概率论课件-第三章随机向量及其分布.ppt

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1、第三章第三章 随机向量及其分布随机向量及其分布 3.1 随机向量的概念及其分布函数 3.2 二维离散型随机向量 3.3 二维连续型随机向量 3.4 二维随机向量函数的分布 许多随机试验的结果，需要用n(n2)个的随机变量X1,X2,Xn同时来描述，这n个的随机变量一起构成随机向量(二维或多维随机向量)。例如，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机向量(X,Y)；气象观测站观测每天某整点的天气状况，可将温度、湿度、风力和风向等观测值可看作多维随机向量(X1,X2,Xn)；又如学生体检时的各项检查指标值可看作多维随机向量。由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有某种联系，因而需要把这些随

2、机变量作为一个整体(即多维随机向量)来研究。需要讨论多维随机向量的各个随机变量分量，更需要研究这些分量与多维随机变量整体性质的联系。从几何角度看，一维随机变量就是第2章讨论的随机变量，它可看作是直线(一维空间)上的随机点；二维随机变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。由由一一维维到到多多维维的的讨讨论论会会增增添添许许多多新新问问题题，但但二二维维与与n维维(n3)没有本质上的区别没有本质上的区别。本章由随机向量的联合分布与边缘分布的一般概念入手，然后重点讨论二维离散型和二维连续型随机向量的联合分布与边缘分布，最后介绍二维随机向量函数的分布。n(n3)维

3、的情况可以类推。3.1 随机向量的概念及其分布函数随机向量的概念及其分布函数3.1.1 随机向量的定义和联合分布随机向量的定义和联合分布 定定义义 设(,F,P)为概率空间，如果Xi为随机变量(i=1,2,n)，则称向量(X1,X2,Xn)为随机向量。说明说明 随机向量(X1,X2,Xn)是基本事件空间到n维实数空间Rn的一个映射：即随机向量是一个取向量值的随机变量的有序集合。也称随机向量随机向量为多维随机变量多维随机变量。随机向量的统计特性(分布规律)由随机向量的联联合分布函数合分布函数来刻画。定定义义3.1.2 设(,F,P)为概率空间，(X1,X2,Xn)为其上的随机向量，它的联合分布函

4、数定义为说说明明：分布函数在点(x1,x2,xn)处的值是一个事件的概率，该事件由使得随机向量(X1(),X2(),Xn()落入以(x1,x2,xn)为顶点的半无限区域(-,x1)(-,x2),(-,xn)的构成。以下定理说明了可用联合分布函数刻画随机向量的统计特性。定理定理 设(,F,P)为概率空间，随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布函数为 ，则定理的(1)(3)易于理解，对于(4)以n=2为例证明。对任意两点(x1,x2),(x1+h1,x2+h2),x1x2,h10,h2 0，则 F(x1+h1,x2+h2)-F(x1+h1,x2)-F(x1,x2+h2)+F(x1,x2)0说明随机

5、点落在(阴影)矩形区域里的概率非负。关关于于二二维维随随机机变变(X,Y)的的联联合分布函数合分布函数F(x,y)的说明的说明：如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值，就是随机点(X,Y)落在右图所示的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。由此，可证明n阶差分 定理中的四条性质称为随机向量分布函数的特征性质。若有定义于Rn上的实函数满足上述四条性质，则能构造一个概率空间(,F,P)和其上的随机向量(X1,X2,Xn)，使 定理称为柯尔莫哥洛夫存在定理。联合分布与边缘分布关系的讨论联合分布与边缘分布关系的讨论：柯尔莫

6、哥洛夫存在定理告诉我们，随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布函数 刻画了随机向量的整体统计特性。根据整体与各个分量的关系，随机向量每个分量的统计特性也应当由其联合分布函数完全刻画。由于随机变量的具体取值是有限的，可由随机向量(n维随机变量)的联合分布函数唯一确定k维随机变量(1ka时，当xa时，同理，可得关于Y的边缘密度 显然，(x,y)X(x)Y(y)，由连续随机变量独立的充要条件知，X,Y不相互独立。例例3.3.3 在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到的两个相互独立的信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将相互干扰。求一分钟内两信号相互干扰的概率。解解 把一分钟取作区间0

7、,1，设两信号进入收音机的时刻分别为X、Y(单位:分钟)由于X和Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为例例3.3.4(二维正态分布)若随机向量(X,Y)的概率密度函数为则称(X,Y)服从参数是 的正态分布，记为 由(X,Y)的联合密度函数计算X和Y的边缘密度函数；并证明X与Y相互独立的充要条件是参数=0。由此可见，二二维维正正态态分布的分布的边缘边缘分布是一分布是一维维正正态态分分布。布。但联合密度中的取不同数值时，得到不同的二维正态分布，而这些不同的二维正态分布却有相同的边缘密度X(x)，Y(y)(即边缘密度与无关)。这表明，关于关于X,Y的的边缘边缘分布不能确定分布不能确定(X,Y)的

8、的联联合分布；但合分布；但联联合分布可以合分布可以唯一地确定唯一地确定边缘边缘分布。分布。实际实际上，当上，当X,Y 相互独立相互独立时时，边缘边缘分布可唯一地确分布可唯一地确定定联联合分布。合分布。证证X,Y独立的充分性独立的充分性 若=0，由有x,y=XxYy，即X,Y相互独立。证证X,Y独立的必要性独立的必要性 设X,Y相互独立，则对任意点(x,y)，有 fX,Yx,y=fXxfYy取 x=1，y=2，有是X与Y的相关系数定定义义(n维维正正态态分布分布(非退化情形非退化情形)设=(1,2,n)T,为n阶正定矩阵，记X=(x1,x2,xn)T,若则称(X1,X2,Xn)T服从n维正态分布

