离散傅里叶变换(数字信号处理).ppt

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1、第 1 页 第三章 离散傅里叶变换第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform福建农林大学金山学院信息与机电工程系福建农林大学金山学院信息与机电工程系福建农林大学金山学院信息与机电工程系福建农林大学金山学院信息与机电工程系 ()()数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing5/21/2023第 2 页 第三章 离散傅里叶变换本章内容本章内容u一一.引言引言u二二.周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数u三三.离散傅立叶变换离散傅立叶变换u四四.DFTDFT性质性质u五五.频域采样定理频域采样定理u六六

2、.利用利用DFTDFT对连续时间信号的逼近对连续时间信号的逼近5/21/2023第 3 页 第三章 离散傅里叶变换uDFT是分析有限长序列的有用工具，它既是理论分析的重点，也是实际运算的核心，在本质上，有限长序列的离散傅立叶变换和周期序列的离散傅立叶级数上一样的。uDFT是有限长序列的一种傅立叶表示法，时域和频域皆离散的变换。uFFT算法是DFT变换的计算机算法实现。一、引言一、引言5/21/2023第 4 页 第三章 离散傅里叶变换uDFT要解决两个问题：1.时域、频域的离散(t-n,w-k)与幅值的量化2.快速运算(FFT)u当两个变量域的自变量分别取连续和离散值时，形成不同形式的傅立叶变

3、换对。5/21/2023第 5 页 第三章 离散傅里叶变换u连续时间非周期信号的傅立叶变换为域域连续性连续性周期性周期性时域连续非周期频域连续非周期傅立叶变换傅立叶变换5/21/2023第 6 页 第三章 离散傅里叶变换傅立叶级数傅立叶级数u当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅立叶级数域域连续性连续性周期性周期性时域连续周期频域离散非周期5/21/2023第 7 页 第三章 离散傅里叶变换u对离散序列x(n)，其傅立叶变换为u若x(n)是信号x(t)的采样序列，采样间隔为T，则有：序列的傅立叶变换5/21/2023域域连续性连续性周期性周期性时域离散非周期频域连续周期5/21/2023第

4、 9 页 第三章 离散傅里叶变换u上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续)，因而不适合进行数字计算。域域连续性连续性周期性周期性时域离散周期频域离散周期u时域的离散造成频域的延拓（周期性），因而频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。离散傅立叶变换5/21/2023对对序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换在频域上加以离散化，在频域上加以离散化，令令 从而从而5/21/2023x(n)5/21/2023第 12 页 第三章 离散傅里叶变换四种形式归纳四种形式归纳类型类型时间函数时间函数频率函数频率函数关关 系系傅立叶变换连续非周期连续非周期傅立叶级数连续周期(T0)离散(0)非周期序列傅立叶变换离

5、散(TS)非周期连续周期(S)离散傅立叶变换离散(Ts)周期(T0)离散(0)周期(s)5/21/2023第 13 页 第三章 离散傅里叶变换u对一个周期为N点的周期序列u显然（周期循环，永不衰减）u周期序列不绝对可和。故Z变换不存在。u类似连续时间信号的傅立叶级数分析，我们有序列的离散傅立叶级数。二、离散傅立叶级数（二、离散傅立叶级数（DFS）5/21/2023第 14 页 第三章 离散傅里叶变换u可得离散傅立叶级数变换对：u周期序列的DFS可以看成是对序列的某一个周期x(n)作Z变换，然后在Z平面单位圆上等间隔2/N采样得到的：5/21/2023第 15 页 第三章 离散傅里叶变换5/21

6、/2023第 16 页 第三章 离散傅里叶变换-解：根据定义求解5/21/2023第 17 页 第三章 离散傅里叶变换uDFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。对周期序列，只要研究一个周期的性质，就可对周期序列，只要研究一个周期的性质，就可以以“窥一斑而知全貌窥一斑而知全貌”。说明说明5/21/2023第 18 页 第三章 离散傅里叶变换u对周期序列，在一个周期的所有点的信息描述了该序列的情况，并且可用DFS

