离散型随机变量的均值、方差习题.ppt

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1、离离散散型型随随机变量的机变量的期期望望与与方差方差习习题题课课要点梳理要点梳理1.1.若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为 X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n(1)(1)均值均值 称称E E(X X)=_ )=_ 为随机变量为随机变量X X的均的均值或值或_._.它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的_._.x x1 1p p1 1+x x2 2p p2 2+x xi i p pi i+x xn n p pn n数学期望数学期望平均水平平均水平平均偏离程度平均偏离程度2.离散型随

2、机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差其中其中_为随机变量为随机变量X的标准差的标准差.(2)方差方差称称D(X)=为随机变量为随机变量X的方差的方差,它刻画了随机变量它刻画了随机变量X与其均值与其均值E(X)的的_注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值于均值。3.3.均值与方差的性质均值与方差的性质(1)(1)E E(aXaX+b b)=_.)=_.(2)(2)D D(aXaX+b b)=_.()

3、=_.(a a,b b为常数为常数)4.4.两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差(1)(1)若若X X服从两点分布服从两点分布,则则E E(X X)=)=p p,D D(X X)=_.)=_.(2)(2)若若XBXB(n n,p p),),则则E E(X X)=_,)=_,D D(X X)=_.)=_.aEaE(X X)+)+b ba a2 2D D(X X)p p(1-(1-p p)npnp(1-(1-p p)npnp【例例1 1】设随机变量设随机变量具有分布具有分布P P(=k k)=)=k k=1,2,3,4,5,=1,2,3,4,5,求求E E2 2,D D(2

4、(2-1),-1),题型一、题型一、均值与方差性质的应用均值与方差性质的应用解解 利用性质利用性质E(a+b)=aE()+b,D(a+b)=a2D().D(2-1)=4D()=8,1.1.从从4 4名男生和名男生和2 2名名女女生生中任选中任选3 3人人参加演讲比赛参加演讲比赛,设随设随机变量机变量X X表表示示所所选 选3 3人中女人中女生的生的人人数数.(1)(1)求求X X的分布列的分布列;(2)(2)求求X X的数学的数学期期望和方差望和方差;(3)(3)求求“所所选 选3 3人中女人中女生生人人数数X X1”的概率的概率.超几何分布超几何分布题型二、题型二、求离散型随机变量的期望、方

5、差求离散型随机变量的期望、方差练练1.1.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中任取从中任取 3 3件件,若若表示取到次品的个数表示取到次品的个数,则则E E()=_.)=_.解析解析 的取值为的取值为0,1,2,3,0,1,2,3,则则练练2.2.(2009(2009上海理，上海理，7)7)某学校要从某学校要从5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中选出中选出2 2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望则数学期望 E E()=_()=_(结果

6、用最简分数表示结果用最简分数表示).).解析解析 的可能取值为的可能取值为0,1,2,0,1,2,2.某运某运动动员 员投篮的命投篮的命中中率为率为p=0.6.(1)求求一一次投篮次投篮时时命命中中次数次数的均的均值值;方差方差;(2)求求重重复复5次投篮次投篮时时,命命中中次数次数的均的均值与值与方差方差.(1)投篮投篮一一次，命次，命中中次数次数的分布列为：的分布列为：01P0.40.6则 则E=00.4+10.6=0.6,D=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.(2)重重复复5次投篮，命次投篮，命中中次数次数服从二项分服从二项分布，即布，即B(5,0.6)，故故E=

7、50.6=3.D=50.60.4=1.2.求求离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值和和方方差差，首先首先应应明明确随确随机变量的分布列机变量的分布列.3.(2009(2009湖南理湖南理,17),17)为拉动经济增长为拉动经济增长,某市决某市决 定新建一批重点工程定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分这三类工程所含项目的个数分 别占总数的别占总数的 有有3 3名工人独立地从中任选一名工人独立地从中任选一 个项目参与建设个项目参与建设.(1)(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；求他们

8、选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)(2)记记 为为3 3人中选择的项目属于基础设施工程或产人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数业建设工程的人数,求求 的分布列及数学期望的分布列及数学期望.二项分布二项分布解解 记第记第i i名工人选择的项目属于基础设施工程、民名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件生工程和产业建设工程分别为事件A Ai i、B Bi i、C Ci i,i i=1,2,=1,2,3.3.由题意知由题意知A A1 1,A A2 2,A A3 3相互独立相互独立,B B1 1,B B2 2,B B3 3相互独立相互独立,C C1 1,

9、C C2 2,C C3 3相互独立相互独立,A Ai i,B Bj j,C Ck k(i i、j j、k k=1,2,3=1,2,3且且i i,j j、k k 互不相同互不相同)相互独立相互独立,且且(1)(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率他们选择的项目所属类别互不相同的概率P P=3=3！P P(A A1 1B B2 2C C3 3)=)=6P6P(A A1 1)P P(B B2 2)P P(C C3 3)(2)设设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知由已知,4.某一某一大学大学毕毕业业生参加生参加某一某一公司的笔公司的笔试试，共，共

