通讯原理第二部分讯号与线系统.ppt

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1、教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫通訊原理通訊原理第二章第二章 訊號與線性系統訊號與線性系統1第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 大綱2.1 訊號模型訊號模型(Signal Models)2.2 訊號分類訊號分類(Signal Classifications)2.3 廣義轉換廣義轉換(Generalized Transformation)2.4 傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)2.5 傅利葉轉換傅利葉轉換(Fourier Transform)2.6 功率頻譜密度和相關

2、函數功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function)2.7 線性系統線性系統(Linear Systems)2.8 希伯特轉換希伯特轉換(Hilbert Transform)2.9 帶通訊號與系統標準表示式帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System)2第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 大綱2.1 訊號模型訊號模型(Signal Models)l單位步階訊號l單位

3、脈衝訊號 l弦波訊號 l指數訊號2.2 訊號分類訊號分類(Signal Classifications)2.3 廣義轉換廣義轉換(Generalized Transformation)2.4 傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)2.5 傅利葉轉換傅利葉轉換(Fourier Transform)2.6 功率頻譜密度和相關函數功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function)2.7 線性系統線性系統(Linear Systems)2.8 希伯特轉換希伯特轉換(Hilbert Transform)2.9 帶通訊號與

4、系統標準表示式帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System)3第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 單位步階訊號單位步階訊號 l單位步階訊號單位步階訊號(unit step signal)以單位步階函數單位步階函數(unit step function or Heaviside unit function)表示之，單位步階函數定義為：4第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型

5、計畫 單位脈衝訊號單位脈衝訊號 l單位脈衝訊號單位脈衝訊號(unit impulse signal)以單位脈衝函數單位脈衝函數(unit impulse function or Dirac delta function)表示之，單位脈衝函數定義為：l原始的單位脈衝函數之物理意義5第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 單位脈衝訊號單位脈衝訊號(續續)l單位脈衝訊號在積分式之運算l單位脈衝函數之圖示6第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 弦波訊號弦波訊號l

6、弦波訊號弦波訊號(sinusoidal signal)表示為：已知弦波訊號是週期訊號(稍後討論)，其週期為T0。A：振幅峰值振幅峰值(peak amplitude)w0 或 f0 ：基本頻率基本頻率(fundamental frequency)，簡稱頻率。：相位相位(phase)7第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 弦波訊號弦波訊號(續續)l 給定振幅峰值振幅峰值、頻率頻率及相位相位三個參數則表示給定了一個弦波訊號。8第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型

7、計畫 l考量弦波訊號 延遲延遲(delay)後可表示為：訊號x(t)與xd(t)在時間差所造成的效應相當於相位角相差 ；換言之，兩正弦訊號之相位差為 時，代表此兩正弦訊號之時間延遲時間延遲(time delay)為 。弦波訊號之弦波訊號之相位與延遲相位與延遲9第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 l弦波訊號中的兩個頻率符號 和 ，其中 稱為基本角頻率基本角頻率(fundamental angular frequency)，單位是弳度弳度/秒秒(rad/sec)；而 稱為基本頻率基本頻率(fundamental freque

8、ncy)，單位是赫茲赫茲(Hz)或1/sec。這兩個頻率之間存在一個常數倍2，即 。弦波訊號弦波訊號之頻率與角頻率之頻率與角頻率10第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 l餘弦函數表示弦波訊號：l弦波是一個單頻訊號，可直覺地想成單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率 那一點。l橫軸為頻率之方式繪圖稱為頻域表示法，就是所謂的頻譜頻譜(spectrum)，此種將訊號頻譜只表示於正頻率(分佈於f 0之繪圖稱為單邊頻譜單邊頻譜(single-sided spectrum)。因為單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率f0那一

9、點，所以頻譜頻譜繪圖時以脈衝訊號表示。弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜 f0 頻率 f振幅相位Af0 頻率 f11第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 一般複指數訊號一般複指數訊號 l 一般複指數訊號一般複指數訊號(general complex exponential signal)表示為：其中使用了歐拉公式：。訊號x(t)的實部:與虛部:之振幅是指數遞增(當 )或遞減(當 )的弦波訊號。12第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 l 複指數訊