7、来加以分析。u对长度为N的有限长序列x(n)，可以视作是周期为N的周期序列，从而利用周期序列的DFS来加以分析和研究。u有限长序列的傅立叶变换称为离散傅立叶变换DFT(DiscreteFourierTransform)三、离散傅立叶变换三、离散傅立叶变换DFT5/21/2023第 19 页 第三章 离散傅里叶变换主值序列主值序列主值序列主值序列DFT变换对变换对DFS变换对变换对定定 义义5/21/2023第 20 页 第三章 离散傅里叶变换定定 义义u对有限长序列x(n)，构造其周期延拓序列5/21/2023第 21 页 第三章 离散傅里叶变换u将DFS的求和限于主值区间，得到了有限长序列x

8、(n)的离散傅立叶变换DFT。其中：x(n)为时域有限长序列，n是时间t的离散，X(k)是频域有限长序列，k是数字频率的离散有限长序列的有限长序列的DFT变换对用一个公式描述了两个序变换对用一个公式描述了两个序列列(N点点)之间的相互关系，是同一个信号在不同变换之间的相互关系，是同一个信号在不同变换域中的体现，二者信息等量，互为一一确定。域中的体现，二者信息等量，互为一一确定。5/21/2023第 22 页 第三章 离散傅里叶变换u有限长序列的DFT是有限长的uDFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值定定 义义u记旋转因子：5/21/2023第 23 页 第三章 离散傅里叶变换DFT和和

9、DTFT，ZT，DFS的关系的关系u 设序列x(n)的长度为MDFT与ZT关系：DFT与DTFT关系：DFT与DFS的关系：5/21/2023第 24 页 第三章 离散傅里叶变换隐含着周期性隐含着周期性一一.预备知识预备知识 1.余数运算表达式 如果 ，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为 。是 的解,或称作取余数，或说作n对N取模值,或简称为取模值，n模N。5/21/2023第 25 页 第三章 离散傅里叶变换例例隐含着周期性隐含着周期性5/21/2023第 26 页 第三章 离散傅里叶变换 先取模值，后进行函数运作;而 将 视作周期延拓。隐含着周期性隐含着周期性5/21/2

10、023第 27 页 第三章 离散傅里叶变换3.主值序列隐含着周期性隐含着周期性5/21/2023第 28 页 第三章 离散傅里叶变换.nN-1nx(n)0隐含着周期性隐含着周期性5/21/2023第 29 页 第三章 离散傅里叶变换周期延拓Matlab程序subplot(1,1,1)%画x(n+4)11的图n=0:10;x=10*(0.8).n;n1=-11:21;x1=zeros(1,11),x,zeros(1,11);subplot(2,1,1);stem(n1,x1);title(初始序列x(n)axis(-10,17,-1,11);text(18,-1,n)x2=x,x,x;subpl

11、ot(2,1,2);stem(n1,x2);title(周期延伸)axis(-11,21,-1,11);text(18,-1,n)隐含着周期性隐含着周期性5/21/2023第 30 页 第三章 离散傅里叶变换隐含着周期性隐含着周期性5/21/2023第 31 页 第三章 离散傅里叶变换例例 周期延拓周期延拓(1)周期延拓：N=5时2131 0.5nx(n)(2)周期延拓：N=6时，补零加长2131x(n)0.521310.51123n2131x(n)0.521310.51120.5n35/21/2023第 32 页 第三章 离散傅里叶变换5/21/2023第 33 页 第三章 离散傅里叶变换有

12、限长序列隐含着周期性。5/21/2023第 34 页 第三章 离散傅里叶变换5/21/2023第 35 页 第三章 离散傅里叶变换5/21/2023第 36 页 第三章 离散傅里叶变换例例5/21/2023第 37 页 第三章 离散傅里叶变换DFT的性质的性质设：N点有限长序列x1(n)和x2(n)有：5/21/2023第 38 页 第三章 离散傅里叶变换1、DFT的线性的线性说明：说明：u1)当有限长序列x1(n)和x2(n)的长度皆为N点，则结果也在主值区间有效。u2)当二者不等时，短序列补零对齐。5/21/2023第 39 页 第三章 离散傅里叶变换2、DFT的循环移位的循环移位5/21

