隐藏在势能函数里的信息精品文稿.ppt

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1、隐藏在势能函数里的信息第1页，本讲稿共30页1.引子引子线性恢复力作用下的运动线性恢复力作用下的运动 永永远远指指向向平平衡衡位位置置的的力力称称恢恢复复力力。恢恢复复力力的的大大小小与与偏偏离离/形形变变/位位移移成成正正比比时时，称称为为线线性性恢恢复复力力。受受线线性性恢恢复复力力作作用的质点的运动方程为：用的质点的运动方程为：（1）或（2）解为或A称振幅，称振幅，称角频率称角频率/圆频率，圆频率，/称初相。运动方式称初相。运动方式(3)称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。（3）第2页，本讲稿共30页xU2.设有一质点受保守力作用沿x轴运动，势

2、能函数为 .势能曲线如下。曲线与x轴的交点a,b,称为U曲线的零点，它们满足方程:abx1x0 x2在x=x0,x1,x2处，势能曲线上的点d,c,e有水平切线。它们称为曲线的极值点，又称平衡点。极值点的横坐标满足方程：(5)cde(4)o第3页，本讲稿共30页xUx1x0 x2极值点可分为以下3类：1.极大 如e,满足条件cde3.拐点 如c,满足条件2.极小 如d，满足条件Exf fg质点运动范围不稳定平衡点。不稳定平衡点。稳定平衡点。质点的机械能守恒：o第4页，本讲稿共30页 在在保保守守力力场场中中运运动动的的质质点点，满满足足机机械械能能守守恒恒条条件件。设设能能量量值值为为E E,

3、在在图图中中用用红红色色水水平平线线表表示示。当当质质点点位位于于x处处时时，其其势势能能值值为为兰兰色色箭箭头头所所示示，向向下下为为负负；动动能能为为蓝蓝色色箭箭头头所所示示，向向上上为为正正。两两者者之之和和为为E E .因因动动能能不不可可能能为为负负，质质点点被被限限制制在在f,g之之间间作作往往复复周周期期性性运运动动,满满足足条条件件E E U(x)。xUx1x0 x2cdeExf fg质点运动范围因动能是非负的，质点运动范围便是：o第5页，本讲稿共30页3.质点在势能曲线极小点附近的行为质点在势能曲线极小点附近的行为设能量值设能量值E E 只比势能极小值只比势能极小值U(x0)

4、大一个小量大一个小量1:xUx0Exf fg运动范围U(x0)E E-U(x0)=1(6)质点的运动范围也会很小：E E U(x)x1x2-x1r0处，f(r)0,在r0,力f 永远指向平衡点r0.这表明：质点在横向与径向同时在作往复周期运动。o第15页，本讲稿共30页质质点点在在绕绕力力心心旋旋转转的的同同时时还还要要做做径径向向振振动动，这这是是一一种种什什么么样样的的复合运动呢？可能有两种情况：复合运动呢？可能有两种情况：rE0r0a.横向运动周期/频率与径向运动周期/频率成简单整数比，则质点运动轨迹是封闭曲线（李萨茹图形）；b.横向运动周期/频率与径向运动周期/频率的比值是无理数，则质

5、点轨迹不封闭。可以严格证明，在中心力是胡克力的情况下，径向频率：横向频率=2:1。轨迹是椭圆，力心在椭圆长短轴的交点。o第16页，本讲稿共30页 现现仅仅就就能能量量E=E0+E稍稍大大于于圆圆运动能量运动能量E0的情况作一讨论。因的情况作一讨论。因rE0r0因而质点的径向运动范围满足条件r1r2将径向运动方程在平衡点r0的邻域内展开成泰勒级数，展开到一级小量：可见，径向运动是简谐振动，其圆频率为o第17页，本讲稿共30页因为质点径向小振动圆频率质质点点的的横横向向运运动动频频率率可可以以如如下下求求出出：横横向向运运动动偏偏离离匀匀速速圆圆周运动很小。按圆周运动计算，横向角速度周运动很小。按

