第五章-自旋波理论课件.ppt

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1、第五章第五章 自旋波理论自旋波理论?5.1 自旋波物理图像?5.2 自旋波的半经典理论?5.3 自旋波的量子力学处理?5.4 铁磁体在低温下的热力学性质?5.5 H-P自旋波理论与自旋波相互作用?5.6 反铁磁体和亚铁磁体中的自旋波?5.7 磁偶极作用下的自旋波色散谱?5.8 体非均匀体系中的自旋波 自旋波作为磁性固体中一种重要的元激发（如格自旋波作为磁性固体中一种重要的元激发（如格波波-晶格振动），是由局域自旋之间存在交换作用而晶格振动），是由局域自旋之间存在交换作用而引起。自旋波理论从引起。自旋波理论从 体系整体激发体系整体激发的概念出发，很好的概念出发，很好的解释了自发磁化在低温下的行为

2、。在低温下，体系能量处于较低的激发态，自旋波数较少，自旋波相互作用可以忽略，每一个自旋波可以看作是相互独立的，作用可以忽略，每一个自旋波可以看作是相互独立的，系统能量等于各个自旋波能量简单求和。在这种近似下，得到铁磁体自发磁化强度遵守下，得到铁磁体自发磁化强度遵守 T T3/23/2定律，与实验定律，与实验符合很好。符合很好。5.1 自旋波物理图像 设：N个格点组成自旋体系，每个格点自旋 S=1/2，只 考虑最近邻格点之间的交换作用，并认为相邻自 旋间的交换作用均相同（A0）体系Hamilton:当T=0K时，自旋体系呈现完全有序。总磁矩 M0=NSgB此时总能量最低，处于基态。T0K，体系中

3、有一个自旋发生翻转（偏差），则由于相邻格点间的交换作用，一方面翻转了的自旋将牵动近邻格点自旋，使它们趋于翻转；另一方面，近邻格 )1.(2)(?ijjiexSSAH?点的自旋又力图使翻转了的自旋重新翻转回来。从 而导致自旋翻转（偏差）不会停留在一个格点上，而是要一个传一个，以波的形式传播，直至弥散整 个晶体，这种自旋翻转（偏离）在晶体中的传播称 为自旋波。与晶格振动的格波类似：a.同属晶体元激发 b.所有格点都是等价的，每个格点自旋翻转概率相同（1/N）c.可以表述为 波矢 的方向表征了波传播的方向。其大小与波长 有关，K=2/)(exprkti?k?其取值不是任意的，它取决于体系的边界条件，

4、k 可能的取值数目也不是任意的，它等于体系的总自 由度。d.自旋波的能量 ,动量 （由于自旋波自旋只 是原地翻转故又称准动量）其行为常如同一个真实 的粒子，故又名“磁激子”或“铁磁子”。e.描述波性质的关系仍是色散关系，即频率 和波矢 的关系?k?k?)(k?(a)侧视图 (b)府视图 (c)ka 大小和进动的关系示意图 一维链的自旋波 5.2自旋波的半经典理论 自旋S在磁场H中的Hamilton为：如 轴，即 则 无阻尼时自旋在磁场 H作用下的运动方程为：考虑一简单的一维无穷链，每个格点有相同的自旋 ,相 邻格点之间存在交换作用（A0），则第n个格点交换作用 )1(HSHH?ZH/?),0,

5、0(zHH?)(:(旋磁比）?ZZHSH?)3.(HSdtdS?S?Hamilton:?112?nnnSSAH?)4.(211?nnnSSSA?比较（2）、（4）两式 相邻格点自旋的交换作用用等效场 Heff替代 （5）代入（3）：)5).(211?nneffSSAH?effnnHSdtdS?)6).(211?nnnSSSA?即 将围绕交换作用等效场 进动 令 ，其中，为 在进动轴方向的投影矢量，且根据前面的假设，不同格点处 相同，不随时间变化；为进动振幅矢量，其方向随时间变化。nS?effH?nznSS?n?zS?n n SZ Z Sn n Z Z x y y nS?zS?如振幅很小，即 时

6、，略去二次以上项得线性 方程：(分量形式见P255)如令 则写成标量方程：)2()(211?nnznznSSAdtd?zS?)7).(2(211?nnnznSAdtd?yxi?)8).(2(211?nnnznASti?自旋 在交换作用等效场下的运动方程（P255)：nS?n可取所有整数值，个形式相同的联立线性齐次方程 其解应当具有如下形式：其解应当具有如下形式：)9.()(tnkaine?a为相邻格点的间距，为相邻格点的间距，(9)代入代入(8)中中?一维铁磁链的自旋波色散关系一维铁磁链的自旋波色散关系 )10).(2(82kaSinASz?如共有如共有N个格点，则可以有个格点，则可以有 N个