13、/2023第 40 页 第三章 离散傅里叶变换周期延拓左移2nnnn5/21/2023第 41 页 第三章 离散傅里叶变换 有限长序列的移位只观察n=0到N-1这一主值区间的情况，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的序列值又从此区间的另一端进来。如果把 排列在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周旋转观察时，看到就是周期序列。12345n=0N=65/21/2023第 42 页 第三章 离散傅里叶变换subplot(1,1,1);%画x(n-6)15的图n=0:10;x=10*(0.8).n;y=cirshift(x,6,15);%右移n=0:14;

14、x=x,zeros(1,4);subplot(2,1,1);stem(n,x);title(初始序列)ylabel(x(n);axis(-1,15,-1,11);text(15.5,-1,n)subplot(2,1,2);stem(n,y);title(循环移位序列,N=15)ylabel(x(n-6)mod15);axis(-1,15,-1,11);text(15.5,-1,n)循环移位程序循环移位程序5/21/2023第 43 页 第三章 离散傅里叶变换functiony=cirshift(x,m,N)%长度为N的x序列:(时域)作m采样点圆周移位%y=cirshift(x,m,N)%y=

15、包含圆周移位的输出序列%x=长度Nerror(N必须=x的长度)endx=xzeros(1,N-length(x);n=0:1:N-1;n=mod(n-m,N);y=x(n+1);循环移位程序循环移位程序5/21/2023第 44 页 第三章 离散傅里叶变换5/21/2023第 45 页 第三章 离散傅里叶变换有限长序列的循环移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。5/21/2023第 46 页 第三章 离散傅里叶变换3、共轭对称性、共轭对称性证5/21/2023第 47 页 第三章 离散傅里叶变换设有限长N点序列x(n)5/21/2023第 48 页 第三章 离散傅里叶变换对实部：0 N-

16、1N-1 k=0称Xep(k)为X(k)的共轭偶部(圆周共轭对称分量)。圆周共轭对称圆周共轭对称5/21/2023第 49 页 第三章 离散傅里叶变换对虚部同理可证：称Xop(k)为X(k)的共轭奇部(圆周共轭反对称分量)。圆周共轭反对称圆周共轭反对称0 N-1 N-1 k=05/21/2023第 50 页 第三章 离散傅里叶变换几种特例几种特例u利用对称性只需计算X(0)X(N/2-1)的值即可。5/21/2023第 51 页 第三章 离散傅里叶变换u因此，通过一次N点DFT运算完成了两个N点序列的DFT计算。5/21/2023第 52 页 第三章 离散傅里叶变换4、DFT形式下的帕塞瓦定理

17、形式下的帕塞瓦定理证明:5/21/2023第 53 页 第三章 离散傅里叶变换即序列x(n)在时域计算的能量与频域计算的能量相等。5/21/2023第 54 页 第三章 离散傅里叶变换5、循环卷积、循环卷积设 x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且：若：则：NNu循环卷积可看作延拓序列周期卷积后取主值区间而得5/21/2023第 55 页 第三章 离散傅里叶变换5/21/2023第 56 页 第三章 离散傅里叶变换时域循环卷积过程：时域循环卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）循环移位5）相乘相加5/21/2023第 57 页 第三章 离散傅里叶变换图解图解mmmm

18、N-10nN-1n5/21/2023第 58 页 第三章 离散傅里叶变换数字信号处理数字信号处理5/21/2023第 59 页 第三章 离散傅里叶变换N0233211N-1nN在圆周上的操作图示如下：5/21/2023第 60 页 第三章 离散傅里叶变换231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3X(m)5 4 3 2 1y(n)h(m)1 2 3 h(-m)3 21Y(0)=5h(1-m)32 1Y(1)=14h(2-m)3 2 1Y(2)=26h(3-m)3 2 1 Y(3)=20h(4-m)3 2 1 Y(4)=14h(5-m)3 21Y(5)=8h(6-m)32 1Y(6)

19、=3线性卷积翻转、移位、相乘求和6、有限长序列的线性卷积与循环卷积、有限长序列的线性卷积与循环卷积 5/21/2023第 61 页 第三章 离散傅里叶变换得到线性卷积线性卷积结果的示意图14265y(n)201483N=7n05/21/2023第 62 页 第三章 离散傅里叶变换231x(n)54n0N1=51 1）循环卷积：）循环卷积：(N=7)N=7)不足的，补零加长不足的，补零加长2 2）其中一个序列周期延拓）其中一个序列周期延拓3 3）翻褶，取主值序列）翻褶，取主值序列4 4）循环移位）循环移位5 5）相乘相加）相乘相加213h(n)n0N2=3循环卷积5/21/2023第 63 页

