离散数学第一章命题逻辑的推理理论.ppt

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1、1.6 命题逻辑的推理理论命题逻辑的推理理论 推理的形式结构推理的形式结构判断推理是否正确的方法判断推理是否正确的方法推理定律与推理规则推理定律与推理规则构造证明法构造证明法1推理的形式结构推理的形式结构问题的引入问题的引入推理举例推理举例:(1)正项级数收敛当且仅当部分和有上界正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2)若若A C B D，则，则A B且且C D.推理推理:从前提出发推出结论的思维过程从前提出发推出结论的思维过程上面上面(1)是正确的推理，而是正确的推理，而(2)是错误的推理是错误的推理.证明证明:描述推理正确的过程描述推理正确的过程.2推理的形式结构推理的形式结构定义定义若对于

2、每组赋值，或者若对于每组赋值，或者A1 A2 Ak均为假，均为假，或者当或者当A1 A2 Ak为真时为真时,B也为真也为真,则称由则称由A1,A2,Ak推推B的的推推理理正正确确,否否则则推推理理不不正正确确（错错误误）.“A1,A2,Ak推推B”的推理正确的推理正确当且仅当当且仅当A1 A2 AkB为重言式为重言式.推理的形式结构推理的形式结构:A1 A2 AkB 或或前提：前提：A1,A2,Ak结论：结论：B若推理正确，则记作：若推理正确，则记作：A1 A2 AkB.3判断推理是否正确的方法判断推理是否正确的方法真值表法真值表法等值演算法等值演算法 判断推理是否正确判断推理是否正确主析取范

3、式法主析取范式法构造证明法构造证明法 证明推理正确证明推理正确 说明：当命题变项比较少时，用前说明：当命题变项比较少时，用前3 3个方法比较方个方法比较方便便,此时采用此时采用形式结构形式结构“A1 A2 AkB”.而在而在构构造证明时，造证明时，采用采用“前提前提:A1,A2,Ak,结论结论:B”.4实例实例例例判断下面推理是否正确判断下面推理是否正确(1)若今天是若今天是1号，则明天是号，则明天是5号号.今天是今天是1号号.所所以明天是以明天是5号号.解解设设p：今天是：今天是1号，号，q：明天是：明天是5号号.推理的形式结构为推理的形式结构为:(pq)pq证明（用等值演算法）证明（用等值

4、演算法）(pq)pq(p q)p)q pq q1得证推理正确得证推理正确5实例实例(续续)(2)若若今今天天是是1号号，则则明明天天是是5号号.明明天天是是5号号.所所以以今今天天是是1号号.解解设设p：今天是：今天是1号，号，q：明天是：明天是5号号.推理的形式结构为推理的形式结构为:(pq)qp证明（用主析取范式法）证明（用主析取范式法）(pq)qp(p q)qp(p q)q)p q p(pq)(pq)(pq)(p q)m0 m2 m3结果不含结果不含m1,故故01是成假赋值，所以推理不正确是成假赋值，所以推理不正确.6推理定律推理定律重言蕴涵式重言蕴涵式 重要的推理定律重要的推理定律 A

5、(A B)附加律附加律(A B)A化简律化简律(AB)AB假言推理假言推理(AB)B A拒取式拒取式(A B)BA析取三段论析取三段论(AB)(BC)(AC)假言三段论假言三段论(AB)(BC)(AC)等价三段论等价三段论(AB)(CD)(A C)(B D)构造性二难构造性二难7推理定律推理定律(续续)(AB)(AB)B构造性二难（特殊形式）构造性二难（特殊形式）(AB)(CD)(BD)(AC)破坏性二难破坏性二难说明：说明：A,B,C为元语言符号为元语言符号若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的AB产生两条推理定律产生两条推理定律:A B,B A

6、8推理规则推理规则 (1)前提引入规则前提引入规则(2)结论引入规则结论引入规则(3)置换规则置换规则(4)假言推理规则假言推理规则 AB A B(5)附加规则附加规则AA B(6)化简规则化简规则 A B A(7)拒取式规则拒取式规则 AB BA(8)假言三段论规则假言三段论规则ABBCAC9推理规则推理规则(续续)(11)破破坏坏性性二二难难推推理理规则规则ABCD BDAC(12)合取引入规则合取引入规则ABA B(9)析取三段论规则析取三段论规则A B BA(10)构构造造性性二二难难推推理理规则规则ABCDA CB D10构造证明构造证明直接证明法直接证明法例例构造下面推理的证明：构

7、造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课若明天是星期一或星期三，我就有课.若有课，若有课，今天必备课今天必备课.我今天下午没备课我今天下午没备课.所以，所以，明天不是星期一和星期三明天不是星期一和星期三.解解设设p：明天是星期一，：明天是星期一，q：明天是星期三，：明天是星期三，r：我有课，：我有课，s：我备课：我备课推理的形式结构为推理的形式结构为前提：前提：(p q)r,rs,s结论：结论：pq11直接证明法直接证明法(续续)证明证明rs前提引入前提引入 s前提引入前提引入 r拒取式拒取式(p q)r前提引入前提引入(p q)拒取式拒取式 pq置换置换12构造证明构造证明附加前提

8、证明法附加前提证明法 欲证明欲证明前提：前提：A1,A2,Ak结论：结论：CB等价地证明等价地证明前提：前提：A1,A2,Ak,C结论：结论：B理由：理由：(A1 A2 Ak)(CB)(A1 A2 Ak)(C B)(A1 A2 Ak C)B(A1 A2 Ak C)B13附加前提证明法附加前提证明法(续续)例例构造下面推理的证明构造下面推理的证明:2是素数或合数是素数或合数.若若2是素数，则是素数，则是无理数是无理数.若若是无理数，则是无理数，则4不是素数不是素数.所以，如果所以，如果4是是素数，则素数，则2是合数是合数.用附加前提证明法构造证明用附加前提证明法构造证明解解设设p：2是素数，是素

9、数，q：2是合数，是合数，r：是无理数，是无理数，s：4是素数是素数推理的形式结构推理的形式结构前提：前提：p q,pr,rs结论：结论：sq14附加前提证明法附加前提证明法(续续)证明证明s附加前提引入附加前提引入pr前提引入前提引入rs前提引入前提引入ps假言三段论假言三段论 p拒取式拒取式p q前提引入前提引入q析取三段论析取三段论请用直接证明法证明之请用直接证明法证明之15构造证明构造证明归谬法（反证法）归谬法（反证法）欲证明欲证明前提：前提：A1,A2,Ak结论：结论：B将将 B加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确.理由理由:A1 A2 AkB(A1 A2 Ak)B(A1 A2 AkB)括号内部为矛盾式当且仅当括号内部为矛盾式当且仅当(A1 A2 AkB)为为重言式重言式16归谬法归谬法(续续)例例构造下面推理的证明构造下面推理的证明前提：前提：(p q)r,rs,s,p结论：结论：q证明（用归缪法）证明（用归缪法）q结论否定引入结论否定引入rs前提引入前提引入 s前提引入前提引入 r拒取式拒取式17归谬法归谬法(续续)(p q)r前提引入前提引入(p q)析取三段论析取三段论 pq置换置换 p析取三段论析取三段论p前提引入前提引入 p p合取合取请用直接证明法证明之请用直接证明法证明之18