概率论与数理统计第3章第4节.ppt

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1、第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性 两事件两事件 A A,B B 独立的定义是：独立的定义是：若若则称事件则称事件A A,B B独立独立.将事件的独立性推广到随机变量将事件的独立性推广到随机变量 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 设设 X,Y是两个随机变量，若对是两个随机变量，若对任意任意的的x,y,有有 则称则称X,Y相互独立相互独立.两个随机变量独立的定义是：两个随机变量独立的定义是：用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个随机变量，若对是两个随机变量，若对任意任意的的x,y,有有则称则称X,Y相互独立相互独立.它表

2、明，两个随机变量它表明，两个随机变量相互独立时，它们的相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个随机变量，若对是两个随机变量，若对任意任意的的x,y,有有则称则称X,Y相互独立相互独立.若若(X,Y)是是离散型离散型随机变量，随机变量，则上述独立性的定义等价于：则上述独立性的定义等价于：则称则称X和和Y相互独立相互独立.对对(X,Y)的的所有可能取值所有可能取值(xi,yj),有有即即其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，则称则称X,Y相互独立相互独立.对对任意任意的的 x,y,有有

3、 若若(X,Y)是是连续型连续型随机变量随机变量 则上述独立性的定义等价于：则上述独立性的定义等价于：分别是分别是X和和Y 的边缘密度的边缘密度 例例1 1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球求：（求：（X,YX,Y）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放回讨论回讨论解：有放回解：有放回0101101011不放回不放回有放回时，有放回时，X X和和Y Y相互独立；相互独立；不放回时则不是不放回时则不是设设 （X,Y）N()X,Y相互独立吗？相互独立吗？证明：证明：X,Y相互独立相互独立证：证：因为因为 所以所以易见易

4、见由由x,yx,y的任意性知，上式对一切的任意性知，上式对一切x,yx,y成立，成立，故故X X和和Y Y相互独立相互独立已知已知X X和和Y Y相互独立相互独立 例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：x0 即：即：对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立y 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解：解：0 x1 0y1 故故X和和Y不独立不独立.随随机机变变量量独独立立性性的的概概念念不不难难推推广广到到两个以上随机变量的情形两个以上随机变量的情形.定理定理1 X1,Xn相互独立（区别于两两独立）相互独立（区别于两两独立）,则则最后我们给出有关独立性的两个结果：最后我们给出有关独立性的两个结果：1）其中任意）其中任意k（1kn)个随机变量相互独立个随机变量相互独立2)g1(X1)gn(Xn)也相互独立也相互独立定理定理2 若若X1,Xn相互独立相互独立,而而 Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn)则则Y1与与Y2独立独立 这一讲，我们由两个事件相互独立的这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条给出了各种情况下随机变量相互独立的条件。件。