数理金融 第八章 二叉树模型与美式期权的风险管理.ppt

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1、CopyrightLinhui,Department of Finance,Nanjing University金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第5章章 二叉树模型与美式期权的风二叉树模型与美式期权的风险管理险管理15.1 概述概述二叉树期权定价（二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出等人提出为期权定价模型为为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简模型提供一种比较简单和直观的方法单和直观的方法二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型的基本手段期

2、权和奇异期权）定价模型的基本手段对于所有不能给出解析式的期权，都可以对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出。通过二叉树模型给出。2A Simple Binomial ModelA stock price is currently$20In three months it will be either$22 or$18Stock Price=$22Stock Price=$18Stock price=$203Stock Price=$22Option Price=$1Stock Price=$18Option Price=$0Stock price=$20Option Price

3、=?A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.4Consider the Portfolio:long D D sharesshort 1 call optionPortfolio is riskless when 22D D 1=18D D or D D=0.2522 D D 118D DSetting Up a Riskless PortfolioD股股票股股票1份期权份期权=无风险证券无风险证券1份期权份期权=D D股股股股票票-无风险证券无风险证券55.2 单期二叉树期权定价模型单期二叉树期权定价模型考虑一个

4、买权在当前时刻考虑一个买权在当前时刻t，下期，下期t=T到期，中间到期，中间只有只有1期，期，=T-t假设该买权的标的股票是假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价是已知的，到期股票价格为格为sT，且满足且满足其中，其中，u为上涨因子，为上涨因子，d为下跌因子为下跌因子6sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q问题：问题：如何确定该期权在当前时刻如何确定该期权在当前时刻t的价值的价值ct？设想：设想：构造如下投资组合，以无风险利率构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金借入资金B（相当于无风险债券空

5、头），并且在股票市场上购（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入入N股股票（股票多头）。股股票（股票多头）。目的目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。权完全相同。7在当前时刻在当前时刻t，已知股票的价格为，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本，构造上述组合的成本为为在到期时刻在到期时刻T，若希望该组合的价值，若希望该组合的价值v与买权的价值完全与买权的价值完全相同则必须满足相同则必须满足由上两式得到由上两式得到8由此得到的组合由此得到的组合 称为合成期权（称为合成期权（synthetic option），），由无套利定价原则

6、，在当前时刻由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为买权的价值为9例子例子假设有假设有1个股票买权合约，到期日为个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为年，执行价格为112美元，股票当前的价格为美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为美元，无风险利率为8（连（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者美元或者60美元，求期权的价值？美元，求期权的价值？sT=su=us180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=01011Dicu

7、ssion:Risk-neutral probability1.p is Risk-neutral probability for all securities。stocks expected relative return is Options expected relative return is So，p is a variable which make riskful stock and call options expected return are both only riskless interest rate.For the above reason,We call p“ris

8、k neutral probability”.12Dicussion:Risk-neutral probability2.在风险中性世界中，主观概率在风险中性世界中，主观概率q没有出现。没有出现。虽然个人对虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到程中并没有涉及到q，也就是人们对，也就是人们对q认识的分歧并认识的分歧并不影响对期权的定价结果。不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于，它只取决于r，u，d这三个客观因子。这三个客观因子。13Dicussion:Risk-neutral pr

9、obability风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。险中性的。若在期初构造如下组合：以若在期初构造如下组合：以S的价格买入的价格买入N股股票，同时股股票，同时以以c的价格卖出的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为个期权，则该组合的投资成本为NSc必必然等于然等于B。若若sTsu若若sTSd14投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合二者构成的组合NSc，即相当于投资，即相当于投资1个无风险个无风险的证券。的证券。组合贴现率的贴现率只能是无风险利率组合贴现率的贴

10、现率只能是无风险利率由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。定价。基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。不必考虑风险问题。15由于标的资产市场价格

