二元一次不等式组精.ppt

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1、二元一次不等式组第1页，本讲稿共36页1二元一次不等式和二元一次不等式组的定义二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数 的最高次数是的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成 的不等式组称为二元一次不等式组。的不等式组称为二元一次不等式组。满足二元一次不等式（组）的满足二元一次不等式（组）的x和和y的取值构成有序实数对的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（），所有这样的有

2、序实数对（x,y）构成的集合）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。称为二元一次不等式（组）的解集。（3）二元一次不等式（组）的解集：）二元一次不等式（组）的解集：第2页，本讲稿共36页（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系 内的点之间的关系：内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标数对就可以看成是平面内点的坐标.二元一次不等式（组）的解集就可以看成二元一次不等式（组）的解集

3、就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合是直角坐标系内的点构成的集合。第3页，本讲稿共36页2.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考）回忆、思考一元一次不等式一元一次不等式(组组)的解集所表示的图形的解集所表示的图形-数轴上的区间数轴上的区间在直角坐标系内在直角坐标系内,二元一次不等式二元一次不等式(组组)的解集表示什么图形？的解集表示什么图形？（2）探究）探究二元一次不等式二元一次不等式x-y6的解集所表示的图形。的解集所表示的图形。如图：在平面直角坐标系内，如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面表示一条直线。平面内所

4、有的点被直线分成三类：内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线第一类：在直线x-y=6上的点；上的点；第二类：在直线第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；左上方的区域内的点；第三类：在直线第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。右下方的区域内的点。第4页，本讲稿共36页在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，不等式不等式x-y6表示直线表示直线x-y=6右下方的区域；如图。右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界直线叫做这两个区域的边界第5页，本讲稿共36页（3）结论：）结论：二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系在平面直角坐标系中表示直线中表示直线Ax+B

5、y+C=0某一侧所有点组成的平面某一侧所有点组成的平面区域区域.（虚线表示区域不包括边界直线）（虚线表示区域不包括边界直线）3二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法对在直线对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点同一侧的所有点,把它的坐标（把它的坐标（x,y)代代入入Ax+By+C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一特殊点（一侧取一特殊点（x0,y0)，从，从Ax0+By0+C的正负即可判断的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当（特殊地，当C0时，

6、常把原点作为此特殊点）时，常把原点作为此特殊点）第6页，本讲稿共36页例例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐种肥料的主要原料是磷酸盐18t,硝酸盐；生产硝酸盐；生产1车皮乙种肥车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐硝酸盐15t,现库存磷酸盐现库存磷酸盐10t、硝酸盐、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：解：设设x,y分分别为计别为计划生划

7、生产产甲乙两种混合肥料的甲乙两种混合肥料的车车皮数皮数于是于是满满足以下条件：足以下条件：在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。第7页，本讲稿共36页1.出示例出示例1 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要今需要A，B，C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15，18，27块，用数学块，用数学关系式和图形表示上述要求关系式和图形表示上述要求.A规规格格B规规格格C规规格格第一种第

8、一种钢钢板板211第二种第二种钢钢板板123规格类型规格类型钢板类型钢板类型解解:设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张张,第二种钢板第二种钢板y张张,得得2x+y=15x+3y=27x+2y=18x0y2 4 6181282724681015第8页，本讲稿共36页练习：练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和和B.每类每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序.桌子桌子A需要需要10min打磨，打磨，6min着色，着色，6min上漆；桌子上漆；桌子B需要需要5min打磨，打磨，12min着色，着色，9min上漆上漆.如果一个工

9、人每天打磨和上漆分别如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作至多工作450min，着色每天至多工作，着色每天至多工作480min，请你列出满，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域平面区域.打磨打磨着色着色上漆上漆桌子桌子A1066桌子桌子B5129工序工序桌子类型桌子类型第9页，本讲稿共36页例例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐料的主要原料是磷酸盐18t；硝酸盐；硝酸盐4t,生产生产1车皮乙种肥料需车皮乙种肥料需要的主要原料是

10、磷酸盐要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐硝酸盐15t,现库存磷酸盐现库存磷酸盐10t、硝酸盐、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。学关系式，并画出相应的平面区域。解：解：设设x,y分分别为计别为计划生划生产产甲乙两种混合肥料的甲乙两种混合肥料的车车皮数皮数于是于是满满足以下条件：足以下条件：4x+y=1018x+15y=66oyx5 510101 12 23 34 4第10页，本讲稿共36页引例：引例：某工厂有某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一