10、號複指數訊號(complex exponential signal)為：以上複指數訊號為一週期訊號，其基本週期為 更完整的關係式可表示為：A：振幅 w0 或 f0：基本頻率(簡稱頻率)：相位複指數訊號複指數訊號13第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 l一複指數訊號 可以看成長度A的線段以定角速度逆時針繞原點旋轉，如下圖所示，其中 是t=0時的相位(相角)，或稱為初始相位初始相位(initial phase)。複指數訊號複指數訊號之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法14第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人

11、才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 複指數訊號複指數訊號之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法(範例範例)l以旋轉相量表示法描述3個不同的複指數訊號。15第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜l利用歐拉公式(Euler formula)將弦波訊號改寫成複指數型式：l以複指數之相關參數繪製頻譜，可得雙邊頻譜(分佈於f=0之兩側)。16第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 大綱大綱2.1 訊號模型訊號模型(

12、Signal Models)2.2 訊號分類訊號分類(Signal Classifications)l連續時間訊號與離散時間訊號 l類比訊號與數位訊號 l週期訊號及非週期訊號l奇訊號及偶訊號 l定型訊號及隨機訊號 l功率訊號及能量訊號2.3 廣義轉換廣義轉換(Generalized Transformation)2.4 傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)2.5 傅利葉轉換傅利葉轉換(Fourier Transform)2.6 功率頻譜密度和相關函數功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function)2.7 線

13、性系統線性系統(Linear Systems)2.8 希伯特轉換希伯特轉換(Hilbert Transform)2.9 帶通訊號與系統標準表示式帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System)17第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 連續時間訊號與離散時間訊號連續時間訊號與離散時間訊號 l連續時間訊號連續時間訊號(continuous-time signal)：連續時間訊號以函數x(t)表示之，其中t是連續時間變數。l離散時間訊號離散時間訊

14、號(discrete-time signal)：離散時間訊號只定義在離散的時間點上，一般以離散時間變數n的序列序列(sequence)xn表示之，其中變數n為整數。連續時間訊號的例子離散時間訊號的例子18第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 連續時間訊號與其取樣訊號連續時間訊號與其取樣訊號 l取樣取樣(sampling)：連續時間訊號x(t)在離散時間點 的函數值 稱為x(t)的取樣取樣(samples)，由取樣組成的離散時間訊號以序列形式表示：19第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

15、教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 類比訊號與數位訊號類比訊號與數位訊號 l類比訊號類比訊號(analog signal)：訊號之振幅大小(強度)用任意區間a,b之連續數值描述之連續值訊號連續值訊號(continuous-valued signal)，其中a和b可以分別為和。l數位訊號數位訊號(digital signal)：訊號之振幅大小用離散(或有限個數)數值描述之離散值訊號離散值訊號(discrete-valued signal)。20第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號 l

16、週期訊號週期訊號(periodic signal)：連續時間訊號x(t)滿足條件 l非週期訊號非週期訊號(nonperiodic or aperiodic signal)：任何不滿足上述週期特性的連續時間訊號x(t)。l連續時間訊號週期特性可表示成 所有t及任意正整數m T0為週期訊號x(t)的基本週期基本週期(fundamental period)，f0=1/T0稱為基本基本 頻率頻率(fundamental frequency)。l離散時間訊號xn的週期特性可表示成 N0為週期序列xn的基本週期。21第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技

17、人才培育先導型計畫 週期訊號的例子週期訊號的例子(a)連續時間週期訊號的例子 (b)離散時間週期訊號的例子22第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 奇訊號及偶訊號奇訊號及偶訊號 l偶訊號偶訊號(even signal)：訊號x(t)或序列xn滿足條件l奇訊號奇訊號(odd signal)：訊號x(t)或序列xn滿足條件一個偶訊號的例子一個奇訊號的例子23第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 訊號表示成奇訊號與偶訊號之和訊號表示成奇訊號與偶訊號之和 l訊

