理论分布正式.ppt

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1、第二章 概率与理论分布第二节、理论分布2.2.1 二项式分布2.2.1.1 二项总体及二项式分布 二项总体（binary population）：间断性随机变数的总体包含两项，即非此即彼的两项，它们构成的总体称为二项总体。如小麦种子的发芽与不发芽，大豆子叶为黄色和绿色，调查荔枝蒂蛀虫为害分为受害株和不受害株等等。通常将二项总体中的“此”事件以变量“1”表示，具概率p；将“彼”事件以变量“0”表示，具概率q。因而二项总体又称为0、1 总体，其概率则有p+q=1 或者q=p-1。第二节、理论分布2.2.1 二项式分布2.2.1.1 二项总体及二项式分布 二项式分布（binomial distrib

2、ution）：从二项总体中抽取n 个个体，则间断性变量y 就有n+1 种取值，这n+1 种取值各有其概率，因而由变量及其概率就构成了一个分布，这个分布就是二项式分布（又称二项分布或者二项式概率分布。第二节、理论分布2.2.1 二项式分布2.2.1.1 二项总体及二项式分布 如观察使用某种农药后供试5 只蚜虫的死亡数目，记“死”为“0”，记“活”为“1”，观察结果将出现6 个事件：5 只全死，4 死1 活，3 死2 活，2 死3 活，1 死4 活，5 只全活，这6 个事件就构成一个完全事件系，但6 个事件的概率不同，将完全事件系的总概率1 分布到6 个事件中去，就是所谓的概率分布。如果将活的虫数

3、y来代表相应的事件，便得到了关于变量y 的概率分布。2.2.1.2 二项分布的概率计算方法 大豆子叶的颜色受一对等位基因控制，黄色（Y）对绿色（G）为显性，则F2 代按3：1比例分离，黄色子叶的概率为0.75（3/4)，绿色子叶的概率为0.25(1/4)，这是二项总体的概率分布。若从总体中抽取n 粒，那么y 粒是黄子叶的概率是多少呢？1 以二粒荚为例：出现黄色子叶种子数（y）可能就有2+1 种取值，即为0、1 或2 个。出现0 个y 的概率：P（y=0）=出现一黄一绿的概率：P（YG）=P（GY）=这两个为互斥事件所以P（y=1）为3/16+3/16=6/16 出现2 个Y 的概率：P（y=2

4、）=故，出现黄子叶种子数0，1，2 三个事件A0.A1.A2 构成一完全事件系。P（A0）+P（A1）+P（A2）=黄子叶数（y）0 1 2黄子叶出现y 次的概率 1/16 6/16 9/16 合计为12 以三粒为例：出现黄色子叶的种子数（y）可能为0.1.2 或3 个。出现0 个y 的概率：P（y=0）=出现1 个y 的概率：P（GGY）=，P（GYG）=P（YGG）=，故 P（y=1）=出现2 个Y 的概率：P（YYG）=，P（YGY）=P（GYY）=，故P（y=2）=出现3 个Y 的概率：P（GGG）=P（y=3）=所以完全事件系P（A0）+P（A1）+P（A2）+P（A3）=从以上可看

5、出，每一复合事件的概率必等于该事出现的组合数乘以单个事件的概率。组合数公式为：n 相当于豆荚内的种子总数，y 相当于黄色的种子数，所以：P（y）=例如：n=3，y=2 P（y=2）=二项式中包括两项，这两项的概率为p、q，则变量y的概率函数为：这一分布律也称为贝努里（Bernoulli)分布，且有二项分布的概率之和等于1。二项式分布概率的计算例1、棉田盲椿象危害的统计概率是从调查2000 株后获得的近似值p=0.35，现受害株事件为A，其概率为p(A)=0.35，未受害株事件为对立事件，其概率为q=1-p=0.65。这一试验是可以重复的。假定作了多次试验，即抽出n 株为一个抽样单位，那么，试问