20、第三章 离散傅里叶变换X(m)5 4 3 2 1 0 0y(n)h(m)1 2 3 0 0 0 0h(m)NRN1 2 3 0 0 0 01 2 3 0 0 0 01 2 3 0 0 0 0h(-m)NRN1 0 0 0 0 3 21 0 0 0 0 3 21 0 0 0 0 3 2Y(0)=5h(1-m)NRN2 1 0 0 0 0 32 1 0 0 0 0 32 1 0 0 0 0 3Y(1)=14h(2-m)NRN3 2 1 0 0 0 03 2 1 0 0 0 03 2 1 0 0 0 0Y(2)=26h(3-m)NRN0 3 2 1 0 0 00 3 2 1 0 0 00 3 2 1

21、 0 0 0Y(3)=20h(4-m)NRN0 0 3 2 1 0 00 0 3 2 1 0 00 0 3 2 1 0 0Y(4)=14h(5-m)NRN0 0 0 3 2 1 00 0 0 3 2 1 00 0 0 3 2 1 0Y(5)=8h(6-m)NRN0 0 0 0 3 2 10 0 0 0 3 2 10 0 0 0 3 2 1Y(6)=3213h(m)00231540N=7231h(m)Nm2312315/21/2023第 64 页 第三章 离散傅里叶变换得到循环卷积的示意图得到循环卷积的示意图14265ny(n)2014830可见,线性卷积与循环卷积相同(当NN1(5)+N2(3

22、)-1=7时)14265y(n)201483N=7线性卷积n05/21/2023第 65 页 第三章 离散傅里叶变换X(m)5 4 3 2 1y(n)h(m)1 2 3 0 0h(m)NRN1 2 3 0 0 1 2 3 0 01 2 3 0 0 h(-m)NRN1 0 0 3 2 1 0 0 3 21 0 0 3 2Y(0)=13h(1-m)NRN2 1 0 0 3 2 1 0 0 32 1 0 0 3Y(1)=17h(2-m)NRN3 2 1 0 0 3 2 1 0 03 2 1 0 0Y(2)=26h(3-m)NRN0 3 2 1 0 0 3 2 1 00 3 2 1 0Y(3)=20h

23、(4-m)NRN0 0 3 2 1 0 0 3 2 10 0 3 2 1 Y(4)=14N=55/21/2023第 66 页 第三章 离散傅里叶变换得到循环卷积的示意图得到循环卷积的示意图172613ny(n)20140可见,线性卷积与循环卷积不同(当NN1(5)+N2(3)-1=7时)14265y(n)201483N=7线性卷积n05/21/2023第 67 页 第三章 离散傅里叶变换总总 结结5/21/2023第 68 页 第三章 离散傅里叶变换循环卷积循环卷积5/21/2023第 69 页 第三章 离散傅里叶变换循环卷积程序循环卷积程序ux1=1,2,2;x2=1,2,3,4;uy=ci

24、rconvt(x1,x2,4)uStem(y)5/21/2023第 70 页 第三章 离散傅里叶变换functiony=circonvt(x1,x2,N)%在x1和x2:(时域)之间的N点循环卷积%y=circonvt(x1,x2,N)%y=包含循环卷积的输出序列%x1=长度N1=N的输入序列%x2=长度N2Nerror(N必须=x1的长度)end%Checkforlengthofx2iflength(x2)Nerror(N必须=x2的长度)endx1=x1zeros(1,N-length(x1);x2=x2zeros(1,N-length(x2);m=0:1:N-1;x2=x2(mod(-m

25、,N)+1);H=zeros(N,N);forn=1:1:NH(n,:)=cirshift(x2,n-1,N);endy=x1*H;循环卷积程序循环卷积程序5/21/2023第 71 页 第三章 离散傅里叶变换N=45/21/2023第 72 页 第三章 离散傅里叶变换N=75/21/2023第 73 页 第三章 离散傅里叶变换线性卷积线性卷积ufunctiony,ny=conv_improve(x,nx,h,nh)u%x,nx为第一个信号;%h,nh为第二个信号u%conv(x,h)可以实现两个有限长度序列的卷积uny1=nx(1)+nh(1);uny2=nx(length(x)+nh(le

