面的应用心脏运动是一个混沌运动，利用心脏运动是一个混沌运动，利用OGYOGY控制方法做成的混沌控制电路，控制方法做成的混沌控制电路，有利于治疗心室纤维颤动有利于治疗心室纤维颤动脑神经系统混沌运动监测电路脑神经系统混沌运动监测电路混沌神经元网络混沌神经元网络利用利用Chua电路做成神经元网络，使用混沌编码电路做成神经元网络，使用混

48、沌编码混沌模拟识别混沌模拟识别磁场感应探测器磁场感应探测器 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学讲座 主要参考文献主要参考文献郝柏林，从抛物线谈起郝柏林，从抛物线谈起混沌动力学引论，混沌动力学引论，非线性科学丛书，上海科技教育出版社，非线性科学丛书，上海科技教育出版社，19931993年年9 9月第月第1 1版版Michael Peter Kennedy，“Three Steps to ChaosPart II:Chuas Circuit Primer”，IEEE Trans.on Circ.And Sys.I:Fund.Theory and Appl.,V.40,No.10,Oct.1993Chai Wah Wu,etc.,“Studying Chaos via 1-D MapsA Tutorial”，IEEE Trans.on Circ.And Sys.I:Fund.Theory and Appl.,V.40,No.10,Oct.1993 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学讲座混沌电子学讲座谢谢 2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座演讲完毕，谢谢观看！