电磁场与电磁波课件第5章静态场的边值问题.ppt
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1、第第5 5章章 静态场的边值问题静态场的边值问题 静态场是指场量不随时间变化的场,静态场包括:静态场是指场量不随时间变化的场,静态场包括:静电场静电场、恒定电场恒定电场及及恒定磁场恒定磁场。静电场的场量与时间无关,位函数所。静电场的场量与时间无关,位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。静电场的边值问题:静电场的边值问题:给定边界条件下,求泊松方程或拉普拉给定边界条件下,求泊松方程或拉普拉斯方程解的问题。斯方程解的问题。数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。的变化规律。对于某一特定
2、的区域和时刻,方程的解取决于物理量的对于某一特定的区域和时刻,方程的解取决于物理量的初始初始值值与与边界值边界值,这些初始值和边界值分别称为,这些初始值和边界值分别称为初始条件初始条件和和边界边界条件条件,两者又统称为该方程的,两者又统称为该方程的定解条件定解条件。5.1 5.1 引言引言静电场问题静电场问题1.由场求源由场求源:由微分方程求解。:由微分方程求解。若源的分布具有某种对称性,从而判断场的分布也具有若源的分布具有某种对称性,从而判断场的分布也具有某种对称性时,可用高斯通量定理求解电场或安培环路某种对称性时,可用高斯通量定理求解电场或安培环路定理来求磁场。定理来求磁场。2.由源求场由
3、源求场:分布型问题和边值型问题。:分布型问题和边值型问题。(1)分布型分布型(2)边值型边值型已知确定区域中的源分布和其边界上的位函数或位函数的法向导数分布,求解该区域中位函数的分布状况,这类问题称为边值型问题或简称为边值问题。边值问题的分类:边值问题的分类:边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。类型。第一类边值问题第一类边值问题:给定整个边界上的位函数求区域中位给定整个边界上的位函数求区域中位函数的分布,这类问题又称为狄里赫利问题。函数的分布,这类问题又称为狄里赫利问题。第二类边值问题第二类边值问题:给定整个边界上位函数的法向导
4、数给定整个边界上位函数的法向导数求区域中位函数的分布,这类问题又称为纽曼问题。求区域中位函数的分布,这类问题又称为纽曼问题。第三类边值问题第三类边值问题:给定一部分边界上的位函数和其余部分给定一部分边界上的位函数和其余部分边界上的法向导数,求区域中位函数的分布,这类问题混边界上的法向导数,求区域中位函数的分布,这类问题混合问题。合问题。1.1.静电场、恒定电场静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程。、恒定磁场的基本方程。4.4.镜像法镜像法 、分离变量法。、分离变量法。重点重点:3.3.理论依据:唯一性定理、叠加原理。理论依据:唯一性定理、叠加原理。2.2.静态场的位函数方程。静态场的位函数方
5、程。静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的,即电场只由电荷产生,磁场只由电流产彼此独立存在的,即电场只由电荷产生,磁场只由电流产生。没有变化的磁场,也没有变化的电场。生。没有变化的磁场,也没有变化的电场。1 1、静电场的基本方程、静电场的基本方程 静电场是静止电荷或静止带电体产生的场,其基本方程为静电场是静止电荷或静止带电体产生的场,其基本方程为 上式表明:静电场中的旋度为上式表明:静电场中的旋度为0 0,即静电场中的电场不可,即静电场中的电场不可能由旋涡源产生;电荷是产生电场的通量源。能由旋涡源产生;电荷是产生电场的
6、通量源。电介质的本构方程为电介质的本构方程为 静态场的基本方程静态场的基本方程 2 2、恒定电场的基本方程、恒定电场的基本方程 恒定电流的形成+ABC-要想在导线中维持恒定电流,必须依靠非静电力将要想在导线中维持恒定电流,必须依靠非静电力将B B极板的正电荷抵抗电场力搬极板的正电荷抵抗电场力搬到到A A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。维持恒定电流的电场为恒定电场维持恒定电流的电场为恒定电场 若一闭合路径经过电源,则:若一闭合路径经过电源,则:即电场强度的线积分等于电源的电动势即电场强度的线积分等于电源的电动
7、势 若闭合路径不经过电源,则:若闭合路径不经过电源,则:恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为 导体中的本构方程为导体中的本构方程为 3 3、恒定磁场的基本方程、恒定磁场的基本方程 这是恒定磁场的基本方程。这是恒定磁场的基本方程。从以上方程可知,恒定磁场是一个旋涡场,电流是这个旋从以上方程可知,恒定磁场是一个旋涡场,电流是这个旋涡场的源,电流线是闭合的。涡场的源,电流线是闭合的。磁介质中的本构方程为磁介质中的本构方程为 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场,而且存在恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场,而且存在磁场,但这个磁
