概率论与数理统计第二十讲.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计假设检验假设检验正态总体均值的假设检验（正态总体均值的假设检验（1）1 假设检验是指施加于一个或多个总体假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设的概率分布或参数的假设.所作的假设可所作的假设可以是正确的以是正确的,也可以是错误的也可以是错误的.为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确,从总体从总体中抽取样本中抽取样本,根据样本的取值根据样本的取值,按一定的按一定的原则进行检验原则进行检验,然后然后,作出接受或拒绝所作出接受或拒绝所作假设的决定作假设的决定.一、假设检验一、假设检验的基本概念的基本概念2 假设检验所以可行假设检验所以可行,其理

2、论背景为其理论背景为实际推断原理实际推断原理,即即“小概率原理小概率原理”假设检验的内容假设检验的内容参数检验参数检验非参数检验非参数检验总体均值总体均值,均值差的检验均值差的检验总体方差总体方差,方差比的检验方差比的检验分布拟合检验分布拟合检验符号检验符号检验秩和检验秩和检验假设检验的理论依据假设检验的理论依据总体分布已知，总体分布已知，检验关于未知检验关于未知参数的某个假设参数的某个假设总体分布未知时的总体分布未知时的假设检验问题假设检验问题3 生产流水线上罐装可生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱乐不断地封装，然后装箱外运外运.怎么知道这批罐装怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？可

3、乐的容量是否合格呢？把每一罐都打开倒入量把每一罐都打开倒入量杯杯,看看容量是否合于标准看看容量是否合于标准？这样做这样做显然不行！显然不行！罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.4 每隔一定时间，抽查若干罐每隔一定时间，抽查若干罐.如每隔如每隔1小时，小时，抽查抽查5罐，得罐，得5个容量的值个容量的值X1，X5，根，根据这些值来判断生产是否正常据这些值来判断生产是否正常.如发现不正常，就应停产，找出原因，如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产

4、，继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量保证质量.通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查.5 不能由不能由5罐容量的数据，在把握不大的情罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产不正常而要求停产况下就判断生产不正常而要求停产.也不能总认为正常，有了问题不能及时发也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失现，这也要造成损失.假设检验面对的就是这种矛盾假设检验面对的就是这种矛盾.在正常生产条件下，由于种种随机因素的在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动毫升上下波动.这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位这些

5、因素中没有哪一个占有特殊重要的地位.因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的正态分布是合理的.6它的对立假设是：它的对立假设是：称称H0为原假设（或零假设，解消假设）；为原假设（或零假设，解消假设）；称称H1为备选假设（或对立假设）为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往在实际工作中，往往把不轻易否定的往把不轻易否定的命题作为原假设命题作为原假设.H0：（=355）H1：这样，我们可以认为这样，我们可以认为X1,X5是取自正是取自正态总体态总体 的样本，的样本，是一个常数是一个常数.当生产比较稳定时，当生产比较稳定时，现在要检验的假设是

6、：现在要检验的假设是：7 如何判断原假设如何判断原假设H0 是否成立呢？是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，合理较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？的界限在何处？应由什么原则来确定？由于由于 是正态分布的期望值，它的估计量是是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值样本均值 ，因此可以根据，因此可以根据 与与 的差距的差距来判断来判断H0 是否成立是否成立.-|较小时，可以认为较小时，可以认为H0是成立的；是成立的；当当-|生产已不正常生产已不正常.当当较大时，应认为较大时，应认为H0不成立，即不成立，即-|8 问题归结为对差异作定量的分析，以问题归结为对差异作

7、定量的分析，以确定其性质确定其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差抽样误差”或或 随机误差随机误差差异也可能是由事物的本质差别引起的，称为差异也可能是由事物的本质差别引起的，称为“系统误差系统误差”问题是，根据所观察到的差异，如何判问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？确实不正常？9小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生.这里有两个盒子，各装有这里有两个盒子，各装有100个球个球.一盒中的白球和红球数一盒中的白球和红球数99个

8、红球个红球一个白球一个白球99个个另一盒中的白球和红球数另一盒中的白球和红球数99个白球个白球一个红球一个红球99个个如何给出这个量的界限？如何给出这个量的界限？统计假设判断题统计假设判断题10 现从两盒中随机取出一个盒子，问这个现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是盒子里是99个白球还是个白球还是99个红球？个红球？我们不妨先假设：我们不妨先假设：这个盒子里有这个盒子里有99个白球个白球.现在我们从中随机摸出一个球，发现是现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时你如何判断这个假设是否成立呢？此时你如何判断这个假设是否成立呢？11 假设其中真有假设其中真有99个白球，摸出红球的概个白球，摸出

9、红球的概率只有率只有1/100，这是小概率事件，这是小概率事件.小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设使人怀疑所作的假设.带概率性质的反证法带概率性质的反证法不妨称为概率反证法不妨称为概率反证法.一般的反证法完全绝对地否定原假设一般的反证法完全绝对地否定原假设.概率反证法以很大的把握否定原假设概率反证法以很大的把握否定原假设.红楼梦中的掷骰子红楼梦中的掷骰子12 在提出原假设在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？的结论呢？在假设检验中，我们称这个小概率为在假设检验中，我们称这个小概率为显显著性水平著