6、圆周运动计算，横向角速度满足条件：满足条件：向心力公式第18页，本讲稿共30页即，在径向运动完成两个周期的时间内，横向运动完成一个周期。质点径向振动圆频率质点的横向运动频率力心第19页，本讲稿共30页5.再看另一种常见的中心力再看另一种常见的中心力反平方引力的情形反平方引力的情形反平方引力势能函数等效势能函数 求圆运动半径求圆运动半径令求得可能的圆运动半径可用向心力公式验证（1）第20页，本讲稿共30页当质点在惯性系中作半径为r0的圆运动，能量为E0。由于等效势函数 在r0处有极小。半径为r0的圆运动是稳定的。r0rE0E+Er1r2求径向振动频率求径向振动频率（2）o第21页，本讲稿共30页

7、为求横向频率，写出向心力公式：（3）（2），（），（3）比较，知）比较，知=。力心可证，轨道是以力心为焦点之一的椭圆。第22页，本讲稿共30页r0rE0r1r2E力心r2r1o可证，只要轨迹都是以力心为焦点之一的椭圆。能量的最小可能值是 ,此时轨迹为圆。等效势分析法还可以用以分析陀螺运动。机械能守恒式加上两个角动量分量守恒式，就可以将陀螺运动用一个角坐标及其相应的角速度表出，迅速得出章动周期。第23页，本讲稿共30页2.自然界的秩序 和方向性 第24页，本讲稿共30页一、宏观事物的不可逆性 汉书上记叙了一个故事，说的是汉代有一个名叫朱买臣的人，因家境贫寒，他的妻子不愿与他患难相守，离他而去。待

8、到几年后，朱买臣功成名就，衣锦还乡时，这个已经嫁给了别人的女人又想破镜重圆。朱买臣则在马前泼水以明心志。这就是成语覆水难收的来历。在自然界，我们每天都能见到不可能自动返回原状的过程：玻璃杯落地摔成一堆玻璃碴；宠物狗与流浪狗玩了一会儿，前者染上了满身跳蚤；克服摩擦力做的功全部变成热，等等。我们在大学物理教材用几个编号的分子在容器左右两边的分布的可能性来说明某种宏观分布状态出现的几率。现在我们来看稍微复杂的情形。第25页，本讲稿共30页 在在教教科科书书中中，我我们们讨讨论论过过大大量量分分子子在在容容器器左左右右两两半半中中分分布布的的可可能能情情况况，从从而而导导出出了了熵熵的的波波尔尔兹兹曼

9、曼表表示示式式。实实际际上上，分分子子的的分分布布不不仅仅有有位位置置分分布布，还还有有能能量量分分布布。我我们们来来说明这个问题。说明这个问题。密密闭闭容容器器中中的的定定量量气气体体，不不仅仅有有确确定定的的总总分分子子数数N和和体体积积V,而而且且有有确确定定的的内内能能E。以以i 标标记记一一种种可可能能的的微微观观状状态态，在在其其中中，单单个个分分子子的的能能量量为为i，处处于于这这个个能能量量状状态态的的分分子子数数为为Ni,于是有于是有打个比方：3个人分3个苹果。此处3个人表示总分子数N=3;3个苹果表示总能量E=3.就单个分子而言，可能的能量有四种：第26页，本讲稿共30页总

10、体能量分布情况有以下诸种：N=NiE=NiiNi微观能量状态1每人1个苹果a,b,cN1=0;N2=3；N3=0；N4=01微观能量状态21人独占3个苹果,2人无苹果a,bcN1=2;N2=0;N3=0;N4=13a,cbb,ca微观能量状态31人2个苹果1人1个苹果1人无苹果abcN1=1;N2=1;N3=1;N4=06几率最大的能量分布状态acbbacbcacabcba微观状态数微观状态数第27页，本讲稿共30页可见，如果承认每一个微观态都是平权的，则几率最大的苹果分配方式并非1，1，1，而是2，1，0.自然法则与人类社会法则有所不同！第28页，本讲稿共30页第29页，本讲稿共30页第30页，本讲稿共30页