8、场不随时间变化,是恒定磁场。假设导体磁场,但这个磁场不随时间变化,是恒定磁场。假设导体中的传导电流为中的传导电流为I I,电流密度为,电流密度为 ,则有则有 静电场可以用一个标量函数静电场可以用一个标量函数 的梯度来表示它的梯度来表示它:1 1、静电场的位函数分布、静电场的位函数分布 即即式中的标量函数式中的标量函数 称为称为电位函数。电位函数。所以有所以有对于均匀、线性、各向同性的介质,对于均匀、线性、各向同性的介质,为常数为常数,即即静电场静电场的位函数的位函数 满足满足的方程。的方程。静态场的位函数静态场的位函数上式即为在有电荷分布的区域内,或者说在有上式即为在有电荷分布的区域内,或者说
9、在有“源源”的区的区域内,静电场的电位函数所满足的方程,我们将这种形式域内,静电场的电位函数所满足的方程,我们将这种形式的方程称为的方程称为 泊松方程。泊松方程。如果场中某处有如果场中某处有=0=0,即在无源区域,则上式变为,即在无源区域,则上式变为我们将这种形式的方程称为我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它拉普拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内,电位函数是在不存在电荷的区域内,电位函数 应满足的方程。应满足的方程。拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在不同的坐标系中有不同的表达形式:在不同的坐标系中有不同的表达形式:在直角坐标系中在直角坐标系中 在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中 在球坐标系中在球坐标
10、系中 2 2、恒定电场的位函数分布、恒定电场的位函数分布 根据电流连续性方程根据电流连续性方程 及物态方程及物态方程 并设电导率并设电导率 为一常数(对应于均匀导电媒质),则有为一常数(对应于均匀导电媒质),则有 则有则有在无电源区域,在无电源区域,恒定电场是一个位场,即有恒定电场是一个位场,即有 这时同样可以引入一个标量位函数这时同样可以引入一个标量位函数 使得使得 这说明,在无电源区域,恒定电场的位函数满足拉普拉这说明,在无电源区域,恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。斯方程。3 3、恒定磁场的位函数分布、恒定磁场的位函数分布 人为规定人为规定 (1)磁场的矢量位函数磁场的矢量位函数这个规定
11、被称为库仑规范这个规定被称为库仑规范 于是有于是有此式即为矢量磁位的泊松方程。此式即为矢量磁位的泊松方程。恒定磁场是有旋场,即恒定磁场是有旋场,即 ,但它却是无散场,但它却是无散场,即即 引入一个矢量磁位引入一个矢量磁位 后,由于后,由于 ,可得,可得 此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。在没有电流的区域有在没有电流的区域有 在没有电流分布的区域内,恒定磁场的基本方程变为在没有电流分布的区域内,恒定磁场的基本方程变为 (2)磁场的标量位函数磁场的标量位函数这样,在无源区域内,磁场也成了无旋场,具有位场的性这样,在无源区域内,磁场也成了无旋场,具有位场的性质,因此,象
12、静电场一样,我们可以引入一个标量函数,质,因此,象静电场一样,我们可以引入一个标量函数,即标量磁位函数即标量磁位函数 注意:标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。注意:标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。即令即令 以上所导出的三个静态场的基本方程表明:静态场可以用以上所导出的三个静态场的基本方程表明:静态场可以用位函数表示,而且位函数在有源区域均满足泊松方程,在位函数表示,而且位函数在有源区域均满足泊松方程,在无源区域均满足拉普拉斯方程。因此,静态场的求解问题无源区域均满足拉普拉斯方程。因此,静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两就变成了如何求解泊松方程和拉普
13、拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程,针对具体的电磁问题,不可能个方程是二阶偏微分方程,针对具体的电磁问题,不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前,我们完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前,我们要先介绍几个重要的基本原理,这些原理将成为以后求解要先介绍几个重要的基本原理,这些原理将成为以后求解方程的理论依据。方程的理论依据。5.2.1 唯一性定理唯一性定理 在求解静态场问题时在求解静态场问题时,我们希望其我们希望其解是解是唯一唯一的的,那么那么,在什么条件下在什么条件下,其解才是其解才是唯一唯一?三类边值条件三类边值条件:,1.给定边界上的给定边界上的位函数位函数,即