11、件甲产品使用生产一件甲产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙产品使每生产一件乙产品使用用4个个B配件耗时配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得，该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件，按每天配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？产安排是什么？解解:设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x、y件，件，又已知条件可得二元一次不等式组：又已知条件可得二元一次不等式组：（1）用不等式组表示问题中的限制条件：）用不等式组表示问题中的限制条件：第11页，本讲稿共36页（2）画出不等式组所表示的平面区域：）画出不等式组所

12、表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。有可能的日生产安排。（3）提出新问题：）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利进一步，若生产一件甲产品获利2万元，万元，生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品设生产甲产品x件，乙产品件，乙产品y件时，工厂获得的利润为件时，工厂获得的利润为z,z=2x+3y 第12页，本讲稿共36页经过经过直直线线x=4与直与直线线x+2y-8=0的交点的交点M时时，截距截距的的值值最大最大 当当

13、x,y满足不等式组（满足不等式组（1）并且为非负整数时，）并且为非负整数时，z的最大值是多少？的最大值是多少？上述问题就转化为：上述问题就转化为：z=2x+3y2x+3y=0M即即M(4,2)所以所以第13页，本讲稿共36页5x+4y=202x+3y=12线性目标函数线性目标函数Z的最大值为的最大值为44已知实数已知实数x,y满足下列条件满足下列条件:5x+4y 202x+3y 12x 0y0求求z=9x+10y的最大值的最大值.最优解最优解可行域可行域9x+10y=0想一想想一想(问题问题):):线性约束线性约束条件条件 01 2345 6123456xy代数问题代数问题图解法图解法第14页

14、，本讲稿共36页线性规划的有关概念：线性规划的有关概念：线性规划：线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题最小值的问题，统称为线性规划问题可行域可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；由所有可行解组成的集合叫做可行域；可行解可行解：满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；叫可行解；最优解最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解使目标函数取得最大或最小值的可行解 叫线性规划问题的最优解。叫线性规划问题的最优解。线性约束条件线性约束条件：不等式组是一组变量不等式组是一组变量x、y的约束的约束

15、条条件，这组约束条件都是关于件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又的一次不等式，故又称线性约束条件称线性约束条件第15页，本讲稿共36页例例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的脂肪，的脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白质，蛋白质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1kg食物食物B含有含有0.105kg碳水碳水化合物，化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，花费脂肪，

16、花费21元。为了满元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物要同时食用食物A和食物和食物B多少多少kg？食物食物/kg碳水化合物碳水化合物/kg蛋白质蛋白质/kg脂肪脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07将已知数据列表得将已知数据列表得解解:设每天食用设每天食用xkg食物食物A,ykg食物食物B,总成本为总成本为z,那么那么第16页，本讲稿共36页解解:设每天食用设每天食用xkg食物食物A,ykg食物食物B,总成本为总成本为z,那么那么目标函数为目标函数为z=28x+21y作出二元一次不等

17、式组所表示的可行域作出二元一次不等式组所表示的可行域,如图如图:第17页，本讲稿共36页目标函数为目标函数为z=28x+21y答答:每天食用食物每天食用食物A约约143g,食物食物B约约571g,能能够满足日常饮食要求够满足日常饮食要求,又使花费最低又使花费最低,最低成最低成本为本为16元元.第18页，本讲稿共36页例例1、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐硝酸盐18；生产；生产1车皮乙种肥料需要的车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐，硝酸盐15t。现

18、库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t,硝酸盐硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。若生产在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料，产生的车皮甲种肥料，产生的利润为利润为10000元；生产元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？润？解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料车皮，乙种肥料y车皮，能够产生车皮，能够产生利润利润z万元，则万元，则4x+y1018x+15y 66x0y 04x+y=1018x+15y=66X+0.5y

19、=0oyx5 510101 12 23 34 4M第19页，本讲稿共36页4x+y=1018x+15y=66MX+0.5y=0oyx5 510101 12 23 34 4把把把把z=x+0.5yz=x+0.5y变形为变形为变形为变形为y=-2x+2z,y=-2x+2z,得到斜得到斜得到斜得到斜率为率为率为率为-2,-2,在轴上的截距为在轴上的截距为在轴上的截距为在轴上的截距为2z,2z,随随随随z z变化的变化的变化的变化的一族平行直线一族平行直线一族平行直线一族平行直线由图可知由图可知由图可知由图可知,当直线经过可行域上的当直线经过可行域上的当直线经过可行域上的当直线经过可行域上的点点点点M