7、个k 的取值，即可以有的取值，即可以有 N个波长不同个波长不同 的自旋波存在。的自旋波存在。k的取值决定于的取值决定于 边界条件，在周期性边界条件下边界条件，在周期性边界条件下?Nann?w-8/ASka 2N21.210,2、?NpNapk?当k0（长波极限），则 考虑德布罗意关系：222kaASz?*222mk?):(*自旋波等效质量m22*4/aASmz?如 a10-10米，A500K,Sz=1/2，则 大约比电子质量大 2个数量级。Kgm28*10?5.3自旋波的量子力学处理 方法：用交换作用 Hamilton量，求解薛定谔方程本征 解，从而得出自旋波色散关系。设自旋增加算符S+=Sx

8、+iSy，自旋减少算符S-=Sx-iSy 体系交换作用Hamilton:?)(2jijiSSAH?)()(2jijzizjyiyjxixSSSSSSA)11.()(2)(21?jijzizjijiSSSSSSA如只考虑最近邻交换作用，则 Z为最近邻数，N为体系中的格点数 一、基态：设A0，自旋向上的本征态计为 自旋向下的本征态计为 则0K时所有自旋应平行排列，系统状态可表示为：?ZNiij?21)(共NZ/2项?01?10?)12.(0|321N?由于不存在翻转的自旋由于不存在翻转的自旋 ，所以有，所以有?)(0|20|ijjZiZSSAH?0|41NZA所以|0是是 的本征态，其能量本征值为

9、：的本征态，其能量本征值为：二、局域在一个格点上的自旋翻转态二、局域在一个格点上的自旋翻转态 设在第l格点上有一个自旋翻转，则体系状态为：格点上有一个自旋翻转，则体系状态为：?H)13.(410NZAE?1211|.(14)lllNl?)(|ijjZiZlSS?lZN|)4(81?)()(|ijjiijjilSSlSS?ZZllS?|210|21)15.(|)4(41|?ZlAlNZAlH?lZZNZ|41)21(三.第一激发态的本征解 为求Hamiltion量的本征解，可将态 作付里叶展开：令 （相应反变换 ）将（16）代入（15）则得 即状态 是Hamiltion的本征态。令 则状态 相应

10、的能量本征值为?l?|?16|1|?kNlklkie?lNkllike|1|)17(|)41(|?kAZANZAkHzike?l?|)18(1?zikkerZ?)1(01rEEkZA?l?|由此得到三个重要结论：1.能量本征态 表征了体系一个确定的状态。在这个态 中，每个格点自旋翻转的概率都相等（1/N），即自旋 翻转不是局域在一个格点上，而是以相同的概率弥散在 晶体的每一个格点上。2.在状态 中，不同格点自旋翻转态相差一个相位因 子，相邻格点相位差因子均为 （a：相邻格点间 距）。因此，态 显示了波动的特征，它表征了波矢 为K的一个自旋波。3.与基态相比，一个自旋波带系的能量增量为：P261

11、?l?|?l?|eika?l?|它表征了波矢为k的自旋波能量的最小单位，一个自旋波 相当于体系中总有一个自旋翻转。而上式表明：同为一个 自旋翻转，由于自旋波波矢不同，则体系能量不同。因 此，（19）式也反应了自旋波的色散关系,并且很显然。体系中允许两个以上自旋波具有相同的波矢 k,因此，自旋 波不服从费米统计。)19).(1(01rEEEkkZA?四.近独立近似下的自旋波总能量 如果体系中存在许多相互独立的自旋波，则体系自旋 波总能量等于所有自旋波能量简单的叠加。波矢为k的自旋波个数 五.近饱和近似下自旋波的玻色性 自旋波不服从费米统计，也不符合玻色（Bose)统计（因为N总是有限的，自旋能够

12、翻转的总数 n不能超过NS)当体系的温度远低于居里点时，体系中的自旋基本上是有 序的 这时可以近似地把自旋波看作玻色子。EnkkkE?nkNSnkn?当铁磁物质在T0.5Tc时，相对自发磁化强度 即 因此，当T0.5Tc时，自旋波的波色性能够很好地满足。9.08.0)0(/)2(?MMTcNkkn)1.005.0(?5.4 铁磁体在低温下的热力学性质 一.自发磁化强度的 定律 N个格点组成自旋体系，体积 V，温度T时体系自旋翻转总数的统计平均值，则 自发磁化强度表示为 或 为计算 作如下简化：a.格点数十分巨大（N1023),因此k的取值可看作连续，从而求和变为积分。T32?kknn)()(?