10、有有5个个问问题题需需要要解答，解答，如如该该同学答同学答对对每个每个问问题题的的概率均概率均为为 ，且每个，且每个问问题题的解答互不的解答互不影影响响(1)求求该该同学答同学答对问对问题题的个数的个数的的期期望望与与方差；方差；(2)设设答答对对一一个个题题目得目得10分，否分，否则 则扣扣一一分，求分，求该该同学得分同学得分的的期期望望与与方差方差 5.5.袋中有相同的袋中有相同的5 5个球个球,其中其中3 3个红球个红球,2,2个黄球个黄球,现从现从 中随机且不放回地摸球中随机且不放回地摸球,每次摸每次摸1 1个，当两种颜色的个，当两种颜色的 球都被摸到时球都被摸到时,即停止摸球即停止摸

11、球,记随机变量记随机变量为此时已为此时已 摸球的次数摸球的次数,(1)(1)随机变量随机变量的概率分布列；的概率分布列；(2)(2)随机变量随机变量的数学期望与方差的数学期望与方差.解解 (1)(1)随机变量随机变量可取的值为可取的值为2,3,4,2,3,4,所以随机变量所以随机变量的概率分布列为：的概率分布列为：2 23 34 4P P(2)(2)随机变量随机变量的数学期望的数学期望随机变量随机变量的方差的方差6.6.某地区试行高考考试改革某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行在高三学年中举行5 5次次 统一测试统一测试,学生如果通过其中学生如果通过其中2 2次测试即可获得足够次测试即可获

12、得足够 学分升上大学继续学习学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试不用参加其余的测试,而每而每 个学生最多也只能参加个学生最多也只能参加5 5次测试次测试.假设某学生每次通假设某学生每次通 过测试的概率都是过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当每次测试时间间隔恰当,每次每次 测试通过与否互相独立测试通过与否互相独立.(1)(1)求该学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；(2)(2)如果考上大学或参加完如果考上大学或参加完5 5次测试就结束次测试就结束,记该生参记该生参 加测试的次数为加测试的次数为X X,求求X X的分布列及的分布列及X X的数学期望的数学期望.解解 (1)(1)记记“

13、该学生考上大学该学生考上大学”为事件为事件A A，其对立事，其对立事 件为件为 (2)(2)参加测试次数参加测试次数X X的可能取值为的可能取值为2,3,4,5.2,3,4,5.故故X X的分布列为：的分布列为：答答 该生考上大学的概率为该生考上大学的概率为 所求数学期望是所求数学期望是X X2 23 34 45 5P P1.1.甲甲、乙、乙两名射手两名射手在 在同同一一条件下射击，所得环数条件下射击，所得环数X X1 1，X X2 2分布列分布列如如下：下：用用击击中中环数的环数的期期望望与与方差分析比较两名射手的射击方差分析比较两名射手的射击水平水平。X18910P0.20.60.2X28

14、910P0.40.20.4解：解：表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在数得分在9 9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 81010环。环。题型三题型三 均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用问题问题1 1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题问题2 2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8 8环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手

15、参赛？问题问题3 3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在9 9环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.42.2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：如下信息：甲单位不同职位月工甲单位不同职位月工资资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概获得相应职位的概率率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工乙单位不同职位月工资资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概获得相应职位的概率率P20.40.30.20.1根

16、据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：因为因为EXEX1 1=EX=EX2 2，DXDX1 1 DX DX2 2，所以两个单位工所以两个单位工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。这样，如果你希望不同职位的工资差距小一这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大些，就选择乙单位。工资差距大些，就选择乙单位。从做从做对对题题数的数学数的数学期期望望考考

17、察，两察，两人水平人水平相当；从相当；从方差方差考考察甲察甲较稳较稳定从定从至少至少完成完成2题题的概率的概率考考察，察，甲通甲通过过的的可可能性大能性大因因此此可以判可以判断甲的断甲的实实验验操操作作能力能力较较强强(2)设设表表示示10万万元元投投资乙资乙项项目的收益，目的收益，则 则的的分布列分布列为为：22P基础自测基础自测1.1.已知已知 的分布列的分布列 则在下列式子中：则在下列式子中：正确的个数是正确的个数是 ()()A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B.1 C.2 D.3-1-10 01 1P P解析解析 答案答案 C C2.2.若随机变量若随机变量X X的分布列如表的分

18、布列如表,则则E(X)E(X)等于等于 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由分布列的性质由分布列的性质,可得可得2 2x x+3+3x x+7+7x x+2+2x x+3+3x x+x x=1,=1,E E(X X)=02)=02x x+13+13x x+27+27x x+32+32x x+43+43x x+5+5x x=40=40 x x=X X0 01 12 23 34 45 5P P2 2x x3 3x x7 7x x2 2x x3 3x xx xC3.3.设随机变量设随机变量 则则 ()()A.A.n n=8,=8,p p=0.2 B.=0.2 B.n n=4,=4,p p=0.4=0.4 C.C.n n=5,=5,p p=0.32 D.=0.32 D.n n=7,=7,p p=0.45=0.45 解析解析A4.4.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中有放从中有放 回地任取回地任取3 3件件,若若X X表示取到次品的次数表示取到次品的次数,则则D D(X X)=)=_._.解析解析