第二章多自由度系统的运动微分方程课件.ppt

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1、2.2.用牛顿第二定律列写系统的运动微用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程分方程3.3.用影响系数法建立系统的运动微分用影响系数法建立系统的运动微分 方程方程第一讲：第一讲：第二章第二章:多自由度系统的运动微分方程多自由度系统的运动微分方程1.1.建立多自由度系统运动微分方程的建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述各种方法的概述1.1.多自由度系统运动微分方程的一般形式多自由度系统运动微分方程的一般形式建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 回想单自由度系统运动微分方程的一般形式回想单自由度系统运动微分方程的一般形式 多自由度系统运动微

2、分方程的一般形式多自由度系统运动微分方程的一般形式质量矩阵质量矩阵位移向量位移向量阻尼矩阵阻尼矩阵刚度矩阵刚度矩阵激振力向量激振力向量多自由度系统运动微分方程的一般形式多自由度系统运动微分方程的一般形式建立方法建立方法HamiltonHamilton原理：原理：主要适用于连续系统主要适用于连续系统建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述2.2.系统运动微分方程的建立方法系统运动微分方程的建立方法牛顿第二定律牛顿第二定律:适用于自由度不多的离散系统或简单的适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统连续系统动量矩定理动量矩定理:主要主要适用于自由度

3、不多的离散系统适用于自由度不多的离散系统影响系数法：影响系数法：主要适用于自由度不多的离散系统主要适用于自由度不多的离散系统LagrangeLagrange方程法：方程法：主要适用于离散系统主要适用于离散系统有限单元法：有限单元法：离散系统，连续系统都适用，是一种最离散系统，连续系统都适用，是一种最 通用的建模方法通用的建模方法返回返回返回返回用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程1.1.直角坐标形式的牛顿第二定律直角坐标形式的牛顿第二定律 列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。加速度的

4、正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要 用用 或或 或或 表示就可以了。表示就可以了。1.1.总体思路总体思路用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程影响系数法柔度影响系数刚度影响系数阻尼影响系数质量影响系数刚度影响系数 ：第 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第 自由度处沿着位移方向施加的力。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程2.2.刚度影响系数刚度影响系数解：解：令【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影

5、响系数法建立系统的运动微分方程令刚度矩阵：用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程柔度矩阵柔度矩阵柔度影响系数 ：第 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，在第 自由度上产生的位移。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程3.3.柔度影响系数柔度影响系数【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程柔度矩阵：柔度矩阵：用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程4.4.阻尼影响系数阻尼影响系数阻尼影响系数 ：第 个自由度产生单位速度，其他自由度

6、处的速度为零 时，需要在第 自由度处施加的力。质量影响系数 ：第 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度 为零时，需要在第 自由度处施加的力。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程5.5.质量影响系数质量影响系数 此系统用刚度法方便还是柔度法方便？奇异（秩亏损）奇异（秩亏损）用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程6.6.思考思考 能否对此系统实施柔度法？刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约束的数目，求解比较繁。柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几

7、乎不能实现。如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所以刚度法的应用范围比柔度法要大。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程7.7.小结小结【课堂练习课堂练习】求图示摆的柔度矩阵求图示摆的柔度矩阵用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程STOP第二讲：第二讲：1.1.LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系

8、统的运动方程建立系统的运动微分方程微分方程3.3.课堂练习课堂练习第二章第二章:多自由度系统的运动微分方程多自由度系统的运动微分方程LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景1.1.牛顿力学方程的缺陷牛顿力学方程的缺陷隔离体隔离体1 1的受力分析的受力分析隔离体隔离体2 2的受力分析的受力分析隔离体隔离体3 3的受力分析的受力分析刚体平面运动微分方程：（见刚体平面运动微分方程：（见理论力学理论力学，范钦珊主编），范钦珊主编）LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景隔离体隔离体3 3的受力分析的受力分析LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生