6、出现有y株是受害的，其概率应为多少？n=1 受害株树y=0,1 n=5 受害株树y=0,1,2,3,4,5 P(y=k)=二项式分布概率的计算例1、n=1 时，由于已知 P(A)=0.35，P（）=1-0.35=0.65 总体的理论分布则以n 乘上述概率分布，即np和n(1-p),所以有2000*0.35=700 株受害和2000*0.65=1300 株未受害。n=5 时，受害株数 y=0,1,2,3,4,5，变量y 相应的概率函数 P(y=i)=，其累积函数F（y）就如P54 页的公式。调查单位为5 株的概率分布表就如P55 的表4.2。例2、某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即p=0.4，

7、现对这种害虫用一种新药进行治虫试验，每次抽样10 头作为一组治疗。试问新药无疗效，在10 头中死3 头、2 头、1 头，以及全部愈好的概率为多少？10头中不超过两头死亡的概率各为多少？n=10 p=0.4 q=0.6 求 P(y=3)p(y=2)p(y=1)p(y=0)P(y=3)=p(y=2)=p(y=1)=p(y=0)=0.21499=0.12093=0.04031=0.00605F(2)=p(y=0)+p(y=1)+p(y=2)=0.00605+0.04031+0.12093=0.16729如果问超过两头死去的概率是多少?=P(y=3)+P(y=4)+P(y=5)+P(y=6)+P(y=

8、7)+P(y=8)+P(y=9)+P(y=10)如用对立事件来解则容易的多:1-F(2)=1-=1-0.16729=0.832712.2.1.4 二项分布的形状及参数 二项分布定义如下：设随机变量y 所有可能取的值为零或正整数：0,1,2,，n，且有 Pn(y=k)=k=0,1,2，n其中p 0，q 0，p+q=1，则称随机变量y 服从参数为n和p 的二项分布(binomial distribution),记为 y B(n,p)。二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；p 是连续参数，它能取0 与1 之间的任何数值,q 由p 确定，故不是另一个独立参数。二项分

9、布由n 和p 两个参数决定：1、当p 值较小且n 不大时，分 布 是偏倚的。但随着n 的增大，分布逐渐趋于对称，如图42 所示；图42 n值不同的二项分布比较 图43 p值不同的二项分布比较2、当 p 值 趋 于 0.5 时，分 布 趋于对称，如图43 所示；3、对于固定的n 及p，当k 增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。此外，在n 较大，np、nq 较接近时，二项分布接近于正态分布；当n 时，二项分布的极限分布是正态分布。二项分布的平均数与标准差 统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量y 平均数、标准差 与参数n、p 有如下关系：=np=2=npq如果n 适当大

10、,如大于30,而 p 值又不太小,并且np 及nq均不小于5 时,那么这个二项分布趋近于即将介绍的正态分布多项式分布 多项总体：若总体中包含几种特性或者分类标志，可将总体中的个体分为几类。这种将变数资料分为3 类或者多类的总体称为多项总体。例如某种农药在防治某种病害的效果时可能有的效果好，有的无效果，有的有副作用，这些构成的总体就是多项总体。研究多项总体的随机变量的概率分布可使用多项式分布（multinomial distribution)。多项式分布 设总体中共包含有k 项事件，它们的概率分别为p1、p2、p3、p4pk，且p1+p2+p3+pk=1。若从这种总体中随机抽取n 个个体，那么可

11、能得到这k 项的个数分别为y1、y2、y3yk，显然y1+y2+y3+yk=n。这样一个事件的概率应该是:P(y1、y2、y3yk)=这一概率分布称为多项式分布。多项式分布 例3、某药对病人有效的概率为1/2，对病人无效的概率为1/3，有副作用的概率为1/6，若随机抽取2 个试验该药的病人，那么我们抽取的结果包括这样几个事件：2 个病人有副作用；1 个无效，1个有副作用；2 个无效；1 个有效，1 个有副作用；1 个有效，1 个无效；2 个均有效。这几个事件的概率可用以上公式计算。如P57 页泊松分布二项分布的一种极限分布泊松分布(Poisson distribution)在二项分布中，当某事