10、性水平，用，用 表示表示.常取常取 罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.一批可乐出厂前应进行抽样检查，一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了现抽查了n 罐，测得容量为罐，测得容量为X1,X2,Xn，问这问这一批可乐的容量是否合格？一批可乐的容量是否合格？13提出假设提出假设选选检验统计量检验统计量 N(0,1)H0：=355 H1：355由于由于 已知，已知，它能衡量差异它能衡量差异大小且分布已知大小且分布已知.对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，可以在，可以在N(0,1)表表中查到分位点的值中查到分位点的值 ，使，使14故我们可以取拒

11、绝域为：故我们可以取拒绝域为：也就是说也就是说,“”是一个小概率事件是一个小概率事件.W：如果由样本值算得该统计量的实测值落如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域入区域W，则拒绝，则拒绝H0；否则，不能拒绝；否则，不能拒绝H0.（只好（只好接受接受）“显著性检验显著性检验”15 如果显著性水平如果显著性水平 取得很小，则拒绝取得很小，则拒绝域也会比较小域也会比较小.其产生的后果是：其产生的后果是：H0难于被拒绝难于被拒绝.如果在如果在 很小的情况下很小的情况下H0仍被拒绝了，仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异则说明实际情况很可能与之有显著差异.基于这个理由，人们常把基于这个理由，

12、人们常把 时拒时拒绝绝H0称为是称为是显著显著的，而把在的，而把在 时拒绝时拒绝H0称为是称为是高度显著高度显著的的.16 例例1 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米毫米.实际生产的产品，其长度实际生产的产品，其长度X假定服从假定服从正态分布正态分布 未知，现从该厂生产的未知，现从该厂生产的一批产品中抽取一批产品中抽取6件件,得尺寸数据如下得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格?分析：这批产品分析：这批产品(螺钉长度螺钉长度)的全体组成问题的总体的全体组成问题的

13、总体X.现在要现在要检验检验E(X)是否为是否为32.5.17提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 第一步：第一步：已知已知 X未知未知.第二步：第二步：能衡量差能衡量差异大小且异大小且分布已知分布已知取一检验统计量，在取一检验统计量，在H0成立下成立下求出它的分布求出它的分布18第三步：第三步：即即“”是一个是一个小概率事件小概率事件.小概率事件在小概率事件在一次试验中基一次试验中基本上不会发生本上不会发生.对给定的显著性水平对给定的显著性水平 =0.01，查表确，查表确定临界值定临界值,使使得否定域得否定域 W:|t|4.032219得否定域得否定域 W:|t|4.0322故不能拒绝故

14、不能拒绝H0.第四步：第四步：将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 t 的实测值的实测值,|t|=2.9972.33故拒绝原假设故拒绝原假设H0.落入否定域落入否定域解解:提出假设提出假设:取统计量取统计量否定域为否定域为 W:=2.33 此时可能犯第一类错误，犯错误的概率此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过不超过0.01.26 例例3 3 某产品出厂检验规定某产品出厂检验规定:次品率次品率p不超过不超过4%才能出厂才能出厂.现从一万件产品中任意抽查现从一万件产品中任意抽查12件发现件发现3件次品件次品,问该批产品能否出厂？问该批产品能否出厂？若抽查结果发现若抽查结果发现1件次品件

15、次品,问能否出厂？问能否出厂？解解 假设假设 这是小概率事件这是小概率事件,一般在一次试验中一般在一次试验中是不会发生的是不会发生的,现一次试验竟然发生现一次试验竟然发生,故认故认为原假设不成立为原假设不成立,即该批产品次品率即该批产品次品率 ,则该批产品不能出厂则该批产品不能出厂.27 这不是小概率事件这不是小概率事件,没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设,从而接受原假设从而接受原假设,即该批产品可以出厂即该批产品可以出厂.若不采用假设检验若不采用假设检验,按理不能够出厂按理不能够出厂.注注直接算直接算28 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉,按标准强度为按标准强度为68/mm68/mm2 2,而实际

16、生产的强度而实际生产的强度X X 服服N N(,3.6,3.62 2).).若若E E(X X)=68,=68,则认为这批螺钉符合要求则认为这批螺钉符合要求,否则认为否则认为不符合要求不符合要求.现从生产的螺钉中抽取容量现从生产的螺钉中抽取容量为为3636的样本的样本,其均值为其均值为 ,问原假设问原假设是否正确是否正确?例例4 4 H0:=68 H1:68 解解 假设假设29若原假设正确若原假设正确,则则故故 取较大值是小概率事件取较大值是小概率事件.因而因而,即即偏离偏离6868不应该太远不应该太远,偏离较远是小概率事件偏离较远是小概率事件,由于由于 30规定规定 为小概率事件的概率大小为小概率事件的概率大小,通常取通常取 =0.05,0.01,=0.05,0.01,例如例如,取取 =0.05,=0.05,则则因此因此,可以确定一个常数可以确定一个常数c c,使得使得31由由为检验的为检验的接受域接受域(实际上没理由拒绝实际上没理由拒绝),现现落入接受域落入接受域,则接受原假设则接受原假设而区间而区间(,66.824)与与(69.18,+)为检验的为检验的拒绝域拒绝域称称 的取值区间的取值区间(66.824,69.18)(66.824,69.18)H H0 0:=68=6832