数学建模之效益的合理分配.ppt

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1、数学建模之效益的合理分配 班级：数学班级：数学081081班班 制作：张鹤制作：张鹤 日期：日期：20102010年年5 5月月3030号号题目某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）开发旅游业，可收入3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，请问如何分配个人所得最为合理？问题提出：题目中要求实现最大收益，很显然题目中三人合作的情况下所得的4万元为最高收入，试问在此种情况下，甲、乙、丙三者所应该得到的最合理的收入各为多少万元？问题的分析：遇到这种问题我们会很容易的想到列方程求

2、解的方去法分配：设甲、乙、丙三人合作后各得x1,x2,x3万元，满足x1+x2+x3=4 x11,x2,x30,x1+x22,x1+x32 其中式表示这种分配必须不小于单干或二人合作时的收入，但我们很容易看出，式有许多组解，如（x1,x2,x3）=(2,0,2),(1.8,0.3,1.9),(1.7,0.4,1.9)许多组解，我们发现这种分配方式并不合理，应寻求一种圆满的分配方法！模型假设与建立 ：我们上面提出的这类问题称为n人合作对策，给出了解决该问题的一种方法，称Shapley值。首先，让我们先了解一下什么叫n人合作对策和Shapley值n个人从事某项经济活动，对于他们之中若干人组合的每一

3、种合作（特别，单人也视为一种合作），都会得到一定的经济效益，当人们之间的利益是非对抗性时，合作人数的增加不会引起效益的减少，这样，全体n个人的合作将带来最大效益。n个人的集合及合作的效益就构成n人合作对策，Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。其Shapley值的定义如下：设集合I=1，2，3，n，如果对于I的任一子集s都对应一个实值函数v(s)，满足=0 v(s1s2)v(s1)+v(s2)，s1s2=空集称称I,vI,v为为n n人合作对策，人合作对策，v v为对策的特征函数为对策的特征函数.在上面所述的经济活动中，在上面所述的经济活动中，I I定义为定义为n n人集合，人集合，s

4、 s为为n n人集合中的任一种合作，人集合中的任一种合作，v(s)v(s)为合作为合作s s的效益的效益.用用xi xi表示表示I I的成员的成员i i从合作的最大收益从合作的最大收益v(I)v(I)中应得中应得到的一份收入到的一份收入.x=(x1.x=(x1，x2xn)x2xn)叫合作对策的分叫合作对策的分配，满足配，满足 =v(I)=v(I)xiv(i)xiv(i)，i=1,2,n i=1,2,n 其中其中式表示每个成员从合作最大收益中所得总额式表示每个成员从合作最大收益中所得总额恰好为最大收益额恰好为最大收益额式表示每个人从最大收益额中所得不小于其每个式表示每个人从最大收益额中所得不小于

5、其每个人单干所得人单干所得.显然，由显然，由 和和式定义的式定义的n n人合作对人合作对策策I,vI,v通常有无穷多个分配通常有无穷多个分配.Shapley值由特征函数v确定，记作vvvvvvv对任意的子集s，记vvvvv，即s中各成员的分配.对一切svvvv，满足x(s)v(s)的x组成的效益集合称I,v的核心.当核心存在时，即所有s的分配都不小于s的效益，这时可将Shapley值作为一种特定的分配，即vvvvvv其中vvv的结果为：Shapley值vvvvvvv其中Si是I中包含i的所有子集，/s/是子集s中的元素数目（人数），w(/s/)是加权因子，si表示s除掉i后的集合.以上述Sha

6、pley值数学模型来对所给题目进行求解.模型求解：甲、乙、丙三人记为I=1，2，3，经商获利定义为I上的特征函数，即vvv=0,v(1)=1,v(2)=v(3)=0,v(1,2)=2,v(1,3)=3,v(2,3)=0,v(I)=4 容易验证v满足上述和式，为计算vvvv首先找出I中包含1的所有子集S1：1，1，2，1，3，1，2，3然后令s跑遍S1,由此我们得到表一如下：表一s s1 111，2211，33I Iv(s)v(s)1 12 23 34 4v(s1)v(s1)0 00 00 00 0v(s)-v(s1)v(s)-v(s1)1 12 23 34 4/s/s/1 12 22 23 3

7、w(/s/)w(/s/)1/31/31/61/61/61/61/31/3w(/s/)v(s)-w(/s/)v(s)-v(s1)v(s1)1/31/31/31/31/21/24/34/3 由表一我们得出vvv1=2.5万元，即甲的收益为2.5万元。对此表中的解释：对表一中的s,比如1，3，v(s)是有甲（即1）参加时合作s的获利，v(s1)是无甲参加合作时s的获利，v(s)-v(s1)视为甲对这一合作的“贡献”，用Shapley值计算的甲的分配值vvv是甲对他所参加的所有合作（S1）的加权平均值，加权因子w(/s/)取决于这个合作s的人数.也就是按贡献取得报酬.于是，接下来我们可以用同样的方法得到表二，表三分别为：表二s21，22，3Iv(s)0204v(s2)0103v(s)-v(s2)0101/s/1223w(/s/)1/31/61/61/3w(/s/)v(s)-v(s2)01/601/3表三表三s31，32，3Iv(s)0304v(s3)0102v(s)-v(s3)0202/s/1223w(/s/)1/31/61/61/3w(/s/)v(s)-v(s3)01/302/3 最后将表一，表二，表三中末行相加得vvvv1=2.5万元，vvvvv2=0.5万元 vvvv3=1万元，他们可作为按照Shapley值方法计算的甲、乙、丙三人应得的分配！The End !Thank you