13、nNSVgTMB?)20()0()()0()0()(?NSMTMMMTMkkn?kknb.温度不高时，高能态波几乎不能被激发。一维情况下，K的间距 令 则 这个积分是发散的，同样二维情况下的积分也是发散 的，因此，一维晶体和二维晶体均不可能具有铁磁性。在三维情况下：?kkkenEk11?L?2xDk?2?dxLexDnxkk?0212114)1(?02314112)2(ekenkdxVEDkkkk?02132214)1(exDxdxV?对立方晶体，结果得：其中：f为结构子数。简单立方 f=1 体心立方f=2 面心立方f=4 代入（20）式：其中系数a与材料性质和结构有关。对于立方晶体：)23(

14、)8(23?ASTknBfNkk?)21(1)0()(23?TnaNSMTMkk)22(0587.0)23(1)2()8(2323?ASkASkBfsBfsa?二.铁磁体在低温下的比热 体系自旋波对内能的贡献为：对三维体系：(其中 )其中 低温下自旋波对定容比热的贡献：)23(1)(?kkkkkMeEnEUETk?02314)(2)2(ekUkkdkDVTDM?0232521)1(4dxexDVDx?2xDk?)24()(25?RTTUM)25()8(2323?ASKfNKRBB?23)8)(25(415)(ASTKfNKTTUBBMvc?)25()2(113.023?ASTKfNKBB低温下

15、铁磁体的定容比热同样遵从低温下铁磁体的定容比热同样遵从 定律。三.对长波近似的修正 其中 23T?2725231)0()(cTbTaTMTM?2725231tCtBtAASTKtB?8?)23(2?A)25(23?B)27(16332?C 5.5 H-P自旋波理论与自旋波相互作用 Holstein和Primakoff采用粒子数表象，用二次量子 化方法处理了自旋波理论，可以方便地讨论自旋波之间的 相互作用和自选波与其它（准）粒子的相互散射。其基本要点是：考虑N个格点的自旋体系，每个格点自旋为 S，引入 自旋偏差算符 以及自旋偏差产生算符 和湮灭 算符a，在此基础上，写出存在外加磁场 H时在自旋偏

16、差算符表象中的Hamilton量：同样，在自选波算符表象中的 Hamilton量：znS S?a0()(2)2BlllmllmHEZAS gHASa aa a?:自旋波粒子数算符）其中：(是波矢为K的自旋波产生算符 是波矢为K的自旋波湮灭算符)随着温度的升高，自旋波数目增加，由于相互碰撞而使散 射的机会增多，因而必须记入自旋波的相互作用。计算时 应多考虑几项。写出这种情况下的 Hamilton量，利用付 里叶变换，得到?kkkkkkkBaaraaZASHgZASEH4)2(0?kkknEE0aankkk?(HgZASEBkk?)1(2HSNgNZASEB?20ak?ak)26(0?HHHH其中

17、 为一级散射哈密顿量,表征了这样得散射：波矢分别为 k和 的一对自旋波经过碰撞而交换能量和动量，变为波 矢分别为 和 的一对自旋波。00EaaAHkkkk?HgrZASABkk?)1(2kkKkKkKkkkKkKkkKkkaaaarrSrrrNAZH)(161)2(2?)2(16kkkKKkKkKkkKKKKkKKkkkkaaaaaarrrSNAZH?HkKk?Kk?为二级散射哈密顿量。在这一过程中有三个自旋波 同时相互作用，它们同样满足能量和动量守恒。如果记 入更多项，则它包含更高级的散射。在此基础上，求得简单立方晶格：即在考虑了自旋波相互作用后增加了一个 项，其 系数?H3574222()

18、1(0)M TATBTCTI TM?4T LondonLondon和KeffexKeffex用另一方法同样推得：其中 （简单立方）两者非常吻合。)25()23()29562.01(23?SSI?423)0()(TIaTMTM?)25()23(232?SI?5.6 反铁磁体和亚铁磁体中的自旋波 考虑两个子格子的体系，用 和 分别表示两个子格子中 一个格点的自旋。对于反铁磁性和亚铁磁性，交换积分A0时，第一激发态能量 ，k0,(基态能量）对于反铁磁体，k=0时，则（31）式得 即第一激发态与基态之间存在能量间隙 由此可以得到，低温下反铁磁体的比热，热导率均正 比于 ，当温度进一步降低时，由于能量间

19、隙的存在，这些力量与温度的依赖关系将呈指数形式（自旋（电子)跃过能量间隙的数目于能量呈指数关系）)1(01krZAEE?zikkeZr?10?kr?01EE?1?kr)34.(2)22(221ABABABHZASgZASHgZASHgZASE?3T二.亚铁磁体情况 上述方法同样适用于亚铁磁性，书上采用了另一种半 经典方法得到在长波极限下亚铁磁体的色散关系：说明：自旋波分为两支，第一支能量较低，与两套格子 自旋的整体运动有关，称为声频支；第二支能量 较高，与两套格子自旋相对运动有关，称为光频 支。当k=0时，分别为0和 如下图：)35.(|4221kaSSSSABABA?)35.()(21|22