18、號可以表示成一個奇訊號與偶訊號之和 其中 24第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 定型訊號及隨機訊號定型訊號及隨機訊號 l定型訊號定型訊號(deterministic signal)是在任何給定時間其數值是可預知的，也就是說定型訊號可用已知的函數加以描述或表示。l有些訊號在任何給定時間的數值是隨機而不可預知，此種不能用已知的數學式描述而必須用機率及統計特性描述的訊號稱為隨機訊號隨機訊號(random signal)。l給定一訊號可表示為 若w0與是常數則x(t)是定型訊號(給定任意t值皆可預知x(t)值)。反之，若w0是

19、常數，而=/3或 =/3的機率各半，此情況下的x(t)則為隨機訊號(即使給定t值，我們也無法預知x(t)值，因為無法預知)。25第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 訊號之功率與能量訊號之功率與能量l任意連續時間訊號x(t)的總能量總能量(total energy)E及平均功率平均功率(average power)P分別定義為:l離散時間訊號xn的總能量E及平均功率P分別定義為：26第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 功率訊號及能量訊號功率訊號及能量

20、訊號 l訊號x(t)的總能量E有定義而且為有限值，亦即 ，那麼此訊號稱為能量訊號。l如果訊號x(t)的平均功率P有定義而且為有限值，亦即 此訊號則稱為功率訊號。l假如一訊號不符合上述能量及功率特性，則此訊號既非能量訊號也非功率訊號。l訊號 其總能量為 因為x(t)的總能量有限，亦即 ，此訊號為能量訊號。27第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 功率訊號及能量訊號功率訊號及能量訊號(續續)l一一週期為T0的週期訊號 其平均功率為 因為x(t)的平均功率值有限，亦即 ，此訊號為功率訊號。l訊號 其總能量為 其平均功率為 x(t

21、)的總能量和平均功率皆為，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號。28第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 大綱2.1 訊號模型訊號模型(Signal Models)2.2 訊號分類訊號分類(Signal Classifications)2.3 廣義轉換廣義轉換(Generalized Transformation)2.4 傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)2.5 傅利葉轉換傅利葉轉換(Fourier Transform)2.6 功率頻譜密度和相關函數功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral D

22、ensity and Correlation Function)2.7 線性系統線性系統(Linear Systems)2.8 希伯特轉換希伯特轉換(Hilbert Transform)2.9 帶通訊號與系統標準表示式帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System)29第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 正交基底函數正交基底函數l給定一組訊號 ，若其中任何兩個訊號 和 滿足下列條件：則稱此組訊號 在區間 正交正交(orthogonal)。

23、l若將每一個函數 的大小皆為1，即上式=1，稱 被正規化(normalized)。l一組正規化正交函數稱為規一正交基底組規一正交基底組(orthonormal basis set)。l複指數 在任意週期區間 正交。30第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 訊號之廣義級數表示訊號之廣義級數表示l一T0秒區間(t0,t0+T0)訊號x(t)可以用規一正交基底組：表示成lParseval定理31第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 大綱2.1 訊號模型訊號模

24、型(Signal Models)2.2 訊號分類訊號分類(Signal Classifications)2.3 廣義轉換廣義轉換(Generalized Transformation)2.4 傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)2.5 傅利葉轉換傅利葉轉換(Fourier Transform)2.6 功率頻譜密度和相關函數功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function)2.7 線性系統線性系統(Linear Systems)2.8 希伯特轉換希伯特轉換(Hilbert Transform)2.9 帶通訊號與

25、系統標準表示式帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System)32第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數觀念與表示方式傅利葉級數觀念與表示方式l任何週期訊號 x(t)可由不同的振幅、頻率和相位之弦波所組成，這便是傅利葉級數要陳述的觀念。傅利葉分析可證明一基本頻率為f0的週期訊號可以表示成一傅利葉級數，數學上對可以表示成傅利葉級數之訊號有以下嚴謹的限制條件：l在任意週期內為絕對可積分，即 。l任意有限時間區間內，x(t)極值(包括極

26、大與極小)的個數有限。l任意有限時間區間內，x(t)不連續點的個數有限且這些不連續點也必須有限值。l傅利葉級數有以下三種表示式：l複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數(complex exponential Fourier series)l三角傅利葉級數三角傅利葉級數(trigonometric Fourier series)l諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數(harmonic form Fourier series)33第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數l一個基本頻率為 f0 的週期訊