26、ngth(h);uny=ny1:ny2;uy=conv(x,h);u在命令窗口调用卷积函数。x=340-2235;nx=-3:3;h=145601;nh=N:N+5;5/21/2023第 74 页 第三章 离散傅里叶变换例例5/21/2023第 75 页 第三章 离散傅里叶变换nX1(n)nX2(n)nX2(m)10nnX1(m)105/21/2023第 76 页 第三章 离散傅里叶变换X1(m)101111100000 11111000001111100000X2(m)1011111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-1X2(-m)101-1-1-1

27、-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-11111Y(0)=-3X2(1-m)1011-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-1111Y(1)=-1X2(2-m)10111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111Y(2)=1X2(3-m)101111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-11Y(3)=3X2(4-m)1011111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-1Y(4)=5X2(5-m)10-1111

28、11-1-1-1-1-111111-1-1-1-1Y(5)=3X2(6-m)10-1-111111-1-1-1Y(6)=1X2(7-m)10-1-1-111111-1-1Y(7)=-1X2(8-m)10-1-1-1-111111-1Y(8)=-3X2(9-m)10-1-1-1-1-111111Y(9)=-5X2(10-m)101-1-1-1-1-11111Y(10)=-3周期卷积周期性5/21/2023第 77 页 第三章 离散傅里叶变换N=10周期卷积结果n9Y(n)5/21/2023第 78 页 第三章 离散傅里叶变换nX1(n)nX2(n)mX2(m)10mX2(-m)105/21/20

29、23第 79 页 第三章 离散傅里叶变换X1(m)1111100000X2(m)11111-1-1-1-1-1X2(m)1011111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-1X2(-m)10R101-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-111111-1-1-1-1-11111Y(0)=-3X2(1-m)10R1011-1-1-1-1-1111Y(1)=-1X2(2-m)10R10111-1-1-1-1-111Y(2)=1X2(3-m)10R101111-1-1-1-1-11Y(3)=3X2(4-m)10R1011111-1-1-1-1-1Y(4

30、)=5X2(5-m)10R10-111111-1-1-1-1Y(5)=3X2(6-m)10R10-1-111111-1-1-1Y(6)=1X2(7-m)10R10-1-1-111111-1-1Y(7)=-1X2(8-m)10R10-1-1-1-111111-1Y(8)=-3X2(9-m)10R10-1-1-1-1-111111Y(9)=-5X2(10-m)10R101-1-1-1-1-11111Y(10)=-3循环卷积5/21/2023第 80 页 第三章 离散傅里叶变换N=10点的循环卷积结果n9Y(n)5/21/2023第 81 页 第三章 离散傅里叶变换X1(m)1111100000X2

31、(m)11111-1-1-1-1-1X2(-m)-1-1-1-1-111111Y(0)=1X2(1-m)-1-1-1-1-111111Y(1)=2X2(2-m)-1-1-1-1-111111Y(2)=3X2(3-m)-1-1-1-1-111111Y(3)=5X2(4-m)-1-1-1-1-111111Y(4)=5X2(5-m)-1-1-1-1-111111Y(5)=3X2(6-m)-1-1-1-1-111111Y(6)=1X2(7-m)-1-1-1-1-111111Y(7)=-1X2(8-m)-1-1-1-1-111111Y(8)=-3X2(9-m)-1-1-1-1-111111Y(9)=-5

32、X2(10-m)0-1-1-1-1-11111Y(10)=-4X2(11-m)00-1-1-1-1-1111Y(11)=-3X2(12-m)000-1-1-1-1-111Y(12)=-2X2(13-m)0000-1-1-1-1-11Y(13)=-1线性卷积5/21/2023第 82 页 第三章 离散傅里叶变换线性卷积Y(0)=1Y(1)=2Y(2)=3Y(3)=5Y(4)=5Y(5)=3Y(6)=1Y(7)=-1Y(8)=-3Y(9)=-5Y(10)=-4Y(11)=-3Y(12)=-2Y(13)=-1循环卷积Y(0)=-3Y(1)=-1Y(2)=1Y(3)=3Y(4)=5Y(5)=3Y(6)