20、M时时时时,截距截距截距截距2z2z最大最大最大最大,即即即即z z最大最大最大最大.答答答答:生产甲生产甲生产甲生产甲,乙两种肥料各乙两种肥料各乙两种肥料各乙两种肥料各2 2车皮车皮车皮车皮,能能能能够产生最大利润够产生最大利润够产生最大利润够产生最大利润,最大利润为最大利润为最大利润为最大利润为3 3万万万万元元元元.第20页，本讲稿共36页用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）

21、在可行域内求目标函数的最优解）在可行域内求目标函数的最优解第21页，本讲稿共36页1.出示例出示例1 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要示：今需要A，B，C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15，18，27块，块，用数学关系式和图形表示上述要求用数学关系式和图形表示上述要求.A规规格格B规规格格C规规格格第一种第一种钢钢板板211第二种第二种钢钢板板123规格类型规格类型钢板类型钢板类型解解:设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张张,第二种钢

22、板第二种钢板y张张,得得2x+y=15x+3y=27x+2y=18x0y2 4 6181282724681015第22页，本讲稿共36页例例2 要要将将两两种种大大小小不不同同规规格格的的钢钢板板截截成成A、B、C三三种种规规格格，每每张张钢钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板张，第一种钢板y张，一共使用张，一共使用z张张.则则 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格212131作出可行域（如图）作出可行域（如图）目标函

23、数为目标函数为 z=x+y今需要今需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，块，问各截这两种钢板问各截这两种钢板问各截这两种钢板问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。第23页，本讲稿共36页2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*直线直线x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最

24、优解它们是最优解.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线z=x+y，目标函数目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)M(18/5,39/5)调整优值法调整优值法调整优值法调整优值法作直线作直线x+y=12当直线经过点当直线经过点M时时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)x0y第24页，本讲稿共36页2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0经经过过可可行行域域内内的的整整点点B(3,9)和和C(4,8)且且和和原原点点距距离离最最近近的的直直线线是是x+y=12，它们是最优解它们是最优解

25、.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线z=x+y，目标函数目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)M(18/5,39/5)打网格线法打网格线法打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点M时时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移，继续向上平移，x0y第25页，本讲稿共36页转化转化转化转化转化转化四个步骤四个步骤：1。画画（画可行域）（画可行域）三个转化三个转化4。答答（求出点的坐标，并转化为最优解）（求出点的坐标，并转化为最优解）3。移移（平移直线（平移直线L。寻找使纵截

26、距取得最值时的点）。寻找使纵截距取得最值时的点）2。作作（作（作z=Ax+By=0时的直线时的直线L。）。）图图解解法法想一想想一想(结论结论):):线性约束条件线性约束条件可行域可行域线性目标函数线性目标函数Z=Ax+By一组平行线一组平行线最优解最优解寻找平行线组的寻找平行线组的 最大（小）纵截距最大（小）纵截距第26页，本讲稿共36页如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第2424界界界界国际数学家大会的会标，会标国际数学家大会的会标，会标国际数学家大会的会标，会标国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的是根据中国古代数学家赵爽的是根据

27、中国古代数学家赵爽的是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它弦图设计的，颜色的明暗使它弦图设计的，颜色的明暗使它弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国看上去象一个风车，代表中国看上去象一个风车，代表中国看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图人民热情好客。你能在这个图人民热情好客。你能在这个图人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等案中找出一些相等关系或不等案中找出一些相等关系或不等案中找出一些相等关系或不等关系吗？关系吗？关系吗？关系吗？教师引导学生从面积的关教师引导学生从面积的关教师引导学生从面积的关教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不

28、等关系去找相等关系或不等关系去找相等关系或不等关系去找相等关系或不等关系。系。系。系。3.43.4基本不等式基本不等式基本不等式基本不等式 第27页，本讲稿共36页将图中的将图中的“风车风车”抽象成如图抽象成如图:由于由于4个直角三角形的面个直角三角形的面积积小于正方形的面小于正方形的面积积，我我们们就得到了一个不等式就得到了一个不等式：当直角三角形变为等腰直角三角形，即当直角三角形变为等腰直角三角形，即当直角三角形变为等腰直角三角形，即当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，时，时，时，正方形正方形正方形正方形EFGHEFGH缩为一个点，这时有缩为一个点，这时有缩为一个点，这时有缩