27、號可表示成複指數傅利葉級數：其中 稱為複數傅利葉係數，係數計算式中 表示積分一個週期，積分上下限最常用0到 或 到 。l當n=0 時係數為：係數c0代表訊號在一個週期內的平均值，因為是週期訊號，一個週期內的平均值也就是整個訊號的平均值，此平均值表示訊號的直流成份(dc component)。l若x(t)是實數週期訊號，那麼可得：其中*代表複數共軛(complex conjugate)。34第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 三角傅利葉級數三角傅利葉級數l一個基本頻率為f0的週期訊號也可表示成所謂的三角傅利葉級數：其中35

28、第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 三角傅利葉級數三角傅利葉級數(續續)l利用歐拉公式可以很容易找出複指數傅利葉級數與三角傅利葉級數之間係數的關係，可得係數關係式：若週期訊號為實數，可知 與 為實數，且 因此可得：36第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 三角傅利葉級數三角傅利葉級數(續續)l若週期訊號為偶函數，三角傅利葉級數簡化成：l若週期訊號為奇函數，三角傅利葉級數簡化成：37第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型

29、計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數 l諧波型式傅利葉級數：其中 代表週期訊號的直流成份；稱為週期訊號的基本成份(fundamental component)，因為這一項與 有相同基本頻率；稱為週期訊號的第n次諧波成份(the nth harmonic component)，稱為諧波振幅(harmonic amplitudes)以及 稱為相角(phase angle)。38第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數物理意義解析傅利葉級數物理意義解析l觀察前述週期訊號的傅利葉級數

30、表示式，綜合整理並說明幾個重點或所代表的物理意義如下：l C0=c0=a0/2 代表週期訊號的直流成份，即週期訊號的平均值。l基本頻率f0 之週期訊號可分解成不同頻率之成份，或是說由不同頻率成份可組成此週期訊號，其中每一個頻率成份都是單頻的弦波(或複指數)型式，其頻率分別是的f0整數倍。這個最小頻率f0稱為此週期訊號之基本頻率。其他的整數n倍頻率稱為諧波諧波(harmonics)，即稱為n次諧波，例如 3f0稱為3次諧波。l週期訊號的週期與其基本頻率成份這個弦波的週期相等。l雖然列述三種傅利葉級數表示式，其實這三種表示式都是互相等效的(可以互相轉換得到)，複數型式最具一般性，而且計算較簡易。3

31、9第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析 l週期 為的週期訊號之平均功率計算式:l若將此週期訊號表示成複指數傅利葉級數，上述平均功率計算式可改寫成:上式推導用到複數共軛、積分 與加總運算互換40第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 週期訊號的週期訊號的功率分析功率分析(續續)l傅利葉級數的Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval等式(Parseval identity)l將複指數與三

32、角傅利葉級數的係數關係式代入上式，計算整理後可得到：41第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析 l將基本頻率f0之週期訊號展開成複指數傅利葉級數改寫為：繪出 對應頻率圖以及 對應頻率圖，分別稱為週期訊號的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜(phase spectrum)。l因為n為整數，所以週期訊號的振幅頻譜和相位頻譜是離散的(只分佈在頻率nf0的地方)，此種頻譜歸類於離散頻譜(discrete frequency spectra)或線形頻譜(line s

33、pectra)。l如果週期訊號是實數，那麼可知 ，因此 這個式子說明實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數，而相位頻譜是奇函數。42第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析l當週期訊號是實數時，基本頻率f0之週期訊號可展開成諧波型式傅利葉級數l繪出Cn對應頻率圖以及n對應頻率圖，完成實數週期訊號單邊頻譜分析。同樣地，上述傅利葉級數分析可知實數週期訊號由弦波組成，其頻譜是呈現離散形式分佈。43第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先

34、導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例l 一方波週期訊號x(t)之時域波形，其週期為T0(基本頻率為f0)複指數傅利葉級數之係數：44第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續)l複指數傅利葉級數之係數改寫為l此方波週期訊號表示成複指數傅利葉級數式展開式：l三角傅利葉級數式展開式：45第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續)方波週期訊號之傅利葉級數分析46第四章：類比調變技術第四章：類比調