33、=1Y(7)=-1Y(8)=-3Y(9)=-5Y(10)=-3nY(n)9nY(n)5/21/2023第 83 页 第三章 离散傅里叶变换四、频域采样定理四、频域采样定理u时域抽样:对一个频带有限的信号，根据采样定理对其进行采样，所得采样序列的频谱是原带限连续信号频谱的周期延拓，主要满足奈奎斯特采样定理，采样信号的频谱不发生混叠，可完全不失真由采样序列恢复原信号。u频域抽样:对有限长序列进行DFT所得X(k)是序列傅氏变换的采样，故DFT就是频域抽样。这种频域采样的采样需要满足怎样的条件？是如何恢复连续频谱的？如何才能不失真的恢复呢？5/21/2023第 84 页 第三章 离散傅里叶变换1.时

34、域采样造成频域以采样角频率为周期,周期延拓。2.时域采样后频域不会发生混叠的条件是：。3.时域无失真采样后可以通过理想低通滤波器恢复原信号。图1.5.3采样信号的频谱图1.5.4采样恢复四、频域采样定理四、频域采样定理5/21/2023第 85 页 第三章 离散傅里叶变换u对X(z)在单位圆等距采样有：u当k取整数时，显然由于，是一个周期为N的周期序列。u对绝对可和的序列x(n)，收敛域包括单位圆。通过这样的周期序列能否恢复出原序列通过这样的周期序列能否恢复出原序列 x(n)？采样采样Z变换变换5/21/2023第 86 页 第三章 离散傅里叶变换u对取IDFS有：采样采样Z变换变换5/21/

35、2023第 87 页 第三章 离散傅里叶变换 讨论讨论:1)x(n)为无限长序列：不管如何采样，频域采样点数N为有限长，将以周期N延拓，必然造成时域的混叠，不可能无失真恢复出时域信号。u即：X(z)单位圆上等距采样点的反变换是非周期信号x(n)以N为周期的延拓，时域序列延拓周期长度N对应了频域的采样点数。可见：时域采样导致频域周期延拓。频域采样导致时域周期延拓。2)x(n)为有限长M点序列：当频域采样点数NM时，以N点周期延拓，必然造成混叠。5/21/2023第 88 页 第三章 离散傅里叶变换3)有限长M点序列，频域采样不失真的条件是频域采样点数NM，从而：5)对有限长序列，当NM时，N点频

36、域采样X(k)可不失真恢复x(n)，从而也一定能不失真恢复X(z)和X(j)。4)点数为N的有限长序列可用Z变换在单位圆上的N个均分点的采样值精确表示。5/21/2023第 89 页 第三章 离散傅里叶变换u对有限长N点序列x(n)：存在如下DFT对：频域采样恢复频域采样恢复u对原序列x(n)进行Z变换有：5/21/2023第 90 页 第三章 离散傅里叶变换定义内插公式：5/21/2023第 91 页 第三章 离散傅里叶变换u将内插函数写成如下式:u故：零极对消有：。内插函数仅在本内插函数仅在本采样采样点点k处不处不 为零为零,其他其他(N-1)个采样个采样点均为零。点均为零。内插函数的特性

37、内插函数的特性5/21/2023第 92 页 第三章 离散傅里叶变换频响特性频响特性u单位圆上的z变换即为频响,代入u其中：5/21/2023第 93 页 第三章 离散傅里叶变换u可见：是和k的函数,令：u从而有：续续1显然：即：在每个采样点上，精确的等于X(k)，而采样点之间的值由加权插值函数叠加而成。5/21/2023第 94 页 第三章 离散傅里叶变换u有限长N的序列x(n)的Z变换由单位圆上的N个独立采样值唯一确定。uZ变换的两种表现形式：总总 结结5/21/2023第 95 页 第三章 离散傅里叶变换u当x(n)为线性时不变系统的单位冲激响应h(n)时：u即H(z)可看做是由N个采样