29、为一个点，这时有 第28页，本讲稿共36页一般的，如果一般的，如果 特别的，如果特别的，如果a0,b0,我们用分别代替我们用分别代替a、b,可得可得 一般的，如果一般的，如果 (证明证明证明证明)第29页，本讲稿共36页(1)从不等式的性从不等式的性质质推推导导基本不等式基本不等式(2)在右在右图图中，中，AB是是圆圆的直径，点的直径，点C是是AB上的一点上的一点,AC=a,BC=b。过过点点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连连接接AD、BD。你能利用。你能利用这这个个图图形得出基本不等式形得出基本不等式的几何解的几何解释吗释吗？在数学中，我们称在数学中，我们称在数学中，我们称在数学中，我

30、们称 为为为为a a、b b的算术平均数，称的算术平均数，称的算术平均数，称的算术平均数，称 为为为为a a、b b的几何平均数的几何平均数的几何平均数的几何平均数.本节定本节定本节定本节定理还可叙述为：两个正数的理还可叙述为：两个正数的理还可叙述为：两个正数的理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几算术平均数不小于它们的几算术平均数不小于它们的几算术平均数不小于它们的几何平均数何平均数何平均数何平均数.第30页，本讲稿共36页例例1 已知已知x、y都是正数，求都是正数，求证证：(2)（xy）（）（x2y2）（）（x3y3）x3y3.(1)(3)已知已知a、b、c都是正数，求证都是正数

31、，求证 (ab)(bc)(ca)abc第31页，本讲稿共36页例例例例1 1（1 1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩形菜园，问这的矩形菜园，问这的矩形菜园，问这的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解：（解：（解：（解：（1 1）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为x mx

32、 m，宽为，宽为，宽为，宽为y my m，则，则，则，则xy=100 xy=100，篱笆的长为篱笆的长为篱笆的长为篱笆的长为2 2（x+yx+y）mm。由由由由可得可得 等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是最短的篱笆是最短的篱笆是40m.40m.第32页，本讲稿共36页（2 2）一段长为）一段长为）一段长为）一段长为36 m36 m的篱笆围成一个

33、矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少最大面积是多少最大面积是多少最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m.,x m.,宽为宽为宽为宽为y m,y m,则则则则2(x+y)=36,2(x+y)=36,x+y=18,x+y=18,矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy

34、 mxy m2 2。当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时，等号成立。时，等号成立。因此因此,这这个矩形的个矩形的长长、宽宽都都为为9m时时,菜园的面菜园的面积积最大最大,最大面最大面积积是是81m2.由由由由可得可得可得可得第33页，本讲稿共36页1.1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a a，b b R R，且，且，且，且a ab bMM，MM为定值，则为定值，则为定值，则为定值，则ab ab ，等号，等号，等号，等号当且仅当当且仅当当且仅当当且

35、仅当a ab b时成立时成立时成立时成立.2.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a a，b b R R，且，且，且，且ababP P，P P为定值，则为定值，则为定值，则为定值，则a ab2 b2 ，等号，等号，等号，等号当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当a ab b时成立时成立时成立时成立.归纳：归纳：第34页，本讲稿共36页例例例例2 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖

36、贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m4800m3 3,深为深为深为深为3m3m，如果池底每，如果池底每，如果池底每，如果池底每1m1m2 2的造价为的造价为的造价为的造价为150150元，池壁每元，池壁每元，池壁每元，池壁每1m1m2 2的造价为的造价为的造价为的造价为120120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？总造价是多少元？总造价是多少元？总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价

37、为，水池的总造价为L元，元，根据题意，得根据题意，得因此，当水池的底面是边长为因此，当水池的底面是边长为因此，当水池的底面是边长为因此，当水池的底面是边长为40m40m的正方形时，水池的总造价的正方形时，水池的总造价的正方形时，水池的总造价的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是最低，最低总造价是最低，最低总造价是最低，最低总造价是297600297600元元元元.由由由由第35页，本讲稿共36页课时小结课时小结课时小结课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关本节课我们用两个正数的

38、算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列应注意考查下列应注意考查下列应注意考查下列三个条件三个条件三个条件三个条件：(1)(1)函数的解析式中，各项函数的解析式中，各项函数的解析式中，各项函数的解析式中，各项

39、均为正数；均为正数；均为正数；均为正数；(2)(2)函数的解析式中，含变数的各项的和函数的解析式中，含变数的各项的和函数的解析式中，含变数的各项的和函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；或积必须有一个为定值；或积必须有一个为定值；或积必须有一个为定值；(3)(3)函数的解析式中，含变数函数的解析式中，含变数函数的解析式中，含变数函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：最值时，应具备三个条件：最值时，应具备三个条件：最值时，应具备三个条件：一正二定三相等一正二定三相等一正二定三相等一正二定三相等。第36页，本讲稿共36页