35、變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續)方波週期訊號之傅利葉級數分析(續)47第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續)l時域上計算平均功率：l以複指數傅利葉級數計算平均功率 根據Parseval等式，上述兩種結果要相等，得到一個無窮序列和之公式，即 48第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續)方波週期訊號之雙邊頻譜

36、(b)相位頻譜(a)振幅頻譜49第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續)l實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數，而相位頻譜是奇函數。如果傅利葉級數展開式各成份之相位 只是0、或 時，cn為實數，因此各成份之相位以正負號方式呈現在cn，此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖，即繪出cn對應頻率圖。50第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續)l頻頻譜譜是一個訊號頻率的涵蓋範圍。頻譜的寬度是訊號的絕

37、絕對對頻頻寬寬(absolute bandwidth)，以前頁頻譜圖為例並假設 以後皆為0，那麼訊號的絕對頻寬是 。有許多訊號的頻寬是無限大，但其大部分的能量侷限於相對窄頻帶內，此頻帶寬稱為有有效效頻頻寬寬(effective bandwidth)或簡單地稱為頻寬，下圖為數位廣播基頻訊號頻譜，有效頻寬約1.5 MHz。請特別注意到，頻寬計算只考慮正頻率部份，因為負頻率本質上與正頻率完全相同。51第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 大綱2.1 訊號模型訊號模型(Signal Models)2.2 訊號分類訊號分類(Sign

38、al Classifications)2.3 廣義轉換廣義轉換(Generalized Transformation)2.4 傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)2.5 傅利葉轉換傅利葉轉換(Fourier Transform)2.6 功率頻譜密度和相關函數功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function)2.7 線性系統線性系統(Linear Systems)2.8 希伯特轉換希伯特轉換(Hilbert Transform)2.9 帶通訊號與系統標準表示式帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Rep

39、resentations of Bandpass Signals/System)52第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 從傅利葉級數至傅利葉轉換從傅利葉級數至傅利葉轉換l一個分佈在有限區間a a 的方形訊號代表一般的非週期訊號。同時令 訊號是將訊號重覆延伸產生的一個週期為T0的週期訊號xE(t)，若將訊號 之週期變成無窮大，那麼此訊號就變成非週期訊號，其關係可描述成53第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 從傅利葉級數至傅利葉轉換從傅利葉級數至傅利葉

40、轉換(續續)l週期訊號xE(t)之傅利葉級數的係數如下：其中54第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 從傅利葉級數至傅利葉轉換從傅利葉級數至傅利葉轉換(續續)l 週期增加係數大小減小；頻譜分佈漸密。55第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 從傅利葉級數至傅利葉轉換從傅利葉級數至傅利葉轉換(續續)l 週期增加係數大小減小；頻譜分佈漸密。56第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 從傅利

41、葉級數至傅利葉轉換從傅利葉級數至傅利葉轉換(續續)l延伸此一趨勢至極限 ，週期訊號 就變成非週期訊號，但是此時所有的傅利葉級數係數 ，這表示無法使用傅利葉級數來表示非週期訊號。直接觀察傅利葉級數之係數計算式亦可得到此結果。l雖然傅利葉級數無法表示非週期訊號，但是我們可以由傅利葉級數推導得到一個適用於分析非週期訊號之工具，稱之為傅利葉轉換對傅利葉轉換對(Fourier transform pairs)，其中包括傅利葉轉換傅利葉轉換(Fourier transform)和逆傅利葉轉逆傅利葉轉換換(inverse Fourier transform)。57第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育

42、部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利傅利葉轉換對葉轉換對 l傅 利 葉 轉 換(Fourier Transform)與 逆 傅 利 葉 轉 換(Inverse Fourier Transform)，分別用符號 和 表示其運算元：l以上兩個轉換一起稱之為傅利葉轉換對(Fourier transform pairs)，且兩者互為逆運算並表示成58第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換之條件傅利葉轉換之條件l數學上確保傅利葉轉換可以收斂的條件是：l為絕對可積分，即 l任意有限時間區間內