9、，记作XN(,)。实际上，对二维正态分布3.3.2 二二维连续维连续型随机向量的条件概率密度函数型随机向量的条件概率密度函数 设(X,Y)为二维连续型随机向量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为fX,Y(x,y)，fX(x)和 fY(y)。若fX,Y(x,y)和fY(y)连续，则对使 fY(y)0的点y，可定义在Y=y发生的条件下X的条件概率密度函数为 对使 fX(x)0的点x，可定义在X=x发生的条件下Y的条件概率密度函数为例例 设(X,Y)的联合密度函数和边缘密度函数分别为例例 设X在区间(0,1)上服从均匀分布,而当X=x(0 x1)时，Y在(x,1)上服从均匀分布，试求：(1)(XY)

10、的联合密度函数f(x,y)；(2)关于Y的边缘密度；(3)概率P(X+Y1)。解解 X的密度函数为：Y的条件密度函数为：(1)(2)Y的边缘密度y0或y1时，0y1时，(3)3.4 二维随机向量函数的分布二维随机向量函数的分布 二维随机向量(XY)的函数Z=f(XY)一般也是随机向量，其分布的求取是不容易的。它涉及到随机向量的分布类型和函数的复杂程度。对离散型随机变量仅讨论其和和函函数数的分布函数；对连续型随机变量则讨论其和、差、积、商等类函数的分布函数。3.4.1 离散型随机向量的和函数的分布离散型随机向量的和函数的分布 设离散随机向量(XY)的联合分布为则和函数ZXY的所有可能取值仍为非负

11、数0,1,2,，其分布列为例例 已知XP(1)，YP(2)，且X，Y相互独立，求Z=X+Y的分布。解解 因为 XP(1)，Y P(2)则Z=X+Y的取值为z=0,1,2,3,k,3.4.2 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 若 二 维 连 续 随 机 型 向 量(XY)的 联 合 密 度 为fX,Y(x,y),若随机变量(XY)的函数Zf(XY)，可先求Z分布函数FZ(z)，再确定Z的密度函数fZ(z)。(式中的积分是由不等式f(x,y)z所确定的平面区域。)连连续续型型随随机机变变量量和和函函数数 Z f(X Y)=X+Y的的分分布布函函数数FZ(z)当XY为独立随机变量时，

12、有独立的连续型随机变量和函数 ZX+Y的概率密度函数：一般将积分 称为f(x)与g(x)的卷积，记作：卷积可交换，即 f(x)g(x)=g(x)f(x)。所以结结论论：两两个个独独立立的的连连续续随随机机变变量量之之和和的的概概率率密密度度是是其其边边缘缘概概率密度率密度的卷积的卷积。例例 已知XY独立且同服从标准正态分布，求Z=X+Y的密度函数。解解 一一般般有有X1,X2独独立立且且X1N(1,12),X2N(2,22),则则X1+X2 N(1+2,12+22)，即即 =1+2,2=12+22 独立的正态分布随机变量的线性函数仍服从正态分布。独立的正态分布随机变量的线性函数仍服从正态分布。

13、若 X1,X2,Xn相 互 独 立，且 Xi N(i,i2)(i=1,2,n)，则 Z=X1+X2+Xn N(1+2+n,12+22+n2)更一般地，若X1,X2,Xn相互独立，且XiN(i,i2)(i=1,2,n)，对线性函数Y=a1X1+a2X2+anXn+b，(n为有限值)，仍有 YN(,2)其中 =a1 1+a2 2+an n+b 2=a1 12+a2 22+an n2 命命题题 随机向量X=(X1,X2,Xn)T服从n维正态分布的充要条件是对任k=(k1,k2,kn)T Rn，kTX服从一维正态分布。命命题题随机向量X=(X1,X2,Xn)T服从n维正态分布，期望向量为=(1,2,n

14、)T，协方差矩阵为，则对任意实矩阵Amn，有 AXN(A,AAT)连续型随机变量的差函数连续型随机变量的差函数Z X-Y的分布函数的分布函数FZ(z)连续型随机变量积的函数连续型随机变量积的函数Z=XY的分布函数的分布函数 连续型随机变量的商函数连续型随机变量的商函数 的分布函数的分布函数 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有 PMz=PXz,Yz又由于X和Y相互独立，得M=max(X,Y

15、)的分布函数为 Fmax(z)=PMz=PXz,Yz=PXz PYz即 Fmax(z)=FX(x)FY(y)类似可求N=min(X,Y)的分布函数为 Fmin(z)=PNz=1-PNz=1-PXz,Yz =1-PXzPYz=1-1-PXz1-PYz即 Fmin(z)=1-1-FX(x)1-FY(y)将以上结果推广到将以上结果推广到n个独立的随机变量的情况个独立的随机变量的情况：设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，其分布函数分别为例例 设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2分别按(1)串联，(2)并联，(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)，如图所示。设L1，L2的寿命分别为

16、X，Y，已知它们的概率密度分别为解解(1)串联情况串联情况由于L1，L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为 Z=min(X,Y)由已知的密度函数，X，Y的分布函数分别为(2)并联情况并联情况 由于当且仅当L1，L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为 Z=max(X,Y)按Fmax=FX(z)FY(z)，得Z=max(X,Y)的分布函数为(3)备用情况备用情况 由于这时系统L1损坏时系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1，L2两者寿命之和，即 Z=X+Y按 ，当z大于0时，Z=X+Y的概率密度为书面作业(P65P68)3.1 3.2 3.6 3.8 3.11 3.13 3.16 3.19