14、已知即已知S为边界上的点。2.给定边界上的位函数的法向导数给定边界上的位函数的法向导数,即已知即已知。3.边界边界,即已知即已知 静电场的边界通常是由导体形成的。静电场的边界通常是由导体形成的。(1 1)若给定导体上的电位值就是第一类边界。)若给定导体上的电位值就是第一类边界。(2 2)若给定导体上的电荷就是第二类边界。)若给定导体上的电荷就是第二类边界。导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为 因此,表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此,表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。唯一性定理唯一性定理:满足三类给定边值之一的泊:满足三类给定边值之一的泊
15、松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。换句话说,如果一个函数换句话说,如果一个函数即即满足泊松方程满足泊松方程(或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程)又又满足给定的边界条件,则该满足给定的边界条件,则该函数是函数是唯一唯一的。的。1.设在体积V内,其满足边值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的,有 和 两个解。即有唯一性定理的证明:即即12是同一无源区域的边值问题是同一无源区域的边值问题 的解。由格林第一定理知:对任意标量函数令则有令并代入格林第一恒等式:并代入格林第一恒等式:即而则又由边界条件有在曲面边界上,故即体积V内S曲面上故其解是唯一唯一的。仍然采用反证法证明仍然采用反
16、证法证明.设有两个解满足拉氏方程设有两个解满足拉氏方程.则即S曲面上则S曲面内S曲面上2.设在体积V内,其满足边值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的,有 和 两个解。当 和 选择相同的参考点时,解唯一解唯一.3.三类边界问题将格林第一恒等式的积分曲面写成,然后进行证明.同样可得出结论,其解唯一.即在区域V内,1和2满泊松方程,即 在V的边界S上,1和2满足同样的边界条件,即 设设12是同一有源区域的边值问题是同一有源区域的边值问题 的解。令*=1-2,则在V内,2*=0,在边界面S上,*|S=0。代入格林第一恒等式有:在S上*=0,因而上式右边为零,因而有 体积V内S曲面上5.3 镜像法镜像法 实
17、质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响,将原来具有边代替边界的影响,将原来具有边界的界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间,从而使计算过程自由空间,从而使计算过程大为简化。大为简化。依据:依据:惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变。这些等效电荷通常处于条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置镜像位置,因此称为,因此称为镜镜像电荷像电荷,而这种方法称为,而这种方法称为镜像法镜像法。注意:注意:1 1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中,放在被讨论、镜象电荷不能放在要讨论的区域中,放在被讨论
18、的区域中时将会改变所放置区域的电位分布,所得的区域中时将会改变所放置区域的电位分布,所得出的位函数将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方出的位函数将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。程。2 2、所得位函数必须满足原来的边界条件。、所得位函数必须满足原来的边界条件。3 3、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。的。关键:关键:确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性:局限性:仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。能确定其镜像电荷。5.3.1 导体平面镜像
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