线性代数线性方程组解的结构精品文稿.ppt

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1、线性代数线性方程组解的结构第1页，本讲稿共23页在有解的情况下，回顾：其中 为增广矩阵。当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。2第2页，本讲稿共23页一、齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当(*)有零解(即无穷多解)当且仅当3第3页，本讲稿共23页齐次线性方程组解的性质:证明（1）若 为 的解，则 也是 的解.（2）若 为 的解，为实数，则 也是 的解.证明均是 的解,则它们的 综上所述,若线性组合也是 的解.4第4页，本讲稿共23页定义 齐次线性方程组 的一组解向量如果满足：(1)线性无关；(2)的任一解向量均可被 线性表示，则称 为 的一个基础解

2、系。若 只有零解，则基础解系不存在。基础解系即为全体解向量组的极大无关组。定理证略 下面举例说明基础解系的求法。5第5页，本讲稿共23页 求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。例1解6第6页，本讲稿共23页自由未知量取为 7第7页，本讲稿共23页基础解系:8第8页，本讲稿共23页例2解求下面齐次线性方程组的一个基础解系：9第9页，本讲稿共23页自由未知量取为 10第10页，本讲稿共23页自由未知量取为 基础解系:11第11页，本讲稿共23页二、非齐次线性方程组解的结构称为 的导出组。12第12页，本讲稿共23页非齐次线性方程组解的性质:证明（1）若 为 的解，则 是 的

3、解.证明（2）若 为 的解，为 的解，则 是 的解.13第13页，本讲稿共23页定理 如果 是 的一个特解，那么 的任一解可表为其中 是导出组 的解.因此，当 取遍导出组的全部解时，就给出的全部解。证明由上述性质可知，为导出组 的解，记为则当 取遍导出组的全部解时，就给出 的全部解。14第14页，本讲稿共23页设非齐次线性方程组当 取遍导出组的全部解时，就给出 的全部解。全部解的求法：满足则有无穷多解,导出组(1)求出导出组 的基础解系(2)求出原方程组 的一个特解则 的全部解为其中为任意常数.15第15页，本讲稿共23页例3解求方程组的全部解.所以有无穷多解。16第16页，本讲稿共23页导出组的基础解系：特解：所以全部解为任意。17第17页，本讲稿共23页例4方程组的增广矩阵为导出组的基础解系：18第18页，本讲稿共23页特解：所以全部解为任意。19第19页，本讲稿共23页例5解方程组(1)为何值时,无解？有唯一解？有无穷多解？(2)无穷多解时，求出全部解(用向量表示)。无解;20第20页，本讲稿共23页有无穷多解,全部解为k为任意常数.21第21页，本讲稿共23页例6解k为任意常数.22第22页，本讲稿共23页练习：P141 习题三23第23页，本讲稿共23页