12、件出现的概率 p或q 值比较小(如小于 0.1),而样本容量又很大，二项分布就接近泊松分布了。主要描述大量实验中随机稀疏现象。如将np=m(n比较大，而m比较小时）,其概率密度函数为：P(y)=e=2.71828,y=0,1,2其参数为：即：平均数、方差与标准差如下：=m，2=m，=不同m 值的分布及例子如书本第58 页图4.4 和例4.4。m 的大小决定其分布形状，当m 值很小时分布呈很偏斜形状，m 增大后则逐渐对称，趋向于后面要介绍的正态分布。泊松分布有一特性：即两个或两个以上的泊松分布之和，也是一个泊松分布。2.2.2 正态分布 正态分布（normal distribution)是一种很

13、重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。二项分布的极限正态分布 以二项分布棉株受害率为例，假定受害率p=0.5,q=p=0.5，现假定每个抽样单位包括20 株，这样y 有21 种取值，其受害株的概率p(y)=于是概率分布计算如下：将这些概率绘于图。此图是对称的。如p=q，不论n 值大或小，二项分布的多边形图必形成对称；如pq，而n 很大时，多边形图仍趋对称。n 增加到无穷多时

14、，每组的直方形都一一变为纵轴线，此时的多边形边变为一光滑曲线。此光滑曲线是二项分布的极限曲线。此极限曲线属于连续性变数分布曲线。这一曲线一般称之为正态分布曲线或正态概率密度曲线。如图4-4 图44 正态分布密度曲线2.2.2.2 正态分布的定义及其特征（一）正态分布的定义 若连续型随机变量y 的概率分布密度函数为（4-6）其中 为平均数，2为方差，则称随机变量y 服从正态分布(normal distribution)，记为y N(,2)。相应的概率分布函数为（4-7）分布密度曲线如图44 所示。(二)正态分布的特征 1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为y=；算术平均数、中数和

15、众数是相等的；2、f(y)在 y=处达 到 极 大，极大值；3、f(y)是非负函数，以y 轴为渐近线，分布从-至+；4、曲线在y=处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+)区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的，曲线两尾向左右延伸，永不接触横轴；5、正态分布有两个参数，即平均数 和标准差，在3 范围内包括了绝大多数频率。是位置参数，如图45 所示。当 恒定时，愈大，则曲线沿y 轴愈向右移动；反之，愈小，曲线沿y 轴愈向左移动。是变异度参数，如图46 所示。当 恒定时，愈大，表示 y 的取值愈分散，曲线愈“胖”；愈小，y的取值愈集中在 附近，曲线愈“瘦”。图45 相同而不同的三个正态分布图4

16、6 相同而不同的三个正态分布0 1 2 6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：区间1 面积或概率=0.6827 2=0.9545 3=0.9973 1.960=0.9500 2.576=0.9900 2.2.2.2 标准正态分布 由上述正态分布的特征可知，正态分布是依赖于参数 和2(或)的一簇 分布，正态曲线之位置及形态随 和2的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难，如以新变量u 来代替，令 u=，则将一般的N(，2)转 换为=0,2=1 的正态分布，u 称为正态离差。我们称=0,2=1 的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。标准正态

17、分布的概率密度函数及分布函数分别记作(u)和(u)，由(4-6)及(4-7)式得：(4-8)(4-9)随机变量u 服从标准正态分布，记作u N(0，1)，分布密度曲线如图47 所示。图47 标准正态分布密度曲线 对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量y，都可以通过标准化变换：u=(y-)(4-10)将 y 其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u 称 为 标 准 正 态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。2.2.2.3 正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计算 设u 服从标准正态分布，则 u 在u1,u2）内取值的概率为：(u2)(u1)(4-11