43、，極值(包括極大與極小)的個數有限。l任意有限時間區間內，不連續點的個數有限且這些不連續點也必須為有限值。l若允許脈衝訊號：和 可以用於傅利葉轉換對的情況，許多訊號(諸如常用的脈衝訊號、步階訊號、複指數、弦波訊號以及週期訊號)都可有其傅利葉轉換，這種傅利葉轉換稱為一般化傅利葉轉換(generalized Fourier transform)。59第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換範例傅利葉轉換範例-1l方形脈波訊號(rectangular pulse signal)：l計算傅利葉轉換 60第四章：類比調變技術

44、第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換範例傅利葉轉換範例-2l 之傅利葉轉換:l利用 ，並將此式看成 的逆傅利葉轉換式，那麼這表示 ，其相對應的訊號 ，所以其傅利葉轉換表示成l直接利用上述結果可得到 之傅利葉轉換 61第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換範例傅利葉轉換範例-2(續續)l 之傅利葉轉換l 之傅利葉轉換l 之傅利葉轉換62第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉

45、換範例傅利葉轉換範例-2(續續)63第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換的特性傅利葉轉換的特性l線性線性(linearity)：l時移時移(time shifting)：l訊號在時間軸上平移(訊號超前或延遲)在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量 ，此變化量稱為傅利葉轉換的線性相位平移線性相位平移(linear phase shift)。l頻移頻移(frequency shifting)：l訊號在時域乘上一複指數訊號 的程序稱為複數調變(complex modulation)，此複數調變程序在頻

46、域的效果相當於將訊號頻譜在頻率軸上平移f0。64第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換的傅利葉轉換的特性特性(續續)l時間比例調整時間比例調整(time scaling)：l訊號在時域的時間參數t做等比例放大或縮小a倍，此程序在頻域的頻率參數f 縮小或放大 倍，同時振幅大小也縮小或放大 倍。訊號在時間軸壓縮()則其頻譜會擴張，反之，訊號在時間擴張()則其頻譜會壓縮。l時間反轉時間反轉(time reversal)：l對偶對偶(Duality)：65第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先

47、導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換的傅利葉轉換的特性特性(續續)l時域微分時域微分(differentiation in the time domain)：l頻域微分頻域微分(differentiation in the frequency domain)：l旋積旋積(convolution)：l前述特性為時域旋積定理(time convolution theorem)，此定理說明在時域兩個訊號做旋積運算的效果相當於在頻域做相乘運算。在時域以旋積分析連續時間LTI系統，根據此旋積定理，運用傅利葉轉換將訊號與系統轉換至頻域可以簡單地以相乘運算方式分析連續時間LTI系統。66第

48、四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換的傅利葉轉換的特性特性(續續)l乘積乘積(multiplication)：l頻域旋積定理(frequency convolution theorem)，與時域旋積定理互為對偶。此定理說明兩個訊號在頻域做旋積運算，其效果相當於在時域做相乘運算。l時域積分時域積分(integration in the time domain)：67第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換的傅利葉轉換的特性特性(續續)l

49、實數訊號實數訊號：一實數訊號可表示成 其中 和 分別是 的偶訊號部份與奇訊號部份，令 的傅利葉轉換可表示成那麼可知 68第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 傅利葉轉換的傅利葉轉換的特性特性(續續)lParseval定理：定理：l訊號的正規化總能量為:l上式稱為傅利葉轉換的Parseval定理定理或Parseval等式等式。與傅利葉級數的Parseval定理定理相同，傅利葉轉換的Parseval定理定理也說明連續時間訊號的正規化總能量可在時域使用，也可以在頻域用。因為在頻域計算訊號的能量 是將對所有頻率積分得到，因此稱為訊

50、號的能量密度頻譜能量密度頻譜(energy density spectrum)，同時上式也稱為能量定理能量定理(energy theorem)。69第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 訊號的能量或訊號的能量或功率分析功率分析l非週期訊號 的能量密度頻譜能量密度頻譜(energy density spectrum)l週期訊號 的 可定義為的功率密度頻譜功率密度頻譜(power density spectrum)，並表示成l採用三角傅利葉級數表示週期訊號時，的功率密度頻譜也可表示成70第四章：類比調變技術第四章：類比調變技術