9、背景LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景隔离体的受力分析将未知约束力引入到动力学方程中导致动力学方程中未知变量急剧增加LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程约束方程不包含质点的速度，或者包含质点的速度，但约约束方程不包含质点的速度，或者包含质点的速度，但约束方程是可以积分的约束称为束方程是可以积分的约束称为完整约束。完整约束。约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为非完整约束。非完整约束。唯一地确定质点系在空间的构

10、型的独立坐标称为唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标。广义坐标。完整约束完整约束（理论力学理论力学 范钦珊范钦珊 主编）主编）广义坐标广义坐标（理论力学理论力学 范钦珊范钦珊 主编）主编）系统不存在粘性阻尼时系统不存在粘性阻尼时动能广义坐标势能广义坐标 对应的非保守主动力 系统存在粘性阻尼时系统存在粘性阻尼时耗散函数1.1.完整约束系统的完整约束系统的LagrangeLagrange方程的具体形式方程的具体形式利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的步骤方

11、程建立系统运动微分方程的步骤 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；3.3.用用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的优点方程建立系统运动微分方程的优点 不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力,是建立复杂离散 系统运动微分方程的首选方法；将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；即可用于线性系统，也可用于非线性系统。利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程4.4.【例题例

12、题】试求图示双摆系统的运动方程。解：选取 和 为广义坐标取 轴为重力势能零点，则系统的势能为系统的动能为利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程动能 和势能 的表达式方程是非线性的，在微振动假设下此方程可进一步简化利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程 由微振动假设,系统各个广义坐标和广义速度都可以看作是一阶小量,从而导出的微幅振动方程也将精确到一阶小量.利用拉格朗日方程求系统的运动微分方程时，系统的能量要对广义坐标求一阶导数，求导后精度将降低一阶，所以在计算动能和势能的时候必须精确到二阶

13、小量。方同著振动理论及应用利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程5.5.微振动假设下的注意事项微振动假设下的注意事项6.6.思考思考 在微振动假设下,在用Lagrange方程列写系统的运动微分方程时有两种处理方式：在计算动能和势能时就将其精确到二阶小量，然后代入Lagrange 方程；在计算动能和势能时不做任何处理，代入Lagrange方程后最后再 化简（线性化）；问：哪一种方式简便？为什么？利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程7.7.【例题例题】在微振动假设下，试求图示双摆系统的运动

14、方程。系统的势能为系统的动能为利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程对于离散系统对于离散系统,耗散函数耗散函数的计算类似于系统的计算类似于系统弹性势能弹性势能的计算的计算,只不过只不过需要将需要将弹性势能弹性势能的计算中的的计算中的刚度系数刚度系数换成换成阻尼系数阻尼系数,广义位移换广义位移换成成广广义速度义速度耗散函数耗散函数:势能势能:利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程8.8.耗散函数的计算耗散函数的计算耗散函数：耗散函数：试列出如下系统的耗散函数：试列出如下系统的耗散函数：弹性

15、势能：弹性势能：利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程返回返回返回返回【例例1 1】建立图示系统的运动方程建立图示系统的运动方程解:取 为广义坐标，则该系统的动、势能分别为：课堂练习课堂练习非保守外力在虚位移上所做虚功之和课堂练习课堂练习【例例2 2】建立图示系统的运动方程建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移取小车的绝对位移 和圆柱体的绝对位和圆柱体的绝对位移移 为广义坐标为广义坐标.运动方程运动方程:课堂练习课堂练习【例例3 3】在微振动假设下建立图示系统的运动方程在微振动假设下建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移 和摆的偏转角 为广义坐标.课堂练习课堂练习计算势能计算势能:取 为系统的零势能位置.计算动能计算动能:u求广义力求广义力:课堂练习课堂练习u让摆锤在水平方向产生一个虚位移 而 在此虚位移下所做的虚功为运动方程运动方程:课堂练习课堂练习STOP