时域离散信号和离散傅里叶变换.ppt

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1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的序列的Z变换变换 2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统

2、的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例 2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT 解：(2.2.5)设N=4，幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.2 2.2.2 序列傅里叶序列傅里叶变换变换的性的性质质1.FT1.

3、FT的周期性的周期性M为整数是是的周期函数，周期是的周期函数，周期是22第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.2.线线性性 那么 设式中a,b为常数 3.3.时时移与移与频频移移 设X(e j)=FTx(n)，那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域

4、分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析结论：共轭对称序列的实部是偶对称序列结论：共轭对称序列的实部是偶对称序列(偶函数偶函数)而虚部是奇对称序列而虚部是奇对称序列(奇函数奇函数)结论：共轭反对称序列的实部是奇对称序列结论：共轭反对称序列的实部是奇对称序列(奇函数奇函数)而虚部是偶对称序列而虚部是偶对称序列(偶函数偶函数)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析任意序列可表示成任意序列可表示成xe(n)和和xo(n)之和之和:第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时

5、域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性 解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和

6、系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例 2.2.3 x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)得到第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析同样得到:第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式第第2章章 时

7、域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例 2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行 周 期 延 拓，得 到 如 图 2.3.1(a)所 示 的 周 期 序 列 ，周期为8，求 的DFS。解：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.1 例2.3.1图第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号

8、和系统的频域分析 例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：将例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到其幅频特性如图2.3.3所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.3 例2.3.2图 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域

9、分析 序列的序列的Z变换变换第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.收敛充要条件：收敛充要条件：X(z)X(z)绝对可和绝对可和（二）收敛域（二）收敛域RocRoc与零极点与零极点1.1.定义定义:使使X(z)X(z)收敛的所有收敛的所有z z值集合称作值集合称作X(z)X(z)的收敛域的收敛域第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，|z|1 第第2章章 时域离散信号和系统的频

10、域分析时域离散信号和系统的频域分析 由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用上式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来。该该例例同同时时说说明明一一个个序序列列的的傅傅里里叶叶变变换换不不存存在在，在在一定收敛域内一定收敛域内Z变换是存在的。变换是存在的。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析其收敛域应包括其收敛域应包括即即充满整个充满整个Z平面。平面。例例1 1：求序列：求序列

11、的的Z Z变换及收敛域。变换及收敛域。解：这相当解：这相当 n1=n2=0 n1=n2=0 时的有限长序列时的有限长序列第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：在收敛域中必须满足|az-1|a|。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|a|第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例 2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)

12、的Z变换及其收敛域。解：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：|a|z|a|-1 如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1r1右半平面右半平面00单位圆内部单位圆内部r1r1左半平面左半平面0|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a-1|种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，

13、因此 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=a x(n)=ResF(

14、z),a=an第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)=x(n)=a|n|a-n n0 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例 2.5.9 已知求 其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数 2.幂级数法(长除法)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 3.部分分式展开法 对于大多

15、数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。(2.5.11)(2.5.12)(2.5.13)(2.5.14)求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。第第2章章 时域离散信号和

16、系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例2.5.10已知 ，求逆Z变换。解 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 因为收敛域为2|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 表2.5.1 常见序列Z变换 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域

17、分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6 利用利用Z变换分析信号和系统变换分析信号和系统的频域特性的频域特性 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，这是一个非因果且不收敛的序列。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 图2.6.1 例2.6.1图示