18、)而(u1)与(u2)可由附表2 累积正态分布FN（y）值表查得。例如，u=1.75，1.7 放在第一列0.05 放在第一行。在附表2 累积正态分布FN（y）值中，1.7 所在行与 0.05 所在列相交处的数值为0.95994，即(1.75)=0.95994 有 时 会 遇 到 给 定(u)值，例 如(u)=0.284，反过来查u 值。这只要在附表2 累积正态分布FN（y）值中找到与 0.284 最接近的值0.2843，对应行的第一列数-0.5，对应列的第一行数 值 0.07，即相应的u 值为 u=-0.57，即(-0.57)=0.284 如果要求更精确的u 值，可用线性插值法计算。由(4-1

19、1)式及正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表2 累积正态分布FN（y）值，便能很方便地计算有关概率（有时要利用分布曲线的对称性来解题）：P(0u u1)(u1)-0.5 P(uu1)=(-u1)P(u u1)=2(-u1)(4-12)P(u u1）1-2(-u1)P(u1u u2)(u2)-(u1)【例4.6】已知u N(0，1)，试求：(1)P(u-1.64)?(2)P(u2.58)=?(3)P(u 2.56)=?(4)P(0.34u 1.53)=?利用(4-12)式，查附表2 累积正态分布FN（y）值得：(1)P(u-1.64)=0.05050(2)P(u2.58)=(-2.58)

20、=0.024940(3)P(u 2.56)=2(-2.56)=20.005234=0.010468(4)P(0.34u 1.53)=(1.53)-(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389 关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：P（-1u 1）=0.6826 P（-2u 2）=0.9545 P（-3u 3）=0.9973 P（-1.96u 1.96）=0.95P(-2.58u 2.58)=0.99 图48 标准正态分布的三个常用概率图48 标准正态分布的三个常用概率 u 变量在上述区间以外取值的概率分别为：P(u 1)=2(-1)=1-P(-1u 1)=1-0.6826=0.

21、3174 P(u 2)=2(-2)=1-P（-2u 2）=1-0.9545=0.0455 P(u 3)=1-0.9973=0.0027 P(u 1.96)=1-0.95=0.05 P(u 2.58)=1-0.99=0.01 （二）一般正态分布的概率计算 正 态 分 布 密度曲线和横轴围成的一个区域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量y 取值在-与+之间”是一个必然事件，其概率为1。若随机变量 y 服从正态分布N(,2)，则y 的取值落在任意区间 y1,y2）的概率，记作P(y1 y y2)，等于图49 中阴影部分曲边梯形面积。即：图49 正态分布的概率(4-13)对(4-13)式作变换u=(

22、y-)，得dy=du，故有其中，这表明服从正态分布N(,2)的随机变量y 在 y1，y2）内取值的概率，等 于服 从 标 准 正 态 分 布 的 随 机 变 量 u 在(y1-)/,(y2-)/）内取值的概率。因此，计算一般正态分布的概率时，只要将区间的上下限作适当变换(标准化)，就可用查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。【例4.7】设y 服从=30.26,2=5.102的正态分布，试求P(21.64y 32.98)。令 则u 服从标准正态分布，故=P(-1.69u 0.53)=(0.53)-(-1.69)=0.6564 关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量y 落在 加减不同倍数 区

23、间的概率)是经常用到的。P(-y+)=0.6826 P(-2y+2)=0.9545 P(-3y+3)=0.9973 P(-1.96y+1.96)=0.95 P(-2.58y+2.58)=0.99 上述关于正态分布的结论，可用一实例来印证。例如上章水稻140 行产量资料的样本分布表现出接近正态分布，其 平均数=157.9(g)，标 准 差S=36.4(g)，算出平均数加减不同倍数标准差区间内 所包括的次数与频率，列于表42。表42 140 行水稻产量在 kS 区间内所包括的次数与频率 kS 数值 区间 区间内包括的次数 次数%1S 157.9 36.4 121.5 194.3 99 70.712