11、是由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多分为多段处理，首先介绍两阶段模型。段处理，首先介绍两阶段模型。5.3 两阶段二叉树定价模型两阶段二叉树定价模型两阶段模型（两阶段模型（Two-step binomial tree)若把从定价日若把从定价日t至到期日至到期日T的时间区间的时间区间T-t，划分为，划分为2个个阶段，在每阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相

12、等且上涨和下跌的幅度相等，则第，则第2阶段结束时候（阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为），标的资产价格的取值为3个，个，并且令并且令h为每个阶段的时间长度为每个阶段的时间长度16两阶段模型示意图两阶段模型示意图stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，其中，u1/d17第第2期本来有期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。两种状态为同一结果，故将其合并。期权到期日价值的期权到期日价值的所有可能值为所有可能值为两阶段模型两阶段模型18由由1阶段模型可知，在风

13、险中性条件下阶段模型可知，在风险中性条件下注意：风险中性概率注意：风险中性概率p只与只与r，h，u，d有关，当上有关，当上述值确定下来后，两个阶段的述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也就完全相同，这也正是阶段平分的优点。正是阶段平分的优点。19当前时刻当前时刻t，期权的价值为，期权的价值为20定价思路：倒推定价法定价思路：倒推定价法1.首先得到首先得到2期节点的股票价格，从而得到期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。该期的期权价格。2.采用风险中性定价，通过贴现得到采用风险中性定价，通过贴现得到1期节期节点的股票价格和期权价格。点的股票价格和期权价格。3.由由1期的股票价格得到期权

14、价格，得到当期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。前期权的价格。4.风险中性定价下，每一期的风险中性概率风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。都是相同的。21将定价日将定价日t到到期日到到期日T的时间进一步等分为的时间进一步等分为n个阶个阶段，每个阶段的长度为段，每个阶段的长度为h5.4 n阶段二叉树定价模型阶段二叉树定价模型标的资产在到期日的状态可能取值为标的资产在到期日的状态可能取值为n1个个.若若n，即每个，即每个阶阶段所段所对应对应的的长长度无度无穷穷小，小，则则完全完全有理由用二叉有理由用二叉树树来近似表示来近似表示标标的的资产资产价格的价格的连续变连续变化化过过程

15、。程。数学意数学意义义：根据中心极限定理，若：根据中心极限定理，若n充分大，充分大，则则二二项项分布收分布收敛敛于正于正态态分布分布思路：思路：推推导导出出n期的二期的二项项式模型，然后令式模型，然后令n趋趋于无于无穷穷。22标的股票当前价格为标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日期后（到期日T），若该股票上涨），若该股票上涨j次，下跌次，下跌n-j次，次，到期日到期日T股价股价ST为为由概率论可知，由概率论可知，sT服从二项分布（服从二项分布（binomial distri

16、bution)，所以，具有，所以，具有j次上涨，次上涨，n-j次下降的股次下降的股票价格票价格sT的概率为的概率为23recall：binomial distribution假设在一个不透明的袋子中有假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中个球，其中M个个是白色的，其余是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球个球是黑色的，则每次取球取到白球的概率是取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球若有放回地取球n次，称之为次，称之为n重贝努里试验。在重贝努里试验。在贝努里试验中刚好取到贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为次白球的概率记为b(j;n,p)24recall：binomial distr

17、ibution由于由于b(j;n,p)刚好是二项式刚好是二项式例如第例如第j项就是项就是故上述分布又称为二项式分布，并且成立故上述分布又称为二项式分布，并且成立25recall：binomial distribution由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中心极限定理）。中心极限定理）。设随机变量设随机变量Ynb(j;n,p)，则随机变量，则随机变量26参照参照2阶段模型的思路，从最后的阶段模型的思路，从最后的n期（期（T时刻）开始时刻）开始逐期向前推导，则期权在当前时刻

18、逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为的价格为公式意义：在公式意义：在风险中性世界里风险中性世界里，将期权到期时所有，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？此期望值是期权的真实值吗？27For example:two-step binomial trees285.5 CRR model:n-step binomial trees293031How to compute u or d?32Choosing u and dOne way of mat