38、带通滤波器并联构成。总总 结结5/21/2023第 96 页 第三章 离散傅里叶变换u对连续信号，能用解析式精确表达其频谱信息。而实际应用中，信号受各种环境噪声或异常事件影响，不能明确知道信号的数学解析表达式，只能作数值分析。u利用计算机用DFT对包罗万象的信号进行分析和合成是当前主要的应用方法。五、利用五、利用DFT对连续时间信号的逼近（选讲）对连续时间信号的逼近（选讲）5/21/2023第 97 页 第三章 离散傅里叶变换图例图例1%Matlab程序clear;clc;N=32;n=0:N-1;x=1.0*sin(1*n*2*pi/N)+0.1*sin(2*n*2*pi/N)+0.3*si

39、n(3*n*2*pi/N);y=fft(x);subplot(2,1,1);plot(x);holdon;stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(y)5/21/2023第 98 页 第三章 离散傅里叶变换图例图例2%Matlab程序clear;clc;N=32;n=0:2*N-1;x=1.0*sin(1*n*2*pi/N)+0.1*sin(2*n*2*pi/N)+0.3*sin(3*n*2*pi/N);y=fft(x);subplot(2,1,1);plot(x);holdon;stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(y)5/21/2023第 9

40、9 页 第三章 离散傅里叶变换图例图例3%Matlab程序clear;N=32;n=0:N-1;x=power(0.9,n);y=fft(x);subplot(2,1,1);plot(x);holdon;stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(y)5/21/2023第 100 页 第三章 离散傅里叶变换续续2利用DFT对连续时间信号的逼近5/21/2023第 101 页 第三章 离散傅里叶变换利用利用DFT计算连续时间信号的几个问题计算连续时间信号的几个问题u一.混叠现象u二.频率泄漏u三.栅样效应u四.频率分辨力5/21/2023第 102 页 第三章 离散傅里叶变换

41、混叠现象混叠现象u对连续信号xa(t)，采样频率fs，采样间隔Ts=1/fs5/21/2023例例例有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频率分辨率为，（2）信号的最高频率，试确定以下参量：（1）最小记录长度;(2)抽样点间的最大时间间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。解：（a）最小记录长度（b）最大的抽样时间间隔T5/21/2023第 104 页 第三章 离散傅里叶变换频率泄漏频率泄漏u在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定时间间隔内，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，

42、由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成在任一点的频率泄漏到其相邻频带中(拖尾现象)，称之为频谱泄漏。5/21/2023第 105 页 第三章 离散傅里叶变换续续100nnn1.泄漏导致了频谱的扩展，会造成混叠。2.减小泄漏，可取更长的数据。3.数据的截断应该缓慢，可加各种窗函数（FIR设计中有论述）5/21/2023第 106 页 第三章 离散傅里叶变换栅栏效应栅栏效应u用DFT计算频谱时，只是知道为采样频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。u在原序列x(n)上补零加密，使F变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。5/21/202

43、3第 107 页 第三章 离散傅里叶变换频率分辨力频率分辨力对F01/T0，其中：F0频率间隔,T0信号长度。当信号x(n)补零，则：好处：1)克服栅栏效应2)可将N扩展为2M的长度，便于FFT计算。u但补零不能提高信号频域分辨力，因为时域信号的补零不会改变其频谱Xa(z)。5/21/2023第 108 页 第三章 离散傅里叶变换u补零不改变X(z)，不能提高信号分辨力。分析分析N-1 k=0N=4N+dN-1 k=0补零dN=25/21/2023第 109 页 第三章 离散傅里叶变换时域离散信号的时域分析时域离散信号的频域分析用计算机来辅助分析频谱非周期信号的频谱-DTFT（）周期信号的频谱-DFS(or 引入冲激的DTFT)将DTFT推广到ZT1.由DFS推出DFT2.DFT的物理含义，与ZT,DTFT,DFS关系3.性质：隐含周期；线性；循环移位；循环卷积；复共轭的DFT；共轭对称性4.频域采样理论（三点）5.应用：（1）计算线卷，计算长线卷的方法（2）分析信号频谱（连续，离散，误差）5/21/2023第 110 页 第三章 离散傅里叶变换5/21/2023第 111 页 第三章 离散傅里叶变换5/21/2023