数学选修2-2数系的扩充和复数的引入.ppt
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1、第三章 阶段复习课 一、数系的扩充和复数的概念一、数系的扩充和复数的概念1.1.复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数叫做复数,通常记为的数叫做复数,通常记为z=a+bi(z=a+bi(复数的代复数的代数形式数形式),其中,其中i i叫虚数单位叫虚数单位(i(i2 2=-1)=-1),a a叫实部,叫实部,b b叫虚部,数集叫虚部,数集C=a+bi|a,bRC=a+bi|a,bR叫做复数集叫做复数集.2.2.复数的分类复数的分类(1)(1)(2)(2)集合表示集合表示:3.3.复数相等的充要条件复数相等的充要条件a+bia+bi与与c+dic+di相等的充要条
2、件是相等的充要条件是a=ca=c且且b=d(a,b,c,dR).b=d(a,b,c,dR).4.4.复平面复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x.x轴叫做实轴,轴叫做实轴,y y轴叫做虚轴轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数;除了原点外,虚轴上的点实轴上的点表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数.5.5.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复数复数z=a+bi z=a+bi 复平面内的点复平面内的点Z(a,b)(a,bR);Z(a,b)(a,bR);(2)(2)复数复
3、数z=a+bi z=a+bi 平面向量平面向量 (a,bR).(a,bR).6.6.复数的模复数的模向量向量 的模的模r r叫做复数叫做复数z=a+biz=a+bi的模,记作的模,记作|z|z|或或|a+bi|a+bi|,即即|z|=|a+bi|=r=(r|z|=|a+bi|=r=(r0,r0,rR R,a,ba,bR).R).【辨析】【辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量复数、复平面内的点、复平面内的向量 任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定,当把实任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定,当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点,每一个点部、虚部看成有序数对时就对应复
4、平面内的一个点,每一个点都对应一个以原点为起点,以该点为终点的向量,所以复数、都对应一个以原点为起点,以该点为终点的向量,所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的复平面内的点、复平面内的向量是统一的.二、复数代数形式的四则运算二、复数代数形式的四则运算1.1.复数的运算复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则.设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,dR),=c+di(a,b,c,dR),则则加法加法z z1 1+z+z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=(a+c
5、)+(b+d)i减法减法z z1 1-z-z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法乘法z z1 1 z z2 2=(a+bi)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法除法(2)(2)对复数运算法则的认识对复数运算法则的认识.复数代数形式的加减运算,其运算法则是对它们的实部与虚复数代数形式的加减运算,其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算,在运算过程中应注意分清每一个复数的部分别进行加减运算,在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部实部
6、与虚部.复数加法法则的合理性复数加法法则的合理性:()()当当b=0,d=0b=0,d=0时,与实数加法法则一致时,与实数加法法则一致.()()加法交换律和结合律在复数集中仍成立加法交换律和结合律在复数集中仍成立.()()符合向量加法的平行四边形法则符合向量加法的平行四边形法则.(3)(3)复数满足的运算律复数满足的运算律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任意复数的加法满足交换律、结合律,即对任意z z1 1,z z2 2,z z3 3CC,有,有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3
7、3).).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律,即对复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律,即对任意任意z z1 1,z z2 2,z z3 3CC,有,有z z1 1zz2 2=z=z2 2zz1 1,(z(z1 1zz2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2zz3 3),),z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3.(4)(4)复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义.复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则满
8、足平行四边形、三角形法则).).复数的减法运算也可以按向量的减法来进行复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.2 2几个重要的结论几个重要的结论(1)|z(1)|z1 1+z+z2 2|2 2+|z+|z1 1-z-z2 2|2 2=2(|z=2(|z1 1|2 2+|z+|z2 2|2 2).).(2)z =|z|(2)z =|z|2 2=|=|2 2.(3)(3)若若z z为虚数,则为虚数,则|z|z|2 2zz2 2.(4)i(4)i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i,nN=-i,nN*.3.3.共轭复数的性
9、质共轭复数的性质复数复数z=a+biz=a+bi的共轭复数的共轭复数 =a-bi.=a-bi.(1)z R.(1)z R.(2)=z.(2)=z.(3)(3)任一实数的共轭复数仍是它本身;反之,若任一实数的共轭复数仍是它本身;反之,若z=z=则则z z是实数是实数.(4)(4)共轭复数对应的点关于实轴对称共轭复数对应的点关于实轴对称.4.4.巧用向量解复数问题巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算复数的加减运算可转化为向量的加减运算.请你根据下面的体系图快速回顾本章内容,从备选答案中请你根据下面的体系图快速回顾本章内容,从备选答案中选择准确选项,填在图中的相应位置,构建出清晰的
10、知识网络选择准确选项,填在图中的相应位置,构建出清晰的知识网络吧吧.一、复数的概念与分类一、复数的概念与分类 形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数,称为复数,所有复数构成的集合的数,称为复数,所有复数构成的集合称复数集,通常用称复数集,通常用C C来表示来表示.设设z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR),则,则(1)z(1)z是虚数是虚数b0b0;(2)z(2)z是纯虚数是纯虚数 ;(3)z(3)z是实数是实数b=0.b=0.【例【例1 1】(2012(2012无锡高二检测无锡高二检测)已知复数已知复数z=m(m+1)+mi,iz=m(m+1)+mi,i为虚数为虚数单
11、位,单位,mR.mR.(1)(1)当复数当复数z z为纯虚数时,求为纯虚数时,求m m的值;的值;(2)(2)当复数当复数z z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时,在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时,求求m m的值;的值;(3)(3)若若(1+i)z=1+3i(1+i)z=1+3i,求,求|z|.|z|.【解析】【解析】(1)(1)由题意得由题意得 m=-1m=-1,当当m=-1m=-1时,时,z z是纯虚数是纯虚数.(2)(2)由题意得由题意得m m2 2+m=-m+m=-m,解得,解得m=0m=0或或m=-2.m=-2.(3)(1+i)z=1+3i,(3)(1+i)z=
12、1+3i,|(1+i)z|=|1+3i|,|z|=|z|=|(1+i)z|=|1+3i|,|z|=|z|=二、复数的四则运算二、复数的四则运算 复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应加减法是对应实部、虚部相加减实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分除法类比根式的分母有理化母有理化,要注意要注意i i2 2=-1=-1,i i4n+14n+1=i=i,i i4n+24n+2=-1=-1,i i4n+34n+3=-i=-i,i i4n4n=1=1,(1+i)(1+i)2 2=2i,(1-i)=2i,(1-i)
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