概率论与数理统计237.1点估计续.ppt

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1、矩估计矩估计极大似然估计极大似然估计参数估计分点估计和区间估计。参数估计分点估计和区间估计。点估计：用来估计参数点估计：用来估计参数 的统计量的统计量 称为参数称为参数 的估计量，的估计量，记为记为 ,即即 的估计量为的估计量为点估计有矩估计和极大似然估计点估计有矩估计和极大似然估计矩估计的思想方法矩估计的思想方法:用样本均值估计总用样本均值估计总体均值体均值矩估计的方法：矩估计的方法：例例 设总体设总体X X，样本为，样本为期望期望 ,方差方差 ，则期望则期望 的矩估计量为的矩估计量为 方差方差 的矩估计量为的矩估计量为极大似然估计思想：事件在一次试验中极大似然估计思想：事件在一次试验中发生

2、了，则事件发生的概率应较大较合发生了，则事件发生的概率应较大较合理，因此选择参数使概率发生的概率较理，因此选择参数使概率发生的概率较大较合理。大较合理。极大似然估计方法：极大似然估计方法：离散型：设总体离散型：设总体X X的概率分布的概率分布PX=xPX=x，样本值为样本值为 ，似然函数为，似然函数为 若存在若存在 使使L L或或lnLlnL最大，最大，则称则称 为为 的极大似然估的极大似然估计值。称计值。称 为为 极大似然极大似然估计量估计量例例 设总体设总体X X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布,样样本值为本值为 ,求参数求参数 极大似然极大似然估计估计.解解:似然函数似然函数所

3、以所以 的极大似然估计值为的极大似然估计值为 的极大似然估计量为的极大似然估计量为极大似然估计与矩估计相同极大似然估计与矩估计相同例例 设总体设总体X X服从二项分布服从二项分布 ,样本值样本值为为 ,试求参数试求参数p p的极大似然估计的极大似然估计.解解 似然函数似然函数所以二项分布中参数所以二项分布中参数p p的极大似然估计值的极大似然估计值为为p p的极大似然估计量为的极大似然估计量为P P的矩估计量为的矩估计量为连续型：设总体连续型：设总体X X的概率密度为的概率密度为样本值为样本值为 ,则事件则事件在一次试验中就发生了，由于在一次试验中就发生了，由于是连续型随机变量，因此这个事件的

4、概是连续型随机变量，因此这个事件的概率为零，即率为零，即因此转而研究概率因此转而研究概率在一次试验中事件在一次试验中事件 发生了发生了,因此这事件发生的概率应较大较因此这事件发生的概率应较大较合理。合理。当当n n2 2时时由于区域由于区域 是确定的，因此要使这个概是确定的，因此要使这个概率较大，只有当联合概率密度率较大，只有当联合概率密度最大最大,才能使概率最大。才能使概率最大。连续型：设总体连续型：设总体X,X,样本值为样本值为似然函数为似然函数为若存在若存在 ,使似然函数使似然函数或或LnLn最大最大,则称则称为参数为参数 的极大似然估计值的极大似然估计值.称为极大似然估计量称为极大似然

5、估计量例例 设总体设总体X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,则则X X的概率密度为的概率密度为样本值为样本值为 ,求参数求参数 的极大的极大似然估计似然估计.解：解：指数分布中参数指数分布中参数 的极大似然估计值为的极大似然估计值为 极大似然估计量为极大似然估计量为 与矩估计量相同与矩估计量相同.一个参数的极大似然估计方法也适用于一个参数的极大似然估计方法也适用于多个参数的情形。多个参数的情形。例例 设总体设总体X X服从正态分布服从正态分布 ,样本样本值为值为 ,试求参数试求参数 的极的极大似然估计大似然估计解解 似然函数似然函数所以所以 的极大似然估计值为的极大似然估计值为

6、极大似然估计量为极大似然估计量为 ,的极大似然估计值为的极大似然估计值为 极大似然估计量为极大似然估计量为由此可知由此可知:正态总体中参数正态总体中参数 的矩估的矩估计与极大似然估计相同计与极大似然估计相同例例 设总体设总体X X服从服从a,ba,b上的均匀分布上的均匀分布,求求a,ba,b的的极大似然估计。极大似然估计。解：解：如何选如何选b b使使L L最大最大,因为因为显然当显然当时可使时可使 达到最大达到最大所以所以a a、b b的极大似然估计值为的极大似然估计值为所以所以a a、b b的极大似然估计量为的极大似然估计量为a,ba,b的矩估计值为的矩估计值为a,ba,b的矩估计与极大似然估计不同的矩估计与极大似然估计不同例例 总体总体 均未知均未知,样本样本 的观察值为的观察值为1065,1068,1071,1065,1068,1071,求求(1)(1)的极大似然估计的极大似然估计;(2)(2)的估计值的估计值解解(1)(1)的极大似然估计值为的极大似然估计值为 的极大似然估计值为的极大似然估计值为(2)(2)