19、ching the volatility is to setwhere s is the volatility and h is the length of the time step.This is the approach used by Cox,Ross,and Rubinstein.Neutral-risk probability is 33Simplify first term=134Binomial equation 3536Simplify second term37Simplify all termsNext step,we must deduce d1 and d2 when

20、 n38deducing d1 and d2 (for m)39deducing d1 and d2 (for p)404142deducing d243Result:Black-Scholes formula445.6 How to choose u and dBlack-scholes model assume the motion of stock price satisfies the Geometry Brown motion or logarithm normal distribution45How to choose u and dIn binomial model,we ass

21、umeq is probability of stock price up in real worlds.46How to choose u and d4748So,we find one solve of the equationIn risk-neutral world,the return of securities must be r,which means49Disscusion:Choosing u and dWe have know neutral probability p for any stepud1p1-p50We can get Prove:in risk-neutra

22、l worldVarian of a stocks return in According to Geometry Brown motion51ud1p1-p52Substituting for u and d,the terms of higher than 2 power are ignored.From Cox，Ross and Rubinstein(1979)53美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权（尤其是看跌期权）价值有很大的不同。（尤其是看跌期权）价值

23、有很大的不同。We know the value of the option at the final nodesWe work back through the tree using risk-neutral valuation to calculate the value of the option at each node,testing for early exercise when appropriate美式期权没有解析解，故采用美式期权没有解析解，故采用二叉树二叉树方法来逼近。方法来逼近。5.7 Application:American option pricing 54Ameri

24、can option pricing55以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成有效期划分成N个长度为个长度为h的小区间，令的小区间，令 表示在时间表示在时间 时第时第j j个结个结点处的美式看跌期权的价值，点处的美式看跌期权的价值，同同时时用用 表示表示结结点点 处处的的证证券价格券价格，可得：，可得：后，后，假定期假定期权权不被提前不被提前执执行，行，则则在在风险风险中性中性条件下：条件下：56Example:American Put Option(See Example 16.1,page 391)S=50;X =50;r =10%;s

25、 s=40%;T =5 months=0.4167(year);h =1 month=0.0833(year);The parameters imply u =1.1224;d =0.8909;=1.0084;p =0.507657为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于每段一个月（等于0.0833年）。可以算出年）。可以算出：58ExampleX50595.5 二叉树模型的程序二叉树模型的程序 example：Price an American call option using a binomial model.Again,the

26、 asset price is$100.00,the exercise price is$95.00,the risk-free interest rate is 10%,and the time to maturity is 0.25 years.It computes the tree in increments of 0.01 years,so there are 0.25/0.01=25 periods in the example.The volatility is 0.50,this is a call(flag=1),the dividend rate is 0,and it p

27、ays dividend of$5.00 after three periods(an ex-dividend date).Executing the toolbox function60MATLAB financial toolboxAssetPrice,OptionPrice=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)StockPrice,OptionPrice=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);61S

28、tockPrice=Columns 1 through 4 100.0000 111.2713 123.8732 137.9629 0 85.9677 100.0495 111.3211 0 0 80.9994 90.0175 0 0 0 72.9825 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 148.6915 166.2807 118.8981 132.9629 95.0744 106.3211 76.0243 85.0175 60.7913 67.9825 0 54.360862OptionPrice=Columns 1 through 4 12.1011

29、15.1708 25.3470 42.9629 0 5.3068 5.4081 16.3211 0 0 1.3481 2.7402 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 54.1653 71.2807 24.3719 37.9629 5.5698 11.3211 0 0 0 0 0 063Key conclusions二叉树模型的基本依据：假设资产价格的运动是二叉树模型的基本依据：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。走模型模拟资产价格

30、的连续运动可能遵循的路径。二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。界中的概率，从而为期权定价。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即型，即Black-Scholes方程。方程。64