20、222BABABASSZkaSSSSAZB?0E|2BASSAZ?2?2?ka?0|2BASSAZ?在长波极限下存在 的关系，这一点与铁磁体一 致。同样，亚铁磁体在低温下饱和磁化强度与 T的关 系：如YIG，直到0.9 时，上式均能很好符合。其中 2kEk?.1)0()(2523?bTaTMTMcT6102.8?a7100.1?b 5.7 磁偶极作用下的自旋波色散谱 每个自旋都是一个磁偶极子，因此自旋间还存在磁偶极相互作 用。在磁性介质中，磁偶极作用与交换作用相比要小得多，通常可 以忽略，但在自旋波长波领域里，交换作用随k的减少而迅速趋于 零，此时就必须考虑磁偶极作用了。相对于磁化方向而言，不

21、同方 向的磁偶极作用也不同，这将导致自旋波色散关系随方向而变化。在计入外场，交换作用，磁偶极作用之后，铁磁体Hamilton 量可以表述为：第三项即为磁偶极作用项,这是一种长程作用.其中()2BlzlmllmHgHSAS S?mlmlmllmSrSrrSSD)(3)(2?)36(?yxl?m?lmr?322/rgDBlm?同样引入自旋偏差算符并进行二次量子化处理(表象转 换),求得:其中 :Z方向退磁因子 :与z轴夹角 其中 考虑磁偶极作用后的自旋波色散关系 如 k较小时,有近似关系:222|4|kkkBAE?)38).(2()1(22kzBkBkSinNMgrZASHgA?SNgMB?zNk

22、?k?)39.(22kikBkeMSingB?)1(222kzBkrDMNHgE?)40.(4)1(2kkzMSinrDMNH?BgZASD?2?)4)(2222kzzMSinkDMNHkDMNH?ZaD2?BgASaD?22?称为自旋波劲度系数 这一关系适于 的区域.L:晶体线度 如果k太小(如 ),则当自旋波波长大于晶体线度 L时,传播因素和交换作用均可以忽略,出现静磁模.akL11?Lk1?静模量 自旋波?k2?k0?k?5.8体非均匀体系中的自旋波 体非均匀可能来自各种因素,即来自材料成分或结构 不均匀,外场和表面退磁场引起的不均匀,应力分布不均匀 等.这些不均匀相对原子尺度来说是宏观

23、大的,可将这些不 均匀性等效为自发磁化强度的不均匀.当一束波在非均匀 体系中传播时,其波长将发生变化.考虑一个简单铁磁性一维链:第n个格点自旋进动方程 泰勒展开)41).(211?nnnnSSSAdtSd?1?nS1?nS?.21.2122212221aZSaZSSSaZSaZSSSnnnnnnnn?代入（41）式 近邻自旋的交换作用可以等效为场：其中 如再考虑外场 则运动方程为：令 得?)42.(2222ZSSAadtSdnnn?222222ZMZSAaHneff?SNgMB?Bg?2222MSNAa?H?)(effHHMdtMd?)43().(22ZMHM?mxyz)(ztiytixMem

24、emM?)00(HH?yximmm?)44.(0)(2222?mZMHZmM?讨论：对于薄膜样品：表征体不均匀性的程度 （45）代入（44）其中 求解方程（46）：其中)45().1(20ZMMz?)46.(0)(2222?mzdzmd?)47).(/()24(000MMMH?/42?)48).()(2/2ZHeNzmnzn?)()1()(22?eddeHnnnn21)!2(?nNnn?)12(?n?2.1.0n?厄米多项式?归一化系数?量子化条件 Mz zzMz Mz 即由于体系内存在不均匀性，则只有满 足一定量子化条件的自旋波才会出现。其色散关系：与线性关系 n n只能取正整数 分离谱 由

25、（46）式知：如果体不均匀性在很小范围（-L,L），则 方程的解近似为正正弦形式的半面波 另一方面，对于实际薄膜（晶体），体非均匀性一般并不 对称。设)49.(24000MnMMHEk?22L?)50.(022?mdzmd?)1()(2101zMzM?)0(?z)1()(2202zMzM?)0(?zz n=0 n=1 n=2 M(z)求解方程求解方程 2222221222()0.(51)()0d mdzd mdzz mz m?加上联结条件加上联结条件 0201|?zzmm00|21?zdzdmzdzdm求解（51）得得 2121)12(2?n)52(2,1,0?n色散关系：)53.()(8402102121MnMHEk?0?z0?zzM)(1zM)(2zM