有限元法基础-一维单元.ppt

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1、第四章第四章 有限元法基础有限元法基础一维单元一维单元本章介绍一维单元和形函数的概念和其性质本章介绍一维单元和形函数的概念和其性质。一）线性单元一）线性单元二）二次单元二）二次单元三）三次单元三）三次单元4.1 线性单元线性单元带有等截面的悬臂梁的温度分布带有等截面的悬臂梁的温度分布所研究单元的物理量和坐标所研究单元的物理量和坐标X的关系为线性关系的关系为线性关系单元的端点条件由节点的量值单元的端点条件由节点的量值 和和 给出，给出，(4.1)位移函数位移函数（温度函数）（温度函数）将节点的值代入方程（将节点的值代入方程（4.1）中，产生两个方程：）中，产生两个方程：求解求解 和和 ，得到：，

2、得到：由节点的值表示的单元的物理量的值为：由节点的值表示的单元的物理量的值为：对对 项和项和 项进行分组，我们得到：项进行分组，我们得到：(由节点的值和形函数表示单元的物理量由节点的值和形函数表示单元的物理量)定义定义形函数形函数 和和 :式中，式中，为单元的长度。因此为单元的长度。因此由形函数表示由形函数表示的单元的物理量值为：的单元的物理量值为：写成矩阵形式：写成矩阵形式：形函数的性质：形函数的性质：的性质的性质:的性质的性质:(1)线性形函数在相应的节点上值为线性形函数在相应的节点上值为线性形函数在相应的节点上值为线性形函数在相应的节点上值为1 1，(2)在相邻的节点上为在相邻的节点上为

3、在相邻的节点上为在相邻的节点上为0 0。(2)线性形函数的和为线性形函数的和为线性形函数的和为线性形函数的和为1 1。(3)(3)线性形函数对于线性形函数对于线性形函数对于线性形函数对于X X的导数和为零。的导数和为零。的导数和为零。的导数和为零。例例：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置。：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置。求悬臂梁在（求悬臂梁在（a）X=4cm和（和（b）X=8cm处的位移。处的位移。解解（a）在）在X=4cm处的位移由单元处的位移由单元(2)来表示：来表示：（b）在）在X=8cm处的位移由单元处的位移由单元(3)来表示：来表示：整体坐标、局部坐标和自然坐标：整

4、体坐标、局部坐标和自然坐标：整体坐标整体坐标X：描述每个节点、每个单元的方向。：描述每个节点、每个单元的方向。局部坐标局部坐标x和自然坐标和自然坐标：描述局部（单元）的行为。：描述局部（单元）的行为。自然坐标自然坐标：局部坐标的无量纲形式。：局部坐标的无量纲形式。一维单元一维单元：整体坐标与局部坐标的关系：整体坐标与局部坐标的关系：局部坐标与自然坐标的关系：局部坐标与自然坐标的关系：用局部坐标表达形函数：用局部坐标表达形函数：用自然坐标表达形函数：用自然坐标表达形函数：4.2 二次单元二次单元以二次函数表示未知量的空间变化，所研究单以二次函数表示未知量的空间变化，所研究单元的物理量和坐标元的物

5、理量和坐标X的关系为二次函数：的关系为二次函数：用三个节点来定义一个单元。节点的值分别为用三个节点来定义一个单元。节点的值分别为:将节点的值代入以上方程中，产生三个方程将节点的值代入以上方程中，产生三个方程：求解求解 ，和和 ，整理后得到，整理后得到由节点的值（自由度）由节点的值（自由度）和形函数表示和形函数表示的单元温度分布：的单元温度分布：写成矩阵形式：写成矩阵形式：其中，形函数为其中，形函数为二次形函数的性质二次形函数的性质：（1）形形函函数数在在相相应应节节点点上上值值为为1，在在另另外外一一个个相相邻节点上值为邻节点上值为0；（2）形函数之和为形函数之和为1；（3）形函数关于形函数关

6、于X的导数之和不为零的导数之和不为零。4.3 三次单元三次单元所研究单元的物理量所研究单元的物理量 和坐标和坐标X的关系为三次函数：的关系为三次函数：用四个节点来定义一个单元。节点的值分别为用四个节点来定义一个单元。节点的值分别为（注：上图中T参数代表参数）将节点的值代入上面方程中，产生四个方程：将节点的值代入上面方程中，产生四个方程：求解求解 ，和和 ，整理后得到，整理后得到由节点的值由节点的值（自由度）和形函数表示（自由度）和形函数表示的单元温度分布：的单元温度分布：写成矩阵形式：写成矩阵形式：其中，形函数为其中，形函数为 对于（对于（n1）阶多项式形函数，有普遍的函数形式）阶多项式形函数，有普遍的函数形式三次形函数的性质：三次形函数的性质：（1 1）形函数在相应节点上值为形函数在相应节点上值为形函数在相应节点上值为形函数在相应节点上值为1 1，在另外一个相邻节，在另外一个相邻节，在另外一个相邻节，在另外一个相邻节 点上值为点上值为点上值为点上值为0 0；（2 2）形函数之和为形函数之和为形函数之和为形函数之和为1 1；（3）形函数关于形函数关于形函数关于形函数关于X X的导数和不为零。的导数和不为零。的导数和不为零。的导数和不为零。