24、S 157.9 72.8 85.1 230.7 134 95.71 3S 157.9 109.2 48.7 267.1 140 100 由表42 可见，实际频率与理论概率相当接近，说明140 行水稻产量资料的频率分布接近正态分布，从而可推断水稻产量这一随机变量很可能是服从正态分布的。生物统计中，不仅注意随机变量y 落在平均数加减不同倍数标准差区间(-k,+k)之内的概率而且 也很 关心 y 落在此区间之外的概率。我们把随机变量y 落在平均数 加减不同倍数标准差 区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率)，记作。对应于双侧概率可以求得随机变量y 小于-k或大于+k 的概率，称为单侧概率(一尾概率),

25、记作 2。例如，y 落在(-1.96,+1.96)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。即 P(y-1.96）=P(y+1.96)=0.025 双侧概率或单侧概率如图410 所示。y 落在(-2.58,+2.58)之外的双侧概率为0.01，而单侧概率 P(y-2.58)=P(y+2.58)=0.005 图410 双侧概率与单侧概率 附表3 给出了满足P(u)=的双侧分位 的数值。因此，只要已知双侧概率 的值，由附表3 就可直接查出对应的双侧分位数，查法与附表2 相同。例如，已知u N(0,1)试求：(1)P(u-)+P(u)=0.10 的(2)P(-u=0.86 的 因为附表3 中

26、的 值是：所以（1)P(u-)+P(u)=1-P(-u=0.10=由附表3 查得：=1.644854(2)P(-u)=0.86，=1-P(-u)=1-0.86=0.14 由附表3 查得：=1.475791 对于y N(,2)，只要将其转换为u N(0,1),即可求得相应的双侧分位数。例4.4 假定y是一随机变数具有正态分布，平均数=30，标准差=5，试计算小于26，小于40 的概率，介乎26 和40 区间的概率以及大于40 的概率。首先计算：先将y转换为u 值 p63 同理可得：FN(40)=0.9773 所以：P(26y40)=FN(40)FN(26)=0.9773 0.2119=0.765

27、4 P(y40)=1P(y40)=10.9773=0.0227 查附表2，当u=0.8 时，FN(26)=0.2119，说明这一分布从 到26 范围内的变量数占全部变量数的21.19%，或者说，y26 概率为0.2119.图4.12 概率计算图示 p63 例4.5 在应用正态分布时，经常要讨论随机变数y离其平均数的差数大于或小于若干个值的概率。例如计算离均差绝对值等于小于和等于大于1 的概率为：也可以简写为 相应地，离均差绝对值等于小于2、等于大于2、等于小于3 和等于大于3 的概率值为：以上结果解释了正态分布曲线的概率特性，可参考图4.13。图4.13 离均差的绝对值1,2 和1.96 的概

28、率值 p64 例4.6 计算正态分布曲线的中间概率为0.99 时，其y或u 值应等于多少？因为正态分布是对称的，故在曲线左边从 到 u 的概率和在曲线右边从u 到 的概率都应等于1/2(1 0.99)=0.005。查表，u=2.58 时，fN(y)=0.004940.005。于是知，当 2.58 时，在其范围内包括99%的变量，仅有1%变量在此范围之外。上述结果写作：同理可求得：以上 乃正态曲线下左边一尾y从 到 上的面积和右边一尾y从 到 上的面积之和，亦可写成：同理，亦可写成：以上两式等号右侧的前一项为左尾概率，后一项为右尾概率，其和概率称为两尾概率值。在附表列出了两尾概率取某一值时的临界u 值(正态离差u 值)，可供直接查用。例如，可查得P=0.01 时u=2.5758，P=0.05 时u=1.9599，即表示：P(|u|2.5758)=0.01,P(|u|1.9599)=0.05如果仅计算一尾，则为一尾概率值。例如计算 P(u1.6448)=P(|u|1.6448)=(0.1)=0.05这个0.05 称为y值大于 的一尾概率值。当概率一定时，两尾概率的|u|总是大